2023年山东省青岛市城阳区中考数学一模试卷（含解析）

2023年山东省青岛市城阳区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数为．(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则这个几何体的左视图为(    )

A.  B.
C.  D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，切于点，，的半径为，，则．(    )

A.
B.
C.
D.

6.  一车间有甲、乙两个小组，甲组的工作效率是乙组的倍，因此加工个零件所用的时间乙组比甲组多小时，若设乙每小时加工个零件，则可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

7.  如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为点为轴上的一点，连接，若的面积为，则的值是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  已知，抛物线在平面直角坐标系中的位置如图，则一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图象大致是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.  计算： ______ ．

10.  未来年，我区将投资元，分三阶段建设所中小学全面提高育人环境，全面提高办学水平，将用科学记数法表示为______ ．

11.  质检部门从甲，乙两个厂家生产的同一种产品中，各抽出件产品，对其使用寿命进行跟踪调查，结果如下单位：年
甲：，，，，，，，；乙：，，，，，，，．
已知两个厂家在广告中都称该种产品的使用寿命是年请根据调查结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中哪一种特征数？
甲：______ ，乙：______ ．

12.  如图，在中，，分别是，的中点，是线段上一点，连接，若，，，则的长为______ ．

13.  如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边三角形；分别以点，，为圆心，以的长为半径作，，三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形，如果一个曲边三角形的周长为，那么这个曲边三角形的面积是______．

14.  如图，在中，，，，点、点、点分别是，，边的中点，连接、，得到，它的面积记作；点、点、点分别是，，边的中点，连接、，得到，它的面积记作，照此规律作下去，则 ______ ．

三、解答题（本大题共11小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
已知：，线段
求作：，使，，．

16.  本小题分
计算：
解方程：．
关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围．

17.  本小题分
为响应国家提出由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款机器人，每个生产成本为元，投放市场进行了销售经过调查，售价为元个时，每月可售出万个，销售单价每涨价元，每月就少售出万个．
确定月销售量万个与售价元个之间的函数关系式；
设商场每月销售这种机器人所获得的利润为万元，请确定所获利润万元与售价元个之间的函数关系式．

18.  本小题分
下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并分别标记了数字，，和，，，小明和小亮利用这两个转盘做游戏，规则如下：同时转动两个转盘，指针停止后，将指针所指区域的数字相乘若指针停在分界线上，则重新转动转盘，如果积为奇数，则小明获胜；如果积为偶数，则小亮获胜，请你确定游戏规则是否公平，并说明理由．

19.  本小题分
某商店购进甲、乙两种手写笔进行销售，若售出支甲种手写笔和支乙种手写笔共收入元，若售出支甲种手写笔和支乙种手写笔共收入元．
求甲、乙两种手写笔每支的售价是多少元？
每支甲种手写笔的成本元，每支乙种手写笔的成本元商店购进甲、乙两种手写笔共支，其中乙种手写笔的数量不超过甲种手写笔数量的倍，那么当购进甲、乙两种手写笔分别是多少支时，该商店销售完后获得利润最大？最大获利多少元？

20.  本小题分
月日是“世界粮食日”，某校倡导“光盘行动”，为了让学生养成珍惜粮食的优良习惯在这天午餐后随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图：

把条形统计图补充完整．
扇形统计图中，“剩大量”所对应的扇形的圆心角度数是______
为了树立良好的节约粮食风气，学校准备对全校“剩少量”和“没有剩”的同学颁发奖状，若全校共有名学生，则约有多少人获得奖状？

21.  本小题分
小明参观海军博物馆的军舰时，想测量一下军舰的长度军舰停放位置平行于岸边主于道，军舰距离岸边主干道的距离是米，由于军舰停放的位置正对的岸边是另一片展区，无法穿越，他想到借助于所学三角函数知识来测量计算，他沿平行于岸边的主干道从点处走米到点处，在点处测得军舰头部点位于南偏东，在点处测得军舰尾部点位于南偏东求军舰的长度结果保留位小数，，，

22.  本小题分
如图，在平行四边形中，点、分别在、上，且，直线与、的延长线分别交于点、．
求证：；
连接、，若，请判断四边形的形状，并证明你的结论．

23.  本小题分
某农户家的菜地上有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，现对其横截面建立如图所示的平面直角坐标系大棚的一端固定在墙体离地面高米的点处，另一端固定在地面的点处，已知大棚上横截面抛物线顶部某点离地面的垂直高度米与其离墙体的水平距离米之间的关系满足，现测得点到墙体之间的水平距离为米．
求抛物线的表达式；
求大棚的最高点到地面的距离；
该农户想在大棚横截面抛物线顶部两侧，紧贴抛物线顶部安装照明灯，且照明灯到地面垂直高度为米，则两个照明灯的水平距离是多少米？

24.  本小题分
对于某些三角形，我们可以直接用面积公式或是用割补法等来求它们的面积，下面我们研究一种求面积的新方法：如图所示，分别过三角形的顶点、作水平线的铅垂线、，、之间的距离叫做水平宽；如图所示，过点作水平线的铅垂线交于点，称线段的长叫做这个三角形的铅垂高．

结论提炼：容易证明，“三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半”，即“”
尝试应用：
已知：如图，点、、，则的水平宽为______ ，铅垂高为______ ，所以的面积为______ ．
学以致用：
如图，在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为：，点为抛物线的顶点，图象与轴交于点，与轴交于、两点，为的铅垂高，延长交轴于点，则顶点坐标为______ ，铅垂高 ______ ，的面积为______ ．

25.  本小题分
已知：如图，菱形中，对角线，相交于点，且，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，直线从点出发，沿方向匀速运动，速度为，，且与，，分别交于点，，；当直线停止运动时，点也停止运动连接、，设运动时间为解答下列问题：

当为何值时，点在线段的垂直平分线上？
设四边形的面积为，求与之间的函数关系式；
如图，连接、，是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是倒数的定义，即如果两个数的乘积等于，那么这两个数互为倒数根据倒数的定义进行解答即可．
【解答】
解：，
的倒数是．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：该图形是轴对称图形，共有条对称轴；
B.该图形是轴对称图形，共有条对称轴；
C.该图形是轴对称图形，共有条对称轴；
D.该图形是轴对称图形，共有条对称轴．
故选：．
根据轴对称图形的概念求解即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线对称．
本题考查了轴对称的性质和轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，直线两旁两部分折叠后可重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：左视图是从左边看到的平面图形，发现从左面看一共有两列，左边一列有个正方形，右边一列有个正方形，
故选：．
根据各层小正方体的个数，综合三视图的知识，在这个几何体中，根据各层小正方体的个数可得：左视图有一层个，另一层个，即可得出答案．
此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
 

4.【答案】 

【解析】解：、原式，不符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，符合题意．
故选：．
各式计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：连接，
与相切于点，
，
，
，
在中，，
故选：．
直接利用切线的性质得出的长，再利用勾股定理得出答案．
此题主要考查了切线的性质以及等腰三角形的性质，正确应用勾股定理是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意可得，

故选：．
根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

轴，
，
，
而，
，
，
．
故选：．
连接，先利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的的值．
本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．
 

8.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象开口向上，
，
该抛物线对称轴位于轴的左侧，
、同号，即，
抛物线与轴的负半轴相交，
，
一次函数的图象经过第一、二、三象限，
反比例函数的图象分布在第二、四象限，
故选：．
直接利用二次函数图象经过的象限得出，，的取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案．
此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：把用科学记数法表示为，
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

11.【答案】平均数  众数 

【解析】解：甲厂数据的平均数为，众数为和，中位数为；
乙厂数据的平均数为，众数为，中位数为，
所以甲厂家运用了其数据的平均数，乙厂家运用了其数据的众数，
故答案为：平均数，众数．
分别计算出甲、乙厂家产品使用寿命的平均数、中位数和众数，继而可得答案．
本题主要考查中位数，平均数和众数，解题的关键是掌握中位数，平均数和众数的定义．
 

12.【答案】 

【解析】解：，分别是，的中点，
是的中位线，
，
，
，
，是的中点，
，
故答案为：．
根据三角形中位线定理得出，进而得出，再利用直角三角形的性质解答即可．
此题考查三角形中位线定理，关键是根据三角形中位线定理得出解答．
 

13.【答案】 

【解析】解：设等边三角形的边长为，
，解得，即正三角形的边长为，
这个曲边三角形的面积，
故答案为：．
此三角形是由三段弧组成，如果周长为，则其中的一段弧长就是，所以根据弧长公式可得，解得，即正三角形的边长为那么曲边三角形的面积就三角形的面积三个弓形的面积．
本题考查了扇形面积的计算．此题的关键是明确曲边三角形的面积就三角形的面积三个弓形的面积，然后再根据所给的曲线三角形的周长求出三角形的边长，从而求值．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，，
，
由题意可得，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据题意和题目中的数据，可以先计算出，再分别计算出、、，然后发现式子的变化特点，即可写出．
本题考查解直角三角形的应用、图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现图形面积的变化特点，利用数形结合的思想解答．
 

15.【答案】解：如图，

作法：
作，
在上截取，
过点作，交于点，
所以即为所求作的． 

【解析】作出一个角等于已知角，在的一边上截取，过点作另一边的垂线，垂足为，则就是要作的三角形．
本题考查了作一个角等于已知角，做一条线段等于已知线段，以及过直线外一点作已知直线的垂线，都是基本作图，需要熟练掌握．
 

16.【答案】解：去分母，得，
解得，
检验：当时，，则为原方程的解，
所以原方程的解为；
根据题意得，
解得，
即的取值范围为． 

【解析】先把方程两边乘以，再解整式方程，然后进行检验确定原方程的解；
根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了解分式方程．
 

17.【答案】解：根据题意得：，
月销售量万个与售价元个之间的函数关系式为；
由题意得，

，
获利润万元与售价元个之间的函数关系式为． 

【解析】根据题意利用待定系数法即可得到结论；
根据利润销售量销售单价成本，代入代数式求出函数关系式．
本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是得出月销售利润的表达式．
 

18.【答案】解：根据题意画树状图如下：

共有种等可能的结果，积为奇数的有种情况，积为偶数有种情况，
小明获胜；
小亮获胜；
小明获胜小亮获胜，
这个游戏规则对小明、小亮双方不公平． 

【解析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与数字之积为奇数和偶数的情况，再利用概率公式求出小明和小亮获胜的概率，然后进行比较，即可得出答案．
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
 

19.【答案】解：设甲种手写笔每支的售价为元，乙种手写笔每支的售价为元，
由题意可得：，
解得，
答：甲种手写笔每支的售价为元，乙种手写笔每支的售价为元；
设购进甲种手写笔支，则购进乙种手写笔支，利润为元，
由题意可得：，
随的增大而减小，
乙种手写笔的数量不超过甲种手写笔数量的倍，
，
解得，
当时，取得最大值，此时，，
答：购进甲种手写笔支，则购进乙种手写笔支时，该商店销售完后获得利润最大，最大获利是元． 

【解析】根据售出支甲种手写笔和支乙种手写笔共收入元，售出支甲种手写笔和支乙种手写笔共收入元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
根据题意和中的结果，可以写出利润与购买甲种笔记本数量的函数关系式，再根据乙种手写笔的数量不超过甲种手写笔数量的倍，可以求得甲种笔记本数量的取值范围，最后根据一次函数的性质，可以求得最大值．
本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质求最值．
 

20.【答案】 

【解析】本次调查的学生有：人，
剩少量的学生有：人，
补全的条形统计图如右图所示；
扇形统计图中，“剩大量”所对应的扇形的圆心角度数是：，
故答案为：；
人，
答：约有人获得奖状．
根据没有剩的学生人数和所占的百分比，可以计算出本次抽查的人数，然后再根据条形统计图中的数据，可以计算出剩少量的学生人数，再将条形统计图补充完整即可；
根据条形统计图中的数据，可以计算出扇形统计图中，“剩大量”所对应的扇形的圆心角度数；
根据条形统计图中的数据，可以计算出本校约有多少人获得奖状．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

21.【答案】解：过作于，过作于，
则四边形是矩形，
米，，
在中，，米，
米，
在中，米，
米，
米，
米，
答：军舰的长度为米． 

【解析】过作于，过作于，根据矩形的性质得到米，，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
在和中，
，
≌，
；
解：四边形是矩形，理由如下：
连接、，如图，

四边形是平行四边形，
，，
由知，，
，
即，
又，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是矩形． 

【解析】根据平行四边形的性质、邻补角定义推出，，结合，即可判定≌，根据全等三角形的性质即可得解；
由平行四边形的性质得出，由知，证出，得出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质推出，即可判定四边形是矩形．
本题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，证题的关键是通过证明三角形≌得到．
 

23.【答案】解：抛物线经过，，
则，
解得，
抛物线的表达式为；
，
，
当时，有最大值，最大值为，
大棚的最高点到地面的距离为米；
当时，，
整理得，
解得，，
．
两个照明灯的水平距离是米． 

【解析】把，代入，解方程组求出，的值即可；
把中解析式化为顶点式，由函数的性质求最值；
当时，，解方程得出方程的解，再求出即可．
本题主要考查二次函数的应用，不仅要求对二次函数的相关性质很熟练，还要结合具体的实际意义解此类题目．
 

24.【答案】          

【解析】解：尝试应用：点、、，
的水平宽为，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
，
的铅垂高为，
的面积为．
故答案为：，，；
学以致用：，令，则，
，
令，则，解得或，
、，
的水平宽为，
，
顶点坐标为，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
，
的铅垂高为，
的面积为．
故答案为：，，．
尝试应用：用待定系数法可得直线的解析式，可得点的坐标，再根据“水平宽”、“铅垂高”的定义以及结论提炼：，即可求解；
学以致用：求出、、、的坐标，利用待定系数法可得直线的解析式，可得点的坐标，再根据“水平宽”、“铅垂高”的定义以及结论提炼：，即可求解．
本题是二次函数的综合题，考查了新定义，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，解题的关键是数形结合思想的运用．
 

25.【答案】解：连接，如图：

四边形是菱形，，，
，，，
，
，
根据题意得：，
在中，，
，
，
，
点在线段的垂直平分线上，
，即，
解得，
当为何值时，点在线段的垂直平分线上；
过作于，过作交延长线于，如图：

，
，
，，
，
由知，
，
，
，，
，
∽，
，即，
，
，
；
与之间的函数关系式为；
存在某一时刻，使，理由如下：
过作于，如图：

，，
∽，
，即，
，，
，
，
由知，
根据菱形的对称性可得，
，
，
，
，
，
，
解得，
经检验，是分式方程的解，
的值为． 

【解析】连接，由四边形是菱形，，，可得，，，，即知，在中，，可得，根据点在线段的垂直平分线上，有，故；
过作于，过作交延长线于，用面积法可得，可得，，从而，得，，根据∽，得，故，即可得；
过作于，由∽，有，，，知，而，有，可得，根据，得，故，解得．
本题考查四边形综合应用，涉及菱形性质及应用，梯形和三角形的面积，直角三角形，相似三角形判定与性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题．