2022年山东省青岛市中考数学一模试卷（含解析）

2022年山东省青岛市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

1. 下列各数为无理数的是

A.  B.  C.  D.

2. 年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”，下列四个有关环保的图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

3. 如图所示的几何体，其左视图是

A.
B.
C.
D.

4. 据统计，月日，电影长津湖总票房超过亿，其中亿用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

5. 如图，将先向右平移个单位，再绕原点顺时针方向旋转，得到，则点的对应点的坐标是

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在一矩形纸条中，，将纸条沿折叠，点的对应点为，若，则折痕的长为

A.
B.
C.
D.

7. 如图，一圆环分别与夹角为的两墙面相切，圆环上图示位置固定一小球，并用细线将小球与两切点分别相连，两细线夹角为，则与之间的关系是

A.
B.
C.
D.

8. 在同一平面直角坐标系中，若一次函数和反比例函数的图象均不经过第二象限，则二次函数的图象一定不经过

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

9. 计算：______．
10. 青岛某超市举行抽奖活动，在一个封闭的盒子里有张形状完全相同的纸片，其中有张是一等奖，抽到二等奖的概率是，剩下的是“谢谢惠顾”，则盒子中有“谢谢惠顾”______张．
11. 新冠疫情期间，小李同学连续两周居家健康检测，如图是小李记录的体温情况折线统计图，记第一周体温的方差为，第二周体温的方差为，试判断两者之间的大小关系______用“”、“”、“”填空

12. 如图，一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间与行驶速度的图象为双曲线的一段，若这段公路行驶速度不得超过，则该汽车通过这段公路最少需要______

13. 如图是一圆柱形管道的横截面，管道直径为，里面存有深的污水，则污水部分阴影部分的面积是______．
    
     

14. 如图，正方形的边长为，是上一点，，连接与相交于点，过点作，交于点，连接，则点到的距离为______．
    
     

三、解答题（本大题共10小题，共78分）

15. 已知：及其两边上的点、．
    求作：四边形，使点在内部，，且．

16. 计算：；
    解不等式组：，并写出它的正整数解．
17. 在践行青岛市中小学生全面发展“十个一”活动中，小明到青岛某景点进行了一次研学．该景点出售三种青岛特色景点明信片“五月的风”“秀美崂山”“栈桥记忆”小明在如图四张明信片中随机抽取了两张，请用列表或画树状图的方法，求出他抽取的组合为“五月的风秀美崂山”的概率．

18. 如图，、是建筑工地上两建筑物，建筑物的高度为米，在建筑物顶部测得建筑物底部的俯角为，测得建筑物顶部的仰角为现工人需用一根绳子将点和点连接绳子不弯折，试求绳子的长度．
    参考数据：，，，，，
     

19. 为响应“双减”政策，老师们都精心设计每天的作业，青岛某学校调查了该校部分学生每天完成作业所用时间，并用得到的数据绘制了如下不完整的统计图．
    
    根据图中信息回答下列问题：
    本次调查属于______选填“普查”或“抽样调查”；
    本次共调查学生______人，调查学生完成作业所用时间的众数是______；
    将条形统计图补充完整；
    估计该校学生完成作业所用的平均时间．
20. “菊润初经雨，橙香独占秋”，如图，橙子是一种甘甜爽口的水果，富含维生素某水果商城为了了解两种橙子市场销售情况，购进了一批数量相等的“血橙”和“脐橙”供客户对比品尝，其中购买“脐橙”用了元，购买“血橙”用了元，已知每千克“血橙”进价比每千克“脐橙”贵元．
    求每千克“血橙”和“脐橙”进价各是多少元？
    若该水果商城决定再次购买同种“血橙”和“脐橙”共千克，且再次购买的费用不超过元，且每种橙子进价保持不变．若“血橙”的销售单价为元，“脐橙”的销售单价为元，则该水果商城应如何进货，使得第二批的“血橙”和“脐橙”售完后获得利润最大？最大利润是多少？

21. 如图，在中，点、分别为、的中点，过点作的平行线，交的延长线于点，连接、．
    求证：≌；
    若，则四边形是，什么特殊四边形？请说明理由．

22. 年冬奥会成功在北京张家口举行，奥林匹克精神鼓舞了越来越多的年轻人从事冰雪运动．在长，高的斜面上，滑雪运动员从顶端腾空而起，最终刚好落在斜面底端，其轨迹可视为抛物线的一部分．按如图方式建立平面直角坐标系，设斜面所在直线的函数关系式为，运动员轨迹所在抛物线的函数关系式为，设运动员距离地面的高度为，腾空过程中离开斜面的距离为，回答下列问题：
    分别求出、与之间的函数关系式；
    求出的最大值和此时点的坐标；
    求出的最大值和此时点的坐标．

23. 问题提出：如图，在个小正方体组成的长方体中，最多能看到多少个小正方体？
    研究思路：直接研究这个问题较为复杂，我们可以将问题转化为用小正方体总数减去看不到的小正方体个数，以求得最多能看到的小正方体的个数．
    探究一：如图，在的正方体中，有个小正方体看不到，所以最多能看到个小正方体．
    探究二：在的正方体中，有个小正方体看不到，所以最多能看到个小正方体．
    探究三：在的正方体中，有个小正方体看不到，所以最多能看______个小正方体．
    探究四：在的正方体中，有______个小正方体看不到，所以最多能看到______个小正方体．均化为最简形式
    问题解决：如图，小明是魔方爱好者，他有一个七阶魔方的正方体，则他最多能看到______个小正方体．
    问题应用：若在的正方体中最多能看到个小正方体，求的值．写出解答过程
    探究五：在的长方体中，有个小正方体看不到，所以最多能看到______个小正方体．
    探究六：在的长方体中，最多能看到______个小正方体．化为最简形式
    拓展延伸：小明在研究的长方体时，他最多能看到个小正方体，此时他看不到个小正方体，则有______种可能取值，的最小值是______．

24. 如图，在矩形中，，点、分别为、的中点．动点从点出发，以个单位长度每秒的速度向点运动；动点从点出发，以个单位长度每秒的速度向点运动．连接、相交于点，连接、设运动时间为，回答下列问题：

为何值时，点在线段的垂直平分线上？
设的面积为，求出与之间的函数关系式；
为何值时，？
作点关于直线的对称点，是否存在某一时刻，使得点落在直线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析

1.【答案】

【解析】解：是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
B.是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
C.是无理数，故本选项符合题意；
D.是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
故选：．
根据无理数的定义无理数是指无限不循环小数逐个判断即可．
本题考查了无理数的定义和算术平方根，能熟记无理数的定义是解此题的关键，无理数包括三方面的数：开方开不尽的根式，含有的，一些有规律的数，如等．
 

2.【答案】

【解析】解：既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

3.【答案】

【解析】解：这个几何体的左视图如下：

故选：．
根据简单几何体的三视图的画法，画出相应的左视图即可．
本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法是正确判断的前提．
 

4.【答案】

【解析】解：亿，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

5.【答案】

【解析】解：如图，即为所求，，

故选：．
利用平移变换，旋转变换的性质正确作出图形，可得结论．
本题考查作图坐标与图形变化旋转，平移等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形，属于中考常考题型．
 

6.【答案】

【解析】解：如图：

，，
，
四边形是矩形，
，
纸条沿折叠，点的对应点为，
，
是等腰直角三角形，
，
故选：．
根据已知画出图形，证明四边形是矩形，是等腰直角三角形，即可得到答案．
本题考查矩形中的翻折问题，解题的关键是能画出图形，掌握翻折的性质．
 

7.【答案】

【解析】解：如图所示，

根据题意得，，分别是的切线，点，分别是切点，
，，
，
又，


，
，
四边形是圆内接四边形，
，
即，
又，
，
即，
故选：．
根据切线的性质和四边形内角和定理可得出，根据圆内接四边形地性质可得，再由圆周角定理得出，代入求值 即可得到结论．
本题主要考查了切线的性质，圆内接四边形的性质以及圆周角定理等知识，解答关键是熟练掌握相关性质．
 

8.【答案】

【解析】解：一次函数不经过第二象限，
，，
反比例函数不经过第二象限，
，
二次函数的图象开口向上，对称轴不在轴左侧，且函数图象与轴的交点在轴正半轴上，
函数图象不经过第三象限，
故选：．
由一次函数不经过第二象限得，，由反比例函数不经过第二象限得，然后判断二次函数的图象．
本题考查了一次函数、二次函数、反比例函数的性质，解题的关键是熟知一次函数、反比例函数、二次函数的图象与系数的关系．
 

9.【答案】

【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质、二次根式的乘法运算法则分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

10.【答案】

【解析】解：封闭的盒子里有张形状一模一样的纸片，其中有张是一等奖，
摸到一等奖的概率为，
摸到二等奖的概率是，
摸到“谢谢惠顾”的概率为，
盒子中有“谢谢惠顾”张，
故答案为：．
首先求得摸到“谢谢惠顾”的概率，然后乘以总数即可求得答案．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
 

11.【答案】

【解析】解：根据折线统计图很容易看出小丽第一周居家体温在之间，第二周居家体温在之间，
小丽第一周居家体温数值波动小于其第二周居家体温数值波动，
．
故答案为：．
根据折线统计图很容易看出小丽第一周居家体温在之间，第二周居家体温在之间，从而推出．
本题考查是折线统计图和方差的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，如图中虚线表示小丽第一周居家体温，在之间，实线表示小丽第二周居家体温，在之间．
 

12.【答案】

【解析】解：设双曲线的解析式为，
在双曲线上，
．
，
双曲线的解析式为，
，
，
即该汽车通过这段公路最少需要
故答案为：．
直接利用已知图象得出函数解析式进而得出答案．
此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．
 

13.【答案】

【解析】解：，
，
，，
，
根据勾股定理得：，
则，
，
，
截面上有污水部分的面积为：．
故答案为：
由垂直于，利用垂径定理得到为的中点，在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，进而得出的度数，由即可求出污水面宽的长，再利用扇形面积公式得出答案．
此题考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识，熟练掌握定理是解本题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：连接，过作于，

在正方形中，，
在和中，
，
≌，
，，
，
在四边形中，，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
为等腰直角三角形，
，
，，
，
即点到的距离为．
故答案为：．
连接，过作于，根据正方形的性质和全等三角形的判定得出≌，进而利用等腰直角三角形的性质和勾股定理解答即可．
此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理解答．
 

15.【答案】解：如图，四边形为所作．
 

【解析】先过点作平行，然后过点作的垂径，垂足为，则四边形满足条件．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了直角梯形．
 

16.【答案】解：



；
，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
该不等式组的解集是，
该不等式组的正整数解是．

【解析】先算括号内的减法，再算括号外的除法即可；
先解出每个不等式的解集，然后即可写出该不等式组的解集，从而可以得到不等式组的正整数解．
本题考查分式的混合运算、解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则和解不等式组的方法是解答本题的关键．
 

17.【答案】解：列表如下：

一共有种等可能的情况数，其中他抽取的组合为“五月的风秀美崂山”的有种情况，
则他抽取的组合为“五月的风秀美崂山”的概率是．

【解析】根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出他抽取的组合为“五月的风秀美崂山”的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

18.【答案】解：过点作于点，

由题意得，四边形为矩形，
设米，
，，
米，
，，
米，
米，
，
解得，
米，
米，
答：绳子的长度是米．

【解析】先过点作于点，根据题意得出四边形为矩形，再根据的正切表示出，然后根据的正切表示出，最后根据列出方程，即可得出答案．
本题考查了仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
 

19.【答案】抽样调查   

【解析】解：由题意可得，
本次调查采用的调查方式是抽样调查，
故答案为：抽样调查；
，本次调查的人数为：，
完成作业时间为小时的有：人，
调查学生完成作业所用时间的众数是小时，
故答案为：，；
补全的条形统计图如图所示，

小时，
答：估计该校学生完成作业所用的平均时间是小时．
根据题意，可以得到本次调查采用的调查方式；
根据观赛时间为小时的人数和所占的百分比可以求得本次调查的人数，从而可以得到得到抽查学生完成作业所用时间的众数；
根据完成作业时间为小时的人数，进而可以将条形统计图补充完整；
根据条形统计图中的数据可以计算出所有被抽查学生完成作业所用的平均时间．
本题考查条形统计图、扇形统计图、加权平均数、众数等，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

20.【答案】解：设每千克“脐橙”为元，则每千克“血橙”是元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，
，
答：每千克“血橙”为元，每千克“脐橙”为元；
设可再购买千克“血橙”，则购买千克“脐橙”，
根据题意，得，
解得；
每千克“血橙”的利润为：元，
每千克“脐橙”的利润为：元，
设总利润为元，根据题意，得，
因为，
所以最的增大而增大，
所以当时，有最大值，，
此时，，
答：该水果商城购买千克“血橙”，千克“脐橙”，获得利润最大，最大利润是元．

【解析】设每千克“脐橙”为元，则每千克“血橙”为元，根据题意列方程求解即可；
设可再购买千克“血橙”，则购买千克“脐橙”，根据题意求出的取值范围；设总利润为元，并求出与的关系式，再根据一次函数的性质解答即可．
本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到不等关系及等量关系．
 

21.【答案】证明：，
，，
是的中点，
，
在和中，
，
≌；
解：四边形是菱形．
理由：点、分别是边、的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，则，
，
四边形是平行四边形，
，点是边的中点，
，
平行四边形是菱形．

【解析】可利用证明≌；
首先利用平行四边形的判定方法得出四边形是平行四边形，进而得出，利用一组对边相等且平行的四边形是平行四边形可证明四边形是平行四边形，再证明，进而得出四边形是菱形．
此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及菱形的判定，熟练应用平行四边形的判定与性质是解题关键．
 

22.【答案】解：把点和代入直线得，
，
解得：，
；
把点和，代入抛物线得，
，
解得：，
；
把化成顶点式得：
，
，
当时，运动员离地面的高度最大，
即，
；
过点作轴交于，

，
，
当时，有最大值，最大值为，
，，
，
，
，
当最大值时，有最大值，
，
，
．

【解析】把点和分别代入直线的函数关系式为和运动员轨迹所在抛物线的函数关系式为进而得出答案；
把抛物线的函数关系式化为顶点式，进而得出答案；
过点作轴交于，求出的最大值，从而求出的最大值，以及点坐标．
本题考查了一次函数和二次函数图的综合问题，解题的关键是数形结合，熟练掌握抛物线的三种解析式，特别是顶点式；要注意当直线与抛物线相切时距离最大；两条相互垂直的直线．
 

23.【答案】             

【解析】探究三：由题意得：个，
所以最多能看到个小正方体故答案为：；
探究四：由题意得：

，
所以有个小正方体看不到；
由题意得：
，
所以最多能看到：个小正方体，
故答案为：，；
问题解决：由知：
当时，

，
所以最多能看到个小正方体，
故答案为：；
问题应用：由得：
，
解得：，
故答案为：；
探究五：由题意得：

个，
所以最多能看到个小正方体，
故答案为：；
探究六：由题意得：

，
所以最多能看到个小正方体，
故答案为：；
解：由题意得
，
分解为个因数的积共有：
，，，，种情况，
的值有如下种情况：
当时
，解得，
此时；
当时，
，解得，
此时；
当时，
，解得，
此时；
当时，
，解得，
此时；
所以有种可能取值，的最小值是，
故答案为：，；
根据探索一和探索二即可求得答案；
仿照探索一和探索二列式，然后计算化简即可得到答案；
把代入中的结论即可求得答案；
由中的结论，列方程并解方程即得答案；
根据探索一和探索二即可求得答案；
仿照探索一和探索二列式，然后计算化简即可得到答案；
根据中的解题过程，列出两个等式，再根据分解成个因数的种情况，求解即可得到答案．
本题考查找规律问题，解题关键在于发现规律并列出正确代数式进行求解，还重点考查了分类讨论的数学思想．
 

24.【答案】解：如图，四边形是矩形，
，，，
、分别为、的中点，
，，
，，
，，
四边形和四边形都是平行四边形，
，，
四边形和四边形都是矩形，
作于点，则，
四边形是矩形，
，
当垂直平分，则，
，
，
解得，
当时，点在线段的垂直平分线上．
如图，，，
∽，
，
，，
，
，
与之间的函数关系式为，
如图，，
，
，
，
∽，
，
，
解得，
当时，．
存在，如图，点在直线上，连接，
点与点关于直线对称，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
整理得，
解得，不符合题意，舍去，
的值为．

【解析】由四边形是矩形得，，，因为、分别为、的中点，所以，，可证明四边形和四边形都是矩形，作于点，则四边形是矩形，则，当垂直平分，则，可列方程，解方程求出的值即可；
由得∽，则，因为，则，根据，列出用含的代数式表示的等式，再进行整理，即可得到关于的函数关系式；
当时，则，因为，所以，即可证明∽，根据相似三角形的对应边成比例列方程，即可求出的值；
当点在直线上，连接，由垂直平分，得，所以，而，得，所以，根据列方程求出的值即可．
此题考查矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、轴对称的性质、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，此题难度较大，属于考试压轴题．