八年级数学竞赛培优专题及答案 02 乘法公式
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阅读与思考
乘法公式是多项式相乘得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在整式的乘除、数值计算、代数式的化简求值、代数式的证明等方面有广泛的应用，学习乘法公式应注意：
1．熟悉每个公式的结构特征；
2．正用 即根据待求式的结构特征，模仿公式进行直接的简单的套用；
3．逆用 即将公式反过来逆向使用；
4．变用 即能将公式变换形式使用；
5．活用 即根据待求式的结构特征，探索规律，创造条件连续综合运用公式．
例题与求解
【例1】 1，2，3，…，98共98个自然数中，能够表示成两个整数的平方差的个数是 ．
（全国初中数字联赛试题）
解题思路：因，而的奇偶性相同，故能表示成两个整数的平方差的数，要么为奇数，要么能被4整除．
【例2】（1）已知满足等式，则的大小关系是( )
A． B． C． D．
（山西省太原市竞赛试题）
（2）已知满足，则的值等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
（河北省竞赛试题）
解题思路：对于（1），作差比较的大小，解题的关键是逆用完全平方公式，揭示式子的非负性；对于（2），由条件等式联想到完全平方式，解题的切入点是整体考虑．
【例3】计算下列各题：
（1） ； （天津市竞赛试题）
（2）； （“希望杯”邀请赛试题）
（3）．
解题思路：若按部就班运算，显然较繁，能否用乘法公式简化计算过程，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特征．
【例4】设，求的值． （西安市竞赛试题）
解题思路：由常用公式不能直接求出的结构，必须把表示相关多项式的运算形式，而这些多项式的值由常用公式易求出其结果．
【例5】观察：
（1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；
（2）根据（1），计算的结果（用一个最简式子表示）．
（黄冈市竞赛试题）
解题思路：从特殊情况入手，观察找规律．
【例6】设满足求：
（1）的值；
（2）的值．
（江苏省竞赛试题）
解题思路：本题可运用公式解答，要牢记乘法公式，并灵活运用．
能力训练
A级
1．已知是一个多项式的平方，则 ． （广东省中考试题）
2．数能被30以内的两位偶数整除的是 ．
3．已知那么 ．
（天津市竞赛试题）
4．若则 ．
5．已知满足则的值为 ．
（河北省竞赛试题）
6．若满足则等于 ．
7．等于（ ）
A． B． C． D．
8．若，则的值是（ ）
A．正数 B．负数 C．非负数 D．可正可负
9．若则的值是（ ）
A．4 B．19922 C．21992 D．41992
（“希望杯”邀请赛试题）
10．某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个8列的长方形队列．如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？ （“CASIO”杯全国初中数学竞赛试题）
11．设，证明：是37的倍数． （“希望杯”邀请赛试题）
12．观察下面各式的规律：
写出第2003行和第行的式子，并证明你的结论．
B级
1．展开式中的系数，当1，2，3…时可以写成“杨辉三角”的形式（如下图），借助“杨辉三角”求出的值为 ． （《学习报》公开赛试题）
2．如图，立方体的每一个面上都有一个自然数，已知相对的两个面上的两数之和都相等，如果13，9，3的对面的数分别为，则的值为 ．
（天津市竞赛试题）
3．已知满足等式则 ．
4．一个正整数，若分别加上100与168，则可得两到完全平方数，这个正整数为 ．
（全国初中数学联赛试题）
5．已知，则多项式的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．把2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示法有（ ）
A．16种 B．14种 C．12种 D．10种
（北京市竞赛试题）
7．若正整数满足，则这样的正整数对的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（山东省竞赛试题）
8．已知，则的值是（ ）
A．3 B．9 C．27 D．81
（“希望杯”邀请赛试题）
9．满足等式的整数对是否存在？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
10．数码不同的两位数，将其数码顺序交换后，得到一个新的两位数，这两个两位数的平方差是完全平方数，求所有这样的两位数．
（天津市竞赛试题）
11．若，且， 求证：．
12．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如
因此4，12，20这三个数都是神秘数．
（1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为和（其中取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
（3）两个连续奇数的平方差（取正值）是神秘数吗？为什么？ （浙江省中考试题）
专题02 乘法公式
例1 73 提示：满足条件的整数是奇数或是4的倍数．
例2 （1）B x－y＝（＋4a＋a）＋（－8b＋16）＝＋≥0，x≥y．
（2）B 3个等式相加得：＋＋＝0，a＝3，b＝－1，c＝1．a＋b＋c＝3－1＋1＝3．
例3 （1） （2）4 （3）－5050
例4 提示：由a＋b＝1，＋＝2得ab＝－，利用＋＝（＋）（a＋b)－ab(＋)可分别求得＋＝，＋＝，＋＝，＋＝，＋＝．
例5 （1）设n为自然数，则n（n＋1)(n＋2)(n＋3）＋1＝
（2）由①得，2000×2001×2002×2003＋1＝．
例6（1）设
－②，得ab＋bc＋ac＝，
∵－3abc＝（a＋b＋c）（－ab－bc－ac），
∴abc＝（）－（a＋b＋c）（－ab－bc－ac）＝×3－×1×（2＋）＝．
（2）将②式两边平方，得
∴
＝4－2
＝4－2＝．
A级
1．0或6 2．26，28 3．2 4．40 5．34 6．0 7．D 8．A 9．C
- 原有136或904名学生．设
m，n均为正整数，且m＞n，
①－②得（m＋n）（m－n）＝240＝．
，都是8的倍数，则m，n能被4整除，m＋n，m－n均能被4整除．得或，
∴或
8x＝－120＝904或8x＝－120＝136．
- 因为a＝＋－2＝（－1）＋（－1）＝999 999 999＋37×（＋38＋1），而999 999 999＝9×111 111 111＝9×3×37 037 037＝27×37×1 001 001＝37×（27×1 001 001）．
所以37|999 999 999，且37|37×（＋38＋1），因此a是37的倍数．
- 第2003行式子为：＝．
第n行式子为：＝．证明略
B级
1．1．094
2．76 提示：由13＋a＝9＋b＝3＋c得a－b＝－4，b－c＝－6，c－a＝10
3．13 4．156 5．D
- C 提示：（x＋y）（x－y）＝2009＝7×7×41有6个正因数，分别是1，7，41，49，287和2009，因此对应的方程组为：
故（x，y）共有12组不同的表示．
7．B 8．C
9．提示：不存在符合条件的整数对（m，n），因为1954不能被4整除．
10．设所求两位数为，由已知得＝（k 为整数），得而得或
解得或，即所求两位数为65，56
11. 设, 则由得 ③
②③, 得, 即 或
分别与联立解得或
12. (1) , 故28和2012都是神秘数
（2）为4的倍数
（3）神秘数是4的倍数，但一定不是8的倍数. ,故两个连续奇数的平方差不 是神秘数
八年级数学竞赛培优专题及答案 08 分式方程： 这是一份八年级数学竞赛培优专题及答案 08 分式方程，共8页。
八年级数学竞赛培优专题及答案 11 双曲线： 这是一份八年级数学竞赛培优专题及答案 11 双曲线，共15页。
八年级数学竞赛培优专题及答案 21 梯形： 这是一份八年级数学竞赛培优专题及答案 21 梯形，共11页。
