八年级数学竞赛培优专题及答案 12 心中有数

这是一份八年级数学竞赛培优专题及答案 12 心中有数，共13页。

 专题12 心中有数

阅读与思考
现代社会是一个数字化的社会，我们每个人每天都要和各种各样的数字打交道，从国民生产总值、人均消费水平、人口自然增长率、股市综合指数，到家庭的水、电、煤气的月平均数，学生的身高、体重、考试成绩，都与数字有关.“用数据说话”已成为从事许多工作的基本要求，能用数据说话的人必须具备一定的统计知识.
对数据进行收集、整理、计算、分析，并在此基础上作出科学的推断，这就是数据分析，是统计学研究的基本范畴和方法，收集数据、量化处理的目的在于运用统计结果进行判断和决策.
统计学的基本思想就是用样本对总体进行估计、推理，即用样本的平均水平、波动情况、分布规律等特征估计总体的平均水平、波动情况和分布规律，是从局部看整体的思想方法.

例题与求解
【例l】 在对某班的一次数学测试成绩进行统计分析中，各分数段的人数如图所示（分数取正整数，满分100分）.请观察图形，并回答下列问题：
（1）该班有________名学生.
（2）69.5~79.5这一组的频数是_________，频率是_________.
（3）请估算该班这次测验的平均成绩.
（黄冈市中考试题）
解题思路：从频率直方图中捕捉相关信息.


【例2】 某学生通过先求与的平均值，再求得数与的平均值来计算，，三个数的平均数.当时，这个学生的最后得数是（ ）
A.正确的 B.总小于A C.总大于A
D.有时小于A，有时等于A E.有时大于A，有时等于A
（第二届美国中学生邀请赛试题）
解题思路：按不同方法计算平均值，作差比较它们的大小.





【例3】 某校九年级学生共有900人，为了解这个年级学生的体能，从中随机抽取部分学生进行1min的跳绳测试，并指定甲、乙、丙、丁四名同学对这次测试结果的数据作出整理，下图是这四名同学提供的部分信息：
甲：将全体测试数据分成6组绘成直方图（如图）；
乙：跳绳次数不少于105次的同学占96%；
丙：第①、②两组频率之和为0.12，且第②组与第⑥组频数都是12；
丁：第②、③、④组的频数之比为4：17：15．
根据这四名同学提供的材料，请解答如下问题：
（1）这次跳绳测试共抽取多少名学生？各组有多少人？
（2）如果跳绳次数不少于135次为优秀，根据这次抽查的结果，估计全年级达到跳绳优秀的人数为多少.
（3）以每组的组中值（每组的中点对应的数据）作为这组跳绳次数的代表，估计这批学生1min跳绳次数的平均值．
（安徽省中考试题）
解题思路：本题考查了频率、频数的概念和对频数直方图的认识，要理解各组频率之和为1，各组频数之和等于总数，掌握好这些知识点，自然可以解决问题.

【例4】 编号为1到25的25个弹珠被分放在两个篮子A和B中，15号弹珠在篮子A中，把这个弹珠从篮子A移至篮子B中，这时篮子A中的弹珠号码数的平均数等于原平均数加，篮子B中弹珠号码数的平均数也等于原平均数加．问原来在篮子A中有多少个弹珠？
（第十六届江苏竞赛试题）
解题思路：用字母分别表示篮子A，B中的弹珠数及相应的平均数，运用方程（组）来求解.












【例5】 某次数学竞赛共有15道题，下表是对于做对n（n=0，1，2，…，15）道题的人数的一个统计，如果又知其中做对4道题和4道以上的学生每人平均做对6道题，做对10道题和10道题以下的学生每人平均做对4道题，问这个表至少统计了多少人？
问这个表至少统计了多少人？
n
0
1
2
3
…
12
13
14
15
做对 n道题的人数
7
8
10
21
…
15
6
3
1
（全国初中数学联赛试题）
解题思路：从统计表中可知做对0~3道题、12~15道题的相应总人数和总题数，结合已知条件，运用方程（组）、不等式（组）等知识方法求解.






【例6】 一次中考模拟考试中，两班学生数学成绩统计如下：
分数
50
60
70
80
90
100
人数
三（3）
2
5
10
13
14
6
三（4）
4
4
16
2
12
12
请你根据学过的统计学知识，判断这两个班在这次模拟考试中的数学成绩谁优谁次？并说明理由.
解题思路：这是一道开放性试题，看考虑问题是从哪一个侧面入手.本题因未说明从何种角度来考虑，故我们应多想几套方案.








能力训练
A级

1.大连是一个严重缺水的城市，为鼓励市民珍惜每一滴水，某居委会表彰了100个节约用水模范户，5月份这100户节约用水的情况如下表：
每户节水量（单位：吨）
1
1.2
1.5
节水户数
52
30
18
那么，5月份这100户平均节约用水的吨数为（精确到0.01吨）_________吨.
（大连市中考试题）
2.某班全体学生进行了一次篮球投篮练习，每人投球10个，每投进一球得1分．得分的部分情况如下表所示：
得分
0
1
2
…
8
9
10
人数
7
5
4
…
3
4
1

已知该班学生中，至少得3分的人的平均得分为6分，得分不到8分的人的平均得分为3分，那么该班

学生有___________人．
（江苏竞赛试题）
3.甲、乙两名学生在相同的条件下各射靶10次，命中的环数如下：
甲：7 8 6 8 6 5 9 10 7 4
乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
所以应确定_______去参加射击比赛.
4. 在综合实践课上，六名同学做的作品的数量（单位：件）分别是：5，7，3，，6，4，若这组数据
的平均数是5，则这组数据的中位数是_________件.
（包头市中考试题）
5.如果一组数据，，，，的平均数是，则另一组数据，，，， 的平均数是（ ）
A. B. C. D.
（天津市中考试题）
6.10名工人某天生产同一零件，生产的件数是45，50，75，50，20，30，50，80，20，30．设这些零件数的平均数为，众数为，中位数为，那么（ ）
A. B. C. D.
（宁夏中考试题）
7. 为了了解某区九年级7 000名学生，从中抽查了500名学生的体重.就这个问题而言，下列说法正确的
是（　　）
A．7 000名学生是总体 B．每个学生是个体
C．500名学生是样本 D．样本容量为500
8.已知1~99中有49个偶数，从这49个偶数中取出48个数，其平均数为，则未取的数字是（ ）
A．20 B．28 C．72 D．78
（台湾省中考试题）
9.甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示：
（1）分别求出两人得分的平均数与方差；
（2）根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价.

（安徽省中考试题）

10.某校要从九年级（1）班和（2）班中各选取10名女同学组成礼仪队，选取的女生身高如下：（单位：厘米）
（1）班：168 167 170 165 168 166 171 168 167 170
（2）班：165 167 169 170 165 168 170 171 168 167
（1）补充完成下面的统计分析表
班级
平均数
方差
中位数
极差
（1）班
168

168
6
（2）班
168
3.8


（2）请选一个合适的统计量作为选择标准，说明哪一个班能被选取.
（2013宁夏回族自治区中考试题）





11.为估计一次性木质筷子的用量，2011年从某县共600家高、中、低档饭店中抽取10家作样本.这些饭店每天消耗的一次性筷子盒数分别为：
0.6，3.7，2.2，1.5，2.8，1.7，1.2，2.1，3.2，1.0.
（1）通过对样本的计算，估计该县1999年消耗多少盒一次性筷子（每年按350个营业日计算）；
（2）2013年又对该县一次性木质筷子的用量以同样的方式作了抽样调查，调查的结果是10个样本饭店每个饭店平均每天使用一次性筷子2.42盒．求该县2012年、2013年这两年一次性木质筷子用量平均每年增长的百分率（2012年该县饭店数、全年营业天数均与2011年相同）；
（3）在（2）的条件下，若生产一套中小学生桌椅需木材0.07，求该县2013年使用一次性筷子的木材可以生产多少套学生桌椅?
计算中需用的有关数据为：每盒筷子100双，每双筷子的质量为5，所用木材的密度为0.5×103；
（4）假如让你统计你所在省一年使用一次性筷子所消耗的木材量，如何利用统计知识去做，简要地用文字表述出来．






12.由9位裁判给参加健美比赛的12名运动员评分.每位裁判对他认为的第1名运动员给1分，第2名运动员给2分，…，第12名运动员给12分，最后评分结果显示：每个运动员所得的9个分数中高、低之差都不大于3.设各运动员的得分总和分别为，，…，，且，求的最大值.
(第十九届江苏省竞赛试题)





B级

1.为制定本市初中七、八、九年级学生校服的生产计划，有关部门准备对180名初中男生的身高作调查，现有三种调查方案：
A、测量少体校中180名男子篮球、排球队员的身高；
B、查阅有关外地180名男生身高的统计资料；
C、在本市的市区和郊县各任选一所完全中学、两所初级中学，在这六所学校有关年级的（1）班中，用抽签的方法分别选出10名男生，然后测量他们的身高．问：
（1）为了达到估计本市初中这三个年级男生身高分布的目的，你认为采用上述哪一种调查方案比较合理，为什么？
答：选________；理由：______________________________________________________________
（2）下表中的数据是使用了某种调查方法获得的：
初中男生身高情况抽样调查表

七年级
八年级
九年级
总计
（频数）
143~153
12
3
0

153~163
18
9
6

163~173
24
33
39

173~183
6
15
12

183~193
0
0
3

（注：每组可含最低值，不含最高值）
①根据表中的数据填写表中的空格；
②根据填写的数据绘制频数分布直方图．

（上海市中考试题）
2.为了检查一批产品的合格率，从中检查了100个产品，测得数据如下：
数据








个数
5
10
15
20
20
15
10
5
其中，，，…，是从小到大排列的两位数，且每个两位数与它的反序数（12的反序数是21）之和都为完全平方数，样本的方差是________.
（辽宁锦州市竞赛试题）

3.五名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为米，后两名的平均身高为米，前两名的平均身高为，后三名的平均身高为，则与比较（ ）
A.大 B.大 C.两者相等 D.无法确定
（“五羊杯”邀请赛试题）
4.已知数据，，的平均数为，，，的平均数为，则数据，，的平均数为（ ）
A. B. C. D.
（全国初中数学竞赛试题）
5.小林拟将1，2，…，这个数输入电脑，求平均数.当他认为输入完毕时，电脑显示只输入个数，平均数为，假设这个数输入无误，则漏输入的一个数是（ ）
A.10 B.53 C.56 D.67
（江苏省竞赛试题）
6.如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．设该矩形的长QM=mm，宽MN=mm．
（1）求证：；
（2）当矩形PQMN的面积最大时，它的长和宽是关于的一元二次方程的两个根，而、的值又恰好分别是，10，12，13，这5个数据的众数与平均数，试求与的值．
（广西壮族自治区中考试题）


7.某班参加一次智力竞赛，共，，三道题，每题或者得满分或者得0分．其中题满分20分， 、题满分都为25分，竞赛结果：每个学生至少答对了一题，三题全答对的有1人，答对其中两道题的有15人，答对题的人数与答对题的人数之和为29；答对题的人数与答对题的人数之和为25；答对题的人数与答对题的人数之和为20，问这个班的平均成绩是多少.
（全国初中数学联赛试题）




8.元旦联欢会某班布置教室，同学们利用彩纸条粘成一环套一环的彩纸链，小敏测量了部分彩纸链的长度，她得到的数据如下表：
纸环数（个）
1
2
3
4
…
彩纸链长度(cm)
19
36
53
70
…
（1）把上表中、的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想与的函数关系，并求出函数关系式；
（2）教室天花板对角线长10m，现需沿天花板对角线各拉一根彩纸链，则每根彩纸链至少要用多少个纸环？

（济南市中考试题）
9.某射击运动员在一次比赛中，前6次射击已经得到52环，该项目的记录是89环（10次射击，每次射击环数只取1～10中的正整数）．
（1）如果他要打破记录，第7次射击不能少于多少环？
（2）如果他第7次射击成绩为8环，那么最后3次射击中要有几次命中10环才能打破记录？
（3）如果他第7次射击成绩为10环，那么最后3次射击中是否必须至少有一次命中10环才有可能打破记录？
（山东省中考试题）


10.“中国梦”关乎每个人的幸福生活.为进一步感知我们身边的幸福，展现成都人追梦的风采，我市某校开展了以“梦想中国，逐梦成都”为主题的摄影大赛，要求参赛学生每人交一件作品．现将参赛的50件作品的成绩（单位：分）进行统计如下：
等级
成绩（用表示）
频数
频率
A


0.08
B

35

C

11
0.22
合计

50
1
请根据上表提供的信息，解答下列问题：
（1）表中的的值为________，的值为_______；
（2）将本次参赛作品获得A等级的学生依次用A1，A2，A3，…表示，现该校决定从本次参赛作品中获得A等级学生中，随机抽取两名学生谈谈他们的参赛体会，请用树状图或列表法求恰好抽到学生A1和A2的概率．
（成都市中考试题）


专题12 心中有数
例1 （1）60 （2） （3）71（分）
例2 C
例3 （1）第①组频率为1-96%=0.04，∴第②组频率为0.12-0.04=0.08.故总人数为12÷0.08=150（人），又第②、③、④组的频数之比为4：17：15，可算得第①⑥组的人数分别为6、12、51、45、24、12.
（2）第⑤⑥两组的频率之和为0.16+0.08=0.24，由于样本是随机抽取的，可估计全年级有900×0.24=216（人）达到优秀.
例4 设原来篮子A中有弹珠x个，则篮子B中有弹珠（25-x）个，又设原来A弹珠号码数的平均数为a,B中弹珠号码数的平均数b，则，解得x=9.
即原来篮子A中有9个弹珠.
例5提示：由统计表可知：做对0～3道题的总人数为7+8+10+21= 46（人），他们做对题目数的总和为7×0+8×1+10×2+21×3=91（题）；做对12～15道题的总人数为15+6+3+1=25（人），他们做对题目数的和为15×12+6×13+3×14+1×15=315（题）．
以x0，x1，…，x15分别表示做对0道、1道、…、15 道题目的人数，由题意得
，
即= 6()； =4（）
两式相减得11x11+12x12+…15x15-(x1+2x2+3x3)=6()-4(）=6(x11+x12+…+x15)-4(x0+x1+x2+x3)+2(x4+x5+…+x10) =4(x11+x12+…+x15)-6(x0+x1+x2+x3)+2(x0+x1+…+x15)=4x11+4(x12+x13+x14+x15)-6(x0+x1+x2+x3)+2（x0+x1+…+x15）
而x0+x1+x2+x3=46,x12+x13+x14+x15=25,0+x1+2x2+3x3=91,12x12+13x13+14x14+15x15=315
代入上式得llx11+315 - 91=4x11+4×25-6×46 +2(x0+x1+…+x15)．
故x0+x1+…+x15=200+3.5x11(x11≥0)，因此， 当x11=0时，统计的总人数x0+x1+…+x15最少为200人.

例6方案一 从平均数的角度，其解为


因此，从平均数的角度来看，两班成绩一样好．
方案二 从选拔人才的角度考虑：三(3)班高于 90分的人数有20人，三(4)班有24人；同时三(4)班 满分人数比三(3)班多6人，这说明三(4)班尖子生比 三(3)班多.
因此，从选拔人才的角度看，三(4)班比三(3)班成绩好．
方案三 从众数的角度来思考：三(3)班成绩的众数为90，三(4)班成绩的众数为70，
因此．从成绩的众数来看，三(3)班优于三(4)班．
方案四 从方差或标准差的角度来考虑．
∵ ∴＜，即三(3)班成绩较三(4)班波动要小，从而说明三(3)班成绩优于三(4)班．
方案五从中位数的角度来考虑．三(3)、三(4) 两班成绩的中位数都为80分．三(3)班成绩在中位数 以上（包括中位数）有33人，三(4)班成绩在中位数以 上（包括中位数）有26人，从这一角度来看，三(3)班 学生成绩整体较好．
A级
1. 1. 15 2. 43 设共有x人． 由(x-4-5-7)×6+2×4+1×5+0×7=(x-3-4-1)×3+8×3+9×4+10×1，得x=43.
3．乙 4. 5 5．B 6．C 7．D 8．D

9．(l) (2)乙的成绩较稳定，从折线图看，乙的成绩则在平均线上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高．、
10.（1）
班级
平均数
方差
中位数
极差
(1)班
168
3.2
168
6
(2)班
168
3.8
168
6

(2)(1)班
11. =2.0 2×600×350=420 000(盒) (2)10% (3) (4)略
12.9名裁判不可能给某5位或5位以上的运动员都评为1分，因为对于5位或5位以上的运动员中，至少有一名运动员被某裁判评的分不小于5．而按照题意，这5名运动员中的每一位被各裁判所评的分不大于4，矛盾． 因此，9名裁判至多给某4名运动员都评为1分，下面分情形讨论．
(l)如果所有裁判都给某一名运动员评为1分，那么C1 =9;
(2)如果9名裁判评出的9个1分集中在两位运动员名下，那么其中必有一名运动员至少被5名裁判都评为1 分，于是由题设可知，其余裁判给该运动员的评分不大于4，从而Cl≤5×1+4×4=21；
(3)如果裁判评出的9个1分集中在三位运动员名下， 那么，这三名运动员各自所得的总分之和不大于9×1 +9×3+9×4=72，从而3c1≤cl +c2 +c3≤72，故c1≤24；
(4)如果9个1分为4名运动员拥有，那么这4名运动员各人所得总分之和等于9×1+9×2+9×3+9×4= 90，从而4c1≤90，故c1<23.综上可知，c1≤24．c1=24这种情形是可以实现的，见下表．

B 级
1．（１）Ｃ　　（２）略
2．设满足条件的两位数为10x＋y，10x＋y＋10y＋x＝11（x＋y）为完全平方数，则x＋y＝11，从而，，，，，，，，，，．
3．A 4．A 用平均数的性质解答 5．C
6．（1）略 （2）（a，b）＝（10，15）或（15，10）
7．提示：设、、分别表示答对a、b、c各题的人数，则，解得，
答对一题的人数为37－1×3－2×15＝4，全班人数为1＋4＋15＝20．
全班平均成绩为（分）．
8．（1）y＝17x＋2 （2）由17x＋2≥1000得，即每根彩链至少要用59个纸环．
9．（1）不少于8环 （2）至少要3次命中10才能打破记录
（3）至少有一次命中10环．
10．（1）4 0.7
（2）由（1）知获得A等级的学生共有4人，则另外两名学生记为A3，A4．
画树状图如下：

所有可能出现的结果是：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A2，A1），（A2，A3），
（A2，A4），（A3，A1），（A3，A2），（A3，A4），（A4，A1），（A4，A2），（A4，A3）．
或列表如下：

A1
A2
A3
A4
A1

（A1，A2）
（A1，A3）
（A1，A4）
A2
（A2，A1）

（A2，A3）
（A2，A4）
A3
（A3，A1）
（A3，A2）

（A3，A4）
A4
（A4，A1）
（A4，A2）
（A4，A3）

由此可见，共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相同，其中恰好抽到A1，A2两名学生的结果有2种．
∴ P(恰好抽到A1，A2两名学生)．