八年级数学竞赛培优专题及答案 08 分式方程
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阅读与思考
分母含有未知数的方程叫分式方程．解分式方程的主要思路是去分母，把分式方程化为整式方程，常用的方法有直接去分母、换元法等．
在解分式方程中，有可能产生增根．尽管增根必须舍去，但有时却要利用增根， 挖掘隐含条件．
例题与求解
【例1】 若关于的方程＝－1的解为正数，则的取值范围是______．
（黄冈市竞赛试题）
解题思路：化分式方程为整式方程，注意增根的隐含制约．
【例2】 已知，其中A，B，C为常数．求A＋B＋C的值．
（“五羊杯”竞赛试题）
解题思路：将右边通分，比较分子，建立A，B，C的等式．
【例3】解下列方程：
（1）； （“五羊杯”竞赛试题）
（2）； （河南省竞赛试题）
（3）＋＝3． （加拿大数学奥林匹克竞赛试题）
解题思路：由于各个方程形式都较复杂，因此不宜于直接去分母．需运用解分式问题、分式方程相关技巧、方法解．
【例4】（1）方程的解是___________． （江苏省竞赛试题）
（2）方程的解是________．
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：仔细观察分子、分母间的特点，发现联系，寻找解题的突破口．
【例5】若关于的方程只有一个解，试求的值与方程的解．
（江苏省竞赛试题）
解题思路：化分式方程为整式方程，解题的关键是对原方程“只有一个解”的准确理解，利用增根解题．
【例6】求方程的正整数解． （“希望杯”竞赛试题）
解题思路：易知都大于1，不妨设1＜≤≤，则，将复杂的三元不定方程转化为一元不等式，通过解不等式对某个未知数的取值作出估计．逐步缩小其取值范围，求出结果．
能力训练
A级
1．若关于x的方程有增根，则的值为________． （重庆市中考试题）
2．用换元法解分式方程时，如果设＝，并将原方程化为关于的整式方程，那么这个整式方程是___________． （上海市中考试题）
3．方程的解为__________． （天津市中考试题）
4．两个关于的方程与有一个解相同，则＝_______．
（呼和浩特市中考试题）
5．已知方程的两根分别为，，则方程的根是（ ）．
A．， B．， C．， D．，
（辽宁省中考试题）
6．关于的方程的解是正数，则的取值范围是（ ）
A．＞－1 B．＞－1且≠0
C．＜－1 D．＜－l且≠－2
（孝感市中考试题）
7．关于的方程的两个解是1＝，2＝，则关于的方程的两个解是（ ） ．
A．， B．－1， C．， D．，
8．解下列方程：
（1）； （苏州市中考试题）
（2）． （盐城市中考试题）
9．已知．求10＋5＋的值．
10．若关于的方程只有一个解（相等的两根算作一个），求的值．
（黄冈市竞赛试题）
11．已知关于的方程2＋2＋，其中为实数.当为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根?求出这三个实数根.
（聊城市中考试题）
12．若关于的方程无解，求的值．
（“希望杯”邀请赛试题）
B级
1．方程的解是__________．
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
2．方程的解为__________．
3．分式方程有增根，则的值为_________．
4．若关于的分式方程＝－1的解是正数，则的取值范围是______．
（黑龙江省竞赛试题）
5．（1）若关于x的方程无解，则＝__________． （沈阳市中考试题）
（2）解分式方程会产生增根，则＝______． （“希望杯”邀请赛试题）
6．方程的解的个数为（ ）．
A．4个 B．6个 C．2个 D．3个
7．关于的方程的解是负数，则的取值范围是（ ） ．
A．＜l B．＜1且≠0 C．≤1 D．≤1且≠0
（山西省竞赛试题）
8．某工程，甲队独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的倍，乙队独做所需天数是甲、丙两队合做所需天数的倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的倍，则的值是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
（江苏省竞赛试题）
9．已知关于的方程（2－1）有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若原方程的两个实数根为1，2，且，求的值.
（TI杯全国初中数学竞赛试颞）
10．求方程－＋＋2006＝0的正整数解.
（江苏省竞赛试题）
11．某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降. 今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1 000元．如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元．今年销售额只有8万元．
（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元?
（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑．已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案?
（3）如果乙种电脑每台售价为3 800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元．要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？ （齐齐哈尔市中考试题）
专题08 分式方程
例1 a＜2且a≠－4
例2 原式右边＝
＝
得∴∴A＋B＋C＝13．
例3 （1）x＝提示：．
（2），x3＝－1，x4＝－4 提示：令（3）提示
例4 （1）原方程化为，即，进一步可化为(x＋2) (x＋3)＝(x＋8) (x＋9)，解得x＝－．（2）原方程化为，即，解得x＝2．
例5 原方程化为kx2－3kx＋2x－1＝0①，当k＝0时，原方程有唯一解x＝；当k≠0，Δ＝5k2＋4(k－1)2＞0．由题意知，方程①必有一根是原方程的曾根，即x＝0或x＝1，显然0不是①的根，故x＝1是方程①的根，代入的k＝．∴当k＝0或时，原方程只有一个解．
例6 ，即，因此得x＝2或3．当x＝2时，
＝，即，由此可得y＝4或5或6；同理，当x＝3时，y＝3或4，由此可得当1≤x≤y≤z时，(x，y，z)共有(2，4，12)，(2，6，6)，(3，3，6)，(3，4，4)4组；由于x，y，z在方程中地位平等，可得原方程组的解共15组：
(2，4，12)，(2，12，4)， (4，2，12)，(4，12，2)，(12，2，4)，(12，4，2)，(2，6，6)，(6，2，6)，(6，6，2)，(3，3，6)，(3，6，3)，(6，3，3)，(3，4，4) ，(4，4，3) ，(4，3，4)．
A 级
1．－1 2．y2－2y－1＝0 3．1 4．－8 5．D 6．D 7．D
8．(1) (2),
9．15250 提示：由x＋得则，得．
于是，得．进一步得．故原式＝15250．
10．k＝0或k＝ 提示：原方程化为kx2－3kx＋2x－1＝0，分类讨论．
11．设x＋2x＝y，则原方程可化为y2－2my＋m2－1＝0，解得y1＝m＋1，y2＝m－1．∵x2＋2x－m－1＝0①，x2＋2x－m＋1＝0②，从而Δ1＝4m＋8，Δ2＝4m中应有一个等于零，一个大于零．经讨论，当Δ2＝0即m＝0时，Δ1＞0，原方程有三个实数根．将m＝0代入原方程，解得
12 原方程“无解”内涵丰富:可能是化得的整式方程无解,亦可能是求得的整式方程的解为増根,故需全面讨论.原方程化为(a+2)=－3 ① , ∵原方程无解,∴a+2=0或x－1=0,x+2=0,得
B级
- 3或 － 7
- x₁=8 , x₂=－1 , x₃=－8 , x₄=1 提示: 令x²－8=y
- 3 提示:由有増根可得m=0或 m=3,但当 m=0,化为整式方程时无解
- a<2 且 a≠－4
- ⑴ －2 ⑵ －4 或 －10
- A
- 设甲单独做需要x天完成,乙单独做需要y天完成,丙单独做需要z天完成则
.
解 . 当a≠±1时,则Δ≥0,原方程有实数解.由Δ=[-﹙2a+7﹚]²-4﹙a²-1﹚≥0,解得
(3)设总获利为W元,则W=(4000-35000)x+(3800-3000-a)(15-x)=(a-300)x+12000-15a
当a=300时,(2)中所有方案获利相同,此时购买甲种电脑6台,乙钟电脑9台时对公司更有利
八年级数学竞赛培优专题及答案 02 乘法公式： 这是一份八年级数学竞赛培优专题及答案 02 乘法公式，共9页。
八年级数学竞赛培优专题及答案 11 双曲线： 这是一份八年级数学竞赛培优专题及答案 11 双曲线，共15页。
八年级数学竞赛培优专题及答案 21 梯形： 这是一份八年级数学竞赛培优专题及答案 21 梯形，共11页。
