2023届上海市崇明中学高三下学期第一阶段练习数学试题含解析

这是一份2023届上海市崇明中学高三下学期第一阶段练习数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届上海市崇明中学高三下学期第一阶段练习数学试题一、填空题1．若集合，则______.【答案】【分析】分别求出集合，由交集的定义即可得出答案.【详解】或，，.故答案为：.2．已知复数满足（其中为虚数单位），则__________．【答案】【分析】先求出复数，再利用复数的模的计算公式即可求出．【详解】因为，所以，即．故答案为：．【点睛】本题主要考查复数代数形式的运算法则以及复数的模的计算公式的应用，属于基础题．3．若，则____________．【答案】【分析】由指数式和对数式的互化求出，再由对数和指数幂的运算性质求解即可.【详解】由可得：，，.故答案为：.4．若抛物线的焦点恰好是椭圆的右焦点，则______.【答案】4【分析】由题意可得，求解即可得出答案.【详解】抛物线的焦点为，椭圆的右焦点为：，所以，解得：.故答案为：.5．已知为等差数列，若，则的值为______.【答案】【分析】先利用等差数列的性质求出，进而得，再代入所求即可．【详解】因为为等差数列，且，由等差数列的性质得，所以，故.故答案为：.6．若向量满足，则______.【答案】1【分析】将两边平方，然后将条件代入即可得到答案.【详解】因为 ，所以 ，即 ，所以，即所以，所以 故答案为: .7．函数的单调增区间为______．【答案】/【分析】利用导数求出函数的单调增区间作答.【详解】函数的定义域为，求导得：，由，即，解得，所以函数的单调增区间为.故答案为：8．记双曲线的离心率为，若直线与无公共点，则的取值范围为_______.【答案】【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线中即可求得的取值范围.【详解】，所以C的渐近线方程为，结合渐近线的特点，只需，即，可满足条件“直线与C无公共点”.所以，又因为，所以.故答案为：9．若展开式的各项系数之和为，其展开式中的常数项为______.（用数字作答）【答案】10【详解】由题意，二项式展开式的各项系数之和为，令，可得，解得，则展开式的通项为，令，可得常数项为.故答案为：10.10．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是________.【答案】96【详解】试题分析：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4×=96种【解析】排列、组合及简单计数问题 11．现有张卡片，分别写上数字．从这张卡片中随机抽取张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则______.【答案】【分析】由条件求分布列，再由期望公式求其期望.【详解】由已知可得的取值有1，2，3，4，，，，所以.故答案为：.12．设函数，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：①在有且仅有3个极大值点②在有且仅有2个极小值点③在单调递增④的取值范围是其中所有正确结论的编号是______. 【答案】①③④【分析】对①②可以通过作图判别，对于④令，根据题意得到不等式，解出范围即可，对于③证明出当时,即可.【详解】已知在有且仅有5个零点，如图，其图象的右端点的横坐标在上,此时在有且仅有3个极大值点,但在可能有2或3个极小值点,所以①正确, ②不正确;令,且,在上有且仅有5个零点,在上有且仅有5个零点,,故④正确.当时,,又,,在上单调递增.在上单调递增,故③正确.故答案为：①③④【点睛】关键点睛：令,利用整体思想将原函数转化为来研究.(2)当时,的图象可由的图象经过平移、伸缩变换得到,的增、减区间可通过讨论的增、减区间得到. 二、单选题13．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A．中位数 B．平均数C．方差 D．极差【答案】A【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案．【详解】设9位评委评分按从小到大排列为．则①原始中位数为，去掉最低分，最高分，后剩余，中位数仍为，A正确．②原始平均数，后来平均数平均数受极端值影响较大，与不一定相同，B不正确③由②易知，C不正确．④原极差，后来极差可能相等可能变小，D不正确．【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.14．函数是A．最小正周期为的偶函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为的偶函数D．最小正周期为的奇函数【答案】B【详解】试题分析：，周期为的奇函数，故答案为B.【解析】1、三角函数的化简；2、三角函数的性质.15．在对吸烟与患肺病这两个分类变量的独立性检验中，下列说法正确的是（    ）（参考数据：）① 若的观测值满足，我们有的把握认为吸烟与患肺病有关系；② 若的观测值满足，那么在个吸烟的人中约有人患有肺病；③ 从独立性检验可知，如果有的把握认为吸烟与患肺病有关系时，那么我们就认为：每个吸烟的人有的可能性会患肺病；④ 从统计量中得知有的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指有的可能性使推断出现错误．A．① B．①④ C．②③ D．①②③④【答案】B【分析】由给出的数据，结合观测值的意义判定即可.【详解】若的观测值满足，则我们有的把握认为吸烟与患肺病有关系，而得知有的把握认为吸烟与患肺病有关系时，仍有的可能性使推断出现错误，但不能说明个吸烟的人中约有人患有肺病，及每个吸烟的人有的可能性会患肺病.故①④正确、②③错误.故选：B16．定义域为的函数的图象关于直线对称，当时，，且对任意只有，，则方程实数根的个数为（    ）A．2024 B．2025 C．2026 D．2027【答案】D【分析】由于函数的图象关于直线对称，当，时，，对任意都有，可得函数在0，上以4为周期，令，则，即可得出结论,结合周期性即可求解.【详解】由于函数的图象关于直线对称，当，时，,对任意都有，得，所以函数在，上以4为周期，,做出函数一个周期，的图象：当时， ，由得：令，则，因为，而在第一个周期有3个交点，后面每个周期有2个交点，所以共有个交点，当时， ，由得：,令，得，由上述可知，有个交点，故有个交点，又时，，所以方程实数根的个数为．故选：D． 三、解答题17．已知等差数列的前项和记为，等比数列的前项和为，设，，.(1)求数列的通项；(2)设求的最大值及此时的值.【答案】(1)(2)或时，最大，最大值为. 【分析】（1）由，列方程组可求出和公差，从而可求出数列的通项；（2）由已知条件可得且，然后由已知条件列方程组可求出和，从而可求出，再利用对数的运算性质和二次函数的性质可求得结果.【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，所以，解得，所以；（2）设等比数列的公比为，由已知可得且，所以，因为，所以，即，解得，所以，所以，可得，所以，因为，所以当或时，最大，最大值为.18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是矩形，且AD＝2，AB＝PA＝1，平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点．(1)证明：；(2)求四棱锥P﹣ABCD的表面积；(3)求直线PE与平面PFD所成角的大小．【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）利用勾股定理证得，再由线面垂直证得，由此证得得平面PAF，进一步得到；（2）利用线面垂直的性质证得，，，从而分别求出各面面积，由此得到四棱锥P﹣ABCD的表面积；（3）连接EP、ED、EF，由等体积法求点E到平面PFD的距离，即可求直线PE与平面PFD所成角的正弦值，则所求得解．【详解】（1）连结AF，则在中，，同理：DF＝，又AD＝2，∴DF2+AF2＝AD2，则，∵底面ABCD，面ABCD，∴，又PA∩AF＝A，平面PAF，∴平面PAF，而平面PAF，则； .（2）已知底面ABCD，所以，因为在矩形中，，又面，所以面，又面，所以，同理：，又，因此，，，，，∴四棱锥P﹣ABCD的表面积.（3）连接EP、ED、EF，∵，∴＝，又，，，设点E到平面PFD的距离为h，则由V﹣PFD＝V﹣EFD，得，解得，设直线PE与平面PFD所成角的大小为θ，则，则直线PE与平面PFD所成角的大小为．19．如图，某公园有三条观光大道围成直角三角形，其中直角边，斜边.现有甲、乙、丙三位小朋友分别在大道上嬉戏，（1）若甲、乙都以每分钟100的速度从点出发在各自的大道上奔走，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后到达，甲到达，求此时甲、乙两人之间的距离；（2）甲、乙、丙所在位置分别记为点.设，乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的2倍，且，请将甲、乙之间的距离表示为的函数，并求甲、乙之间的最小距离.【答案】（1）；（2）；【解析】（1）由题意，，中，由余弦定理可得甲乙两人之间的距离；（2）中，由正弦定理可得，可将甲乙之间的距离表示为的函数，并求甲乙之间的最小距离.【详解】（1）依题意得在△中，，所以在△中，由余弦定理得=，所以答：甲、乙两人之间的距离为.（2）由题意得在中，在△中，由正弦定理得即所以，所以当时，有最小值答：甲、乙之间的最小距离为.【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查正弦、余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.20．如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆:及其上一点A(2，4).（1）设圆N与x轴相切，与圆外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆相交于B，C两点，且BC=OA，求直线l的方程；（3）设点T（t，0）满足：存在圆上的两点P和Q，使得求实数t的取值范围.【答案】(1)；(2)2x−y+5=0或2x−y−15=0.(3).【详解】试题分析：（1）根据直线与x轴相切确定圆心位置，再根据两圆外切建立等量关系求半径;（2）根据垂径定理确定等量关系，求直线方程；（3）利用向量加法几何意义建立等量关系，根据圆中弦长范围建立不等式，求解即得参数取值范围.试题解析：解：圆M的标准方程为，所以圆心M（6，7），半径为5，.（1）由圆心N在直线x=6上，可设.因为N与x轴相切，与圆M外切，所以，于是圆N的半径为，从而，解得.因此，圆N的标准方程为.（2）因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为.设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，则圆心M到直线l的距离因为而所以，解得m=5或m=-15.故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.（3）设因为，所以……①因为点Q在圆M上，所以…….②将①代入②，得.于是点既在圆M上，又在圆上，从而圆与圆有公共点，所以解得.因此，实数t的取值范围是.【解析】直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算【名师点睛】直线与圆中的三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理；两个公式：点到直线距离公式及弦长公式，其核心都是转化到与圆心、半径的关系上，这是解决直线与圆的根本思路.对于多元问题，也可先确定主元，如本题以为主元，揭示在两个圆上运动，从而转化为两个圆有交点这一位置关系，这也是解决直线与圆问题的一个思路，即将问题转化为直线与圆、圆与圆的位置关系问题. 21．已知函数.(1)求曲线在处的切线方程；(2)函数在区间上有零点，求k的值；(3)记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数k的取值范围.【答案】(1)(2)或(3) 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再求出切点坐标，即可求出切线方程；（2）求出的导数，判断的单调性，利用零点存在性定理判断即可；（3）求函数的导函数，令，依题意方程有两不相等的正实根、，利用韦达定理，结合的取值方程，即可求出的取值范围，则，构造函数，，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而得解．【详解】（1）解：因为，所以，切线斜率为，又，切点为，所以切线方程为；（2）解：，，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以的极小值为，，在区间上存在一个零点，此时；又，，在区间上存在一个零点，此时．综上，的值为0或3；（3）解：函数，，所以，由得，依题意方程有两不相等的正实根、，，，，又，，，解得，，构造函数，，所以，在上单调递减；所以当时，，所以．