2023年上海市崇明区高三二模数学试卷含详解

2023届崇明区高三二模考试数学试卷

2023.04

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】

1. 若不等式，则x的取值范围是____________．

2. 设复数z满足（i为虚数单位），则____________．

3. 已知集合，，若，则实数的值为____.

4. 已知函数，的最小正周期为1，则______.

5. 已知正实数a、b满足，则的最小值等于____________．

6. 在的展开式中常数项是________________.（用数字作答）

7. 以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩（单位：分），分数从低到高依次：,则这15人成绩的第80百分位数是________．

8. 某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温．

由表中数据所得回归直线方程为，据此预测当气温为5℃时，用电量的度数约为____________℃．

9. 已知抛物线上的两个不同的点，的横坐标恰好是方程的根，则直线的方程为______．

10. 在一个十字路口，每次亮绿灯的时长为30秒，那么，每次绿灯亮时，在一条直行道路上能有多少汽车通过？这个问题涉及车长、车距、车速、堵塞的干扰等多种因素，不同型号车的车长是不同的，驾驶员的习惯不同也会使车距、车速不同，行人和非机动车的干扰因素则复杂且不确定．面对这些不同和不确定，需要作出假设．例如小明发现虽然通过路口的车辆各种各样，但多数是小轿车，因此小明给出如下假设：通过路口的车辆长度都相等，请写出一个你认为合理的假设________________________．

11. 设平面向量满足：，，，，则取值范围是____________．

12. 若函数的图像上点与点、点与点分别关于原点对称，除此之外，不存在函数图像上的其它两点关于原点对称，则实数的取值范围是____________．

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13-14题每题4分，15-16题每题5分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分．】

13. 下列函数中，既是定义域内单调递增函数，又是奇函数的为（    ）

A.  B.

C  D.

14. 设两个正态分布和的密度函数图像如图所示．则有

A.

B.

C.

D.

15. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在堑堵中，，且.下列说法错误的是（    ）

A. 四棱锥为“阳马”

B. 四面体为“鳖臑”

C. 四棱锥体积的最大值为

D. 过A点作于点E，过E点作于点F，则面AEF

16. 已知数列是各项为正数等比数列，公比为q，在之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为，在之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为，在之间插入n个数，使这个数成等差数列，公差为，则（    ）

A. 当时，数列单调递减 B. 当时，数列单调递增

C. 当时，数列单调递减 D. 当时，数列单调递增

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】

17. 如图，已知点P在圆柱的底面圆O的圆周上，AB为圆O的直径，圆柱的表面积为，，．

（1）求直线与平面所成角的大小；

（2）求点到平面的距离．

18. 在△中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，，，.

（1）求角B大小；

（2）设，当时，求的最小值及相应的x.

19. 某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日的微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况：

（1）从3月2日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000概率；

（2）从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为，求的分布列及数学期望；

（3）下图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名（按照从大到小排序）分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（不用说明理由）．

20. 已知椭圆Γ：，点分别是椭圆Γ与轴的交点（点在点的上方），过点且斜率为的直线交椭圆于两点．

（1）若椭圆焦点在轴上，且其离心率是，求实数的值；

（2）若，求的面积；

（3）设直线与直线交于点，证明：三点共线．

21. 已知定义域为D的函数，其导函数为，满足对任意的都有．

（1）若，，求实数a取值范围；

（2）证明：方程至多只有一个实根；

（3）若，是周期为2的周期函数，证明：对任意的实数，，都有．

2023届崇明区高三二模考试数学试卷

2023.04

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】

1. 若不等式，则x的取值范围是____________．

【答案】

【分析】根据绝对值的几何意义解不等式.

【详解】∵，则，解得，

∴x的取值范围是.

故答案为：.

2. 设复数z满足（i为虚数单位），则____________．

【答案】##

【分析】根据复数的除法运算求解.

【详解】∵，则.

故答案为：.

3. 已知集合，，若，则实数的值为____.

【答案】

【分析】由可得出或，并验证是否成立，由此可求得实数的值.

【详解】集合，，，则或，解得或.

当时，，则，合乎题意；

当时，，则，不合乎题意.

综上所述，.

故答案为：.

【点睛】本题考查利用交集的运算结果求参数，考查计算能力，属于基础题.

4. 已知函数，的最小正周期为1，则______.

【答案】

【分析】根据三角函数周期与角频率的关系求解.

【详解】 ，依题意 ；

故答案为： .

5. 已知正实数a、b满足，则的最小值等于____________．

【答案】4

【分析】直接利用基本不等式计算得到答案.

【详解】，当，即，时等号成立，

则最小值为4．

故答案为：4．

6. 在的展开式中常数项是________________.（用数字作答）

【答案】45

【详解】(x4+)10的通项为

=()r=,

令40-5r=0,解得r=8,代入得常数项为

==45.

7. 以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩（单位：分），分数从低到高依次：,则这15人成绩的第80百分位数是________．

【答案】90.5

【分析】计算，即可确定这15人成绩的第80百分位数为第12和第13个数据的平均数，由此可得答案.

【详解】因为，

故这15人成绩的第80百分位数为，

故答案为：90.5

8. 某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温．

由表中数据所得回归直线方程为，据此预测当气温为5℃时，用电量的度数约为____________℃．

【答案】

【分析】利用回归直线经过样本点的中心，先算出，然后令代入回归直线进行求解.

【详解】根据表格数据可得，，，根据回归直线性质，经过样本点中心，即，故，得，故回归直线为，当，.

故答案为：

9. 已知抛物线上的两个不同的点，的横坐标恰好是方程的根，则直线的方程为______．

【答案】.

【分析】设直线的方程为，根据题意结合韦达定理可得，联立方程，再次里由韦达定理求得，从而可求出，即可得解.

【详解】解：由题意，直线的斜率存在，

设直线的方程为，

因为点，的横坐标恰好是方程的根，

所以，

联立，消得，

则，

所以，所以，

经检验，符合题意，

所以直线的方程为.

故答案为：.

10. 在一个十字路口，每次亮绿灯的时长为30秒，那么，每次绿灯亮时，在一条直行道路上能有多少汽车通过？这个问题涉及车长、车距、车速、堵塞的干扰等多种因素，不同型号车的车长是不同的，驾驶员的习惯不同也会使车距、车速不同，行人和非机动车的干扰因素则复杂且不确定．面对这些不同和不确定，需要作出假设．例如小明发现虽然通过路口的车辆各种各样，但多数是小轿车，因此小明给出如下假设：通过路口的车辆长度都相等，请写出一个你认为合理的假设________________________．

【答案】①等待时，前后相邻两辆车的车距都相等（或②绿灯亮后，汽车都是在静止状态下匀加速启动；或③前一辆车启动后，下一辆车启动的延时时间相等；或④车辆行驶秩序良好，不会发生堵塞，等等）；（答案不唯一，只要写出一个即可）

【分析】利用数学建模，根据题意这次建模就只考虑小轿车的情况，根据小轿车的长度差距不大，对相关因素进行分析，从而可以作出有利于建立模型、基本符合实际情况的假设即可.

【详解】根据题意可知和相关因素的分析，可以作出有利于建立模型、基本符合实际情况的假设，例如①等待时，前后相邻两辆车的车距都相等；

②绿灯亮后，汽车都是在静止状态下匀加速启动；

③前一辆车启动后，下一辆车启动的延时时间相等；

④车辆行驶秩序良好，不会发生堵塞，等等；

故答案为：等待时，前后相邻两辆车的车距都相等（不唯一）.

11. 设平面向量满足：，，，，则的取值范围是____________．

【答案】

【分析】根据题设条件，设出的坐标，利用坐标运算进行求解

【详解】依题意，设，，.

根据，即，即，整理得.

显然，否则，，与已知矛盾，故可得.

由，即，则有，故，解得.

故.

故答案为：

12. 若函数的图像上点与点、点与点分别关于原点对称，除此之外，不存在函数图像上的其它两点关于原点对称，则实数的取值范围是____________．

【答案】

【分析】由题意将问题转化为在的图像关于原点对称后与的图像有两个交点，即转化为方程在上有两根，孤立参数为在上有两根，求导确定函数的单调性与取值情况，作出大致图象，即可求得实数的取值范围.

【详解】若有两组点关于原点对称，则在的图像关于原点对称后与的图像有两个交点．

由时，；得其关于原点对称后的解析式为．

问题转化为与在上有两个交点，即方程有两根，

化简得，即与在上有两个交点．

对于，求导，令，解得：，

即：当时，单调递增；

令，解得：．

即：当时，单调递减，

∴为其极大值点，，时，；画出其大致图像：

欲使与在时有两个交点，则，即．

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13-14题每题4分，15-16题每题5分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分．】

13. 下列函数中，既是定义域内单调递增函数，又是奇函数的为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【分析】求导，根据单调性和奇偶性的定义逐项分析.

【详解】对于A， 为奇函数，是周期函数，在定义域内不单调，不符合题意，不符合题意；

对于，定义域为 ，所以为奇函数，但在定义域内不单调，不符合题意；

对于C，，

故函数不是奇函数，不符合题意；

对于D， ，是增函数， ，是奇函数，满足题意；

故选：D.

14. 设两个正态分布和的密度函数图像如图所示．则有

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【详解】根据正态分布函数的性质：正态分布曲线是一条关于对称，在处取得最大值的连续钟形曲线；越大，曲线的最高点越底且弯曲较平缓；反过来，越小，曲线的最高点越高且弯曲较陡峭，选A．

15. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在堑堵中，，且.下列说法错误的是（    ）

A. 四棱锥为“阳马”

B. 四面体为“鳖臑”

C. 四棱锥体积的最大值为

D. 过A点作于点E，过E点作于点F，则面AEF

【答案】C

【分析】根据“阳马”和“鳖膈”的定义，可判断A，B的正误；当且仅当时，四棱锥体积有最大值，求值可判断C的正误；根据题意可证平面，进而判断D的正误.

【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，

∴在堑堵中，，侧棱平面，

A选项，∴，又，且，则平面，

∴ 四棱锥为“阳马”，故A正确；

B选项，由，即，又且，

∴平面，∴，则为直角三角形，

又由平面，得为直角三角形，由“堑堵”的定义可得为直角三角形，为直角三角形，∴ 四面体为“鳖膈”，故B正确；

C选项，在底面有，即，当且仅当时取等号，

，最大值为，故C错误；

D选项，因为，，，所以平面，故D正确；

故选：C

16. 已知数列是各项为正数的等比数列，公比为q，在之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为，在之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为，在之间插入n个数，使这个数成等差数列，公差为，则（    ）

A 当时，数列单调递减 B. 当时，数列单调递增

C. 当时，数列单调递减 D. 当时，数列单调递增

【答案】D

【分析】根据数列的定义，求出通项，由通项讨论数列的单调性.

【详解】数列是各项为正数等比数列，则公比为，

由题意，得，

时，，有，，数列单调递增，A选项错误；

时，，，若数列单调递增，则， 即，由，需要，故B选项错误；

时，，解得，

时，，由，若数列单调递减，则， 即，而 不能满足恒成立，C选项错误；

时，，解得或，由AB选项的解析可知，数列单调递增，D选项正确.

故选：D

【点睛】思路点睛：此题的入手点在于求数列的通项，根据的定义求得通项，再讨论单调性.

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】

17. 如图，已知点P在圆柱的底面圆O的圆周上，AB为圆O的直径，圆柱的表面积为，，．

（1）求直线与平面所成角的大小；

（2）求点到平面的距离．

【答案】（1）；   

（2）

【分析】（1）根据圆柱的特征可得直线与平面的夹角，即为，然后利用圆柱的表面积为求出，求出，进而求解；

（2）利用等体积转化法即可求解.

【小问1详解】

由题意知，直线与平面的夹角，即为，

易知，，又，故，进而有，，

由圆柱的表面积为，可得，

故，故直线与平面的夹角为．

【小问2详解】

设点A到平面的距离为h，

则，，

，

因为平面ABP，，

所以BP⊥平面，即，

在中，，

故，

所以，即点A到平面的距离为．

18. 在△中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，，，.

（1）求角B大小；

（2）设，当时，求的最小值及相应的x.

【答案】（1）   

（2）当时，有最小值.

【分析】（1）利用向量垂直的充要条件和正弦定理即可求解；

（2）先利用两角和的正弦公式及余弦的二倍角公式化简，再用辅助角公式化为，最后利用三角函数的性质求出最小值及其取得最小值时的值.

【小问1详解】

由已知条件得，

由正弦定理得，

即，,

则，

∵，∴，

又∵ ,∴;

【小问2详解】

,

∵,∴,，

则的最小值，其中，即当时，有最小值.

19. 某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日的微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况：

（1）从3月2日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率；

（2）从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为，求的分布列及数学期望；

（3）下图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名（按照从大到小排序）分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（不用说明理由）．

【答案】（1）   

（2）分布列见解析，   

（3）3月3日

【分析】（1）根据古典概型公式求解即可.

（2）根据题意得到，，，，再写出分布列数学期望即可.

（3）根据折线图和频率分布直方图求解即可.

【小问1详解】

令时间A为“职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000”，

从3月2日至3月7日这6天中，3月2日、5日、7日这3天中，

甲乙微信记步数都不低于10000，

故.

【小问2详解】

由（1）知：，

，，，

的分布列为：

【小问3详解】

根据频率分步直方图知：微信记步数落在，，，，

（单位：千步）区间内的人数依次为人，人，

人，人，人，

由甲微信记步数排名第68，可知当天甲微信记步数15000到20000万之间，

根据折线图知：只有3月2日，3月3日，3月7日.

由乙微信记步数排名第142，可知当天乙微信记步数在5000到10000万之间，

根据折线图知：只有3月3日和3月6日，

所以3月3日符合要求.

20. 已知椭圆Γ：，点分别是椭圆Γ与轴的交点（点在点的上方），过点且斜率为的直线交椭圆于两点．

（1）若椭圆焦点在轴上，且其离心率是，求实数的值；

（2）若，求的面积；

（3）设直线与直线交于点，证明：三点共线．

【答案】（1）   

（2）   

（3）证明见解析

【分析】（1）根据离心率的定义计算即可；

（2）联立直线和椭圆方程，根据弦长公式算出，用点到直线的距离公式算出三角形的高后即可；

（3）联立直线和椭圆方程，先表示出坐标，将共线问题转化成证明，结合韦达定理进行化简计算.

【小问1详解】

依题意，，解得（负数舍去）

【小问2详解】

的直线经过，则直线方程为：；

，则椭圆的方程为：.

设联立直线和椭圆方程：，消去得到，

解得，则，故，于是.

依题意知，为椭圆的下顶点，即，由点到直线的距离，到的距离为：.

故

【小问3详解】

设联立直线和椭圆方程：，得到，由，得到直线方程为：，令，解得，即，又，，为说明三点共线，只用证，即证：，下用作差法说明它们相等：

，而，，，于是上式变为：.

由韦达定理，，于是，故，命题得证.

21. 已知定义域为D的函数，其导函数为，满足对任意的都有．

（1）若，，求实数a的取值范围；

（2）证明：方程至多只有一个实根；

（3）若，是周期为2的周期函数，证明：对任意的实数，，都有．

【答案】（1）   

（2）证明见解析    （3）证明见解析

【分析】（1）根据题意，将问题转化成恒成立问题，即在上恒成立，再利用函数的单调性即可求出结果；

（2）构造函数，由题易知在定义域上严格单调，从而得到证明；

（3）利用函数是定义域为的周期函数，知函数在一个周期上必有最大值和最小值，再利用条件，得到，再对与1的大小关系进行分类讨论，即可得出结论.

【小问1详解】

因为，，所以，

由题意知，在上恒成立，即在上恒成立，

所以，即在上恒成立，

令，易知，在上，函数和均单调递增，

所以.

【小问2详解】

令，故，

所以函数是严格减函数，故至多只有一个实根；

【小问3详解】

设的最大值为，最小值为，

在一个周期内，函数值必能取到最大值与最小值，

设，，

因为函数是周期为2，取一个周期，且，

则有，

若，则成立，

若，设，即，故，且，则，

所以成立，

综上，对任意实数，都成立，所以原式得证．

【点睛】关键点点睛：对于（1）恒（能）成立问题，常通过构造函数，转化成求函数的最值来求解；

对于（3），设的最大值为，最小值为，在一个周期上，，当时，结论显然成立，当时，利用基本不等式的性质可证明.