数学八年级下册20.2 数据的波动程度精品当堂检测题

这是一份数学八年级下册20.2 数据的波动程度精品当堂检测题，共29页。试卷主要包含了高度抽象性，严密逻辑性，广泛应用性等内容，欢迎下载使用。
新人教版初中数学学科教材分析
数学是一门研究数量关系和空间形式的科学，具有严密的符号体系，独特的公式结构，形象的图像语言。它有三个显著的特点：高度抽象，逻辑严密，广泛应用。 
1．高度抽象性：数学的抽象，在对象上、程度上都不同于其它学科的抽象，数学是借助于抽象建立起来并借助于抽象发展的。
2．严密逻辑性： 数学具有严密的逻辑性，任何数学结论都必须经过逻辑推理的严格证明才能被承认。任何一门科学，都要应用逻辑工具，都有它严谨的一面。
3．广泛应用性：数学作为一种工具或手段，几乎在任何一门科学技术及一切社会领域中都被运用。各门科学的“数学化”，是现代科学发展的一大趋势。 

专题19 数据的波动程度

1．方差的概念
在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常用“”表示，即

2．方差的计算
（1）基本公式：

（2）简化计算公式（Ⅰ）：

也可写成
此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。
（3）简化计算公式（Ⅱ）：

当一组数据中的数据较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a，得到一组新数据，，…，，那么，
此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方。
（4）新数据法：
原数据的方差与新数据，，…，的方差相等，也就是说，根据方差的基本公式，求得的方差就等于原数据的方差。
3．标准差
方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即


K—重点
理解极差和方差的意义和求法，体会它们刻画数据波动的不同特征
K—难点
掌握极差与方差的计算，体会用样本方差估计总体方差的思想
K—易错
极差与方差概念混淆导致计算错误
二、标准例题
【例题1】某校八年级两个班，各选派10名学生参加学校举行的“美丽绍兴乡土风情知识”大赛预赛各参赛选手的成绩如下：
八（1）班：88，91，92，93，93，93，94，98，98，100；
八（2）班：89，93，93，93，95，96，96，98，98，99．
通过整理，得到数据分析表如下：
班级
最高分
平均分
中位数
众数
方差
八（1）班
100
m
93
93
12
八（2）班
99
95
n
93
8.4
（1）求表中m、n的值；
（2）依据数据分析表，有同学说：“最高分在（1）班，（1）班的成绩比（2）班好”，但也有同学说（2）班的成绩更好请您写出两条支持八（2）班成绩好的理由．
【答案】（1）八（1）班的平均分94；八（2）班的中位数95.5；（2）支持八（2）班成绩好．理由见解析.
【解析】
（1）八（1）班的平均分m＝110×（88+91+92+93+93+93+94+98+98+100）＝94；
八（2）班的中位数n＝95+962＝95.5；
（2）八（2）班的平均分高于八（1）班；八（2）班的成绩集中在中上游，故支持八（2）班成绩好．
【例题2】某校团委举办了一次“中国梦，我的梦”演讲比赛，满分10分，学生得分均为整数，成绩达到6分及以上为合格，达到9分及以上为优秀．这次竞赛中甲、乙两组学生成绩分布的条形统计图如下．

（1）补充完成下列的成绩统计分析表：

（2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中排名属中游略偏上！”观察上表可知，小明是　 组学生；（填“甲”或“乙”）
（3）如果学校准备推荐其中一个组参加区级比赛，你推荐____参加，请你从两个不同的角度说明推荐理由．
【答案】（1）见表格；（2）甲；（3）甲或乙.
【解析】
（1）甲组：3，6，6，6，6，6，7，8，9，10，中位数为6；
乙组：5，5，6，7，7，8，8，8，8，9，平均数=7.1，S乙2=1.69；
填表如下：
组别
平均分
中位数
方差
合格率
优秀率
甲
6.7
6
3.41
90%
20%
乙
7.1
7.5
1.69
80%
10%
（2）（2）因为甲组的中位数为6，所以7分在甲组排名属中游略偏上；
（3）甲或乙
甲组：甲组的合格率、优秀率均高于乙组.
（乙组的平均分、中位数均高于甲组，且乙组的成绩比甲组的成绩稳定．）
【例题3】某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5剑，他们的总成绩(单位：环)相同，小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差(见小宇的作业)．

(1)a=______，x−乙=______；
(2)请完成图中乙成绩变化情况的折线；
(3)观察你补全的折线图可以看出______(填“甲”或“乙”)的成绩比较稳定.参照小宇的计算方法，计算乙成绩的方差，并验证你的判断；并判断谁将被选中．

【答案】(1)4，6；(2)见解析；(3)乙.
【解析】
解：(1)由题意得：甲的总成绩是：9+4+7+4+6=30，
则a=30−7−7−5−7=4，x乙−=30÷5=6，
故答案为：4，6；
(2)如图所示：
；
(3)①观察图，可看出乙的成绩比较稳定，
S乙2=15[(7−6)2+(5−6)2+(7−6)2+(4−6)2+(7−6)2]=1.6．
由于S乙2S乙2，那么两个队中队员的身高较整齐的是（ ）
A．甲队 B．乙队 C．两队一样整齐 D．不能确定
8．一组2、3、4、3、3的众数、中位数、方差分别是（ ）
A．4,3,0.2 B．3,3,0.4 C．3,4,0.2 D．3,2,0.4
9．若一组数据x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数为17，方差为2，则另一组数据x1+2，x2+2，…，xn+2的平均数和方差分别为（　　）
10．在一次训练中，甲、乙、丙三人各射击10次的成绩如图所示（单位：环），在这三人中，此次射击成绩最稳定的是(　　　)

A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断
11．下列命题是真命题的是（　　）
A．中位数就是一组数据中最中间的一个数
B．计算两组数的方差，得S甲2＝0.39，S乙2＝0.25，则甲组数据比乙组数据波动小
C．一组数据的众数可以不唯一
D．一组数据的标准差就是这组数据的方差的平方根
12．某中学篮球队12名队员的年龄情况如下表：
年龄/岁
12
13
14
15
16
人数
1
3
4
2
2
关于这12名队员的年龄，下列说法中正确的是（ ）
A．众数为14 B．极差为3 C．中位数为13 D．平均数为14
13．一组数据：201、200、199、202、200，分别减去200，得到另一组数据：1、0、﹣1、2、0，其中判断错误的是（　　）
A．前一组数据的中位数是200
B．前一组数据的众数是200
C．后一组数据的平均数等于前一组数据的平均数减去200
D．后一组数据的方差等于前一组数据的方差减去200
14．若s2=14[(3.2−x)2+(5.7−x)2+(4.3−x)2+(6.8−x)2]是李华同学在求一组数据的方差时，写出的计算过程，则其中的x=_____.
15．某组数据的方差计算公式为S2＝18 [（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+…+（x8﹣2）2]，则该组数据的样本容量是_____，该组数据的平均数是_____．
16．一组数据：1，2，x，y，4，6，其中x＜y，中位数是2.5，众数是2．则这组数据的平均数是______；方差是______。
17．甲、乙、丙三位选手各10次射击,成绩的平均数均为93环,方差(单位:环2)依次分别为0.026、0.015、0.032,则射击成绩最稳定的选手是_________ (填“甲”、“乙”、“丙”中的一个).

18．某学校八、九两个年级各有学生180人，为了解这两个年级学生的体质健康情况，进行了抽样调查，具体过程如下：
　　收集数据
从八、九两个年级各随机抽取20名学生进行体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：
八年级
78
86
74
81
75
76
87
70
75
90
75
79
81
70
74
80
86
69
83
77
九年级
93
73
88
81
72
81
94
83
77
83
80
81
70
81
73
78
82
80
70
40
整理、描述数据
将成绩按如下分段整理、描述这两组样本数据：
成绩（x）
40≤x≤49
50≤x≤59
60≤x≤69
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤100
八年级人数
0
0
1
11
7
1
九年级人数
1
0
0
7
10
2
（说明：成绩80分及以上为体质健康优秀，70～79分为体质健康良好，60～69分为体质健康合格，60分以下为体质健康不合格）
　　分析数据
两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：
年级
平均数
中位数
众数
方差
八年级
78.3
77.5
75
33.6
九年级
78
80.5
a
52.1
（1）表格中a的值为______；
（2）请你估计该校九年级体质健康优秀的学生人数为多少？
（3）根据以上信息，你认为哪个年级学生的体质健康情况更好一些？请说明理由．（请从两个不同的角度



19．在2019年4月举办的“爱我湖滨，书香校园”系列活动中,两组学生分别代表初一、二年参加知识竞赛，成绩统计如表所示；
(1)甲组成绩的中位数是 分，乙组成绩的众数是 分；
(2)请根据你学过的统计知识,判断这两个小组在这次竞赛中成绩谁优谁次,并说明理由。



20．某地区九年级学生参加学业水平质量监测。随机抽取其中25名学生的成绩（满分为100分），统计如下：
90，74，88，65，98，75，81，42，85，70，55，80，95，88，72，88，60，56，76，66，78，72，82，63，100.
（1）90分及以上为A级，75—89分为B级，60—74分为C级，60分以下为D级。请把下面表格补充完整：
等级
A
B
C
D
人数
a
b
8
c
（2）根据（1）中完成的表格，可知这组数据的极差是____，中位数是____，众数是____.
（3）该地区某学校九年级共有1000名学生，如果60分及以上为及格，请估计该校九年级参加此次学业水平质量监测有多少人及格？
（4）若要知道抽测中每一个等级的人数占总人数的百分比，应选择_____统计图.



21．2018年12月4日是第五个国家宪法日，也是第一个“宪法宣传周”．甲、乙两班各选派10名学生参加宪法知识竞赛（满分100分），成绩如下：
成绩
85
90
95
100
甲班参赛学生/人
1
1
5
3
乙班参赛学生/人
1
2
3
4
分别求甲、乙两班参赛学生竞赛成绩的平均数和方差．


22．某校初二开展英语拼写大赛，爱国班和求知班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩如图所示：
（1）根据图示填写下表：
班级
中位数（分）
众数（分）
平均数（分）
爱国班
85


求知班

100
85
（2）结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩比较好？
（3）已知爱国班复赛成绩的方差是70，请求出求知班复赛成绩的方差，并说明哪个班成绩比较稳定？





23．我市某中学举行“中国梦⋅校园好声音”歌手大赛，高、初中部根据初赛成绩，各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛。两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示.


(1)根据图示填写下表；
(2)结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好；
(3)计算两队决赛成绩的方差并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定.


24．某校为市体校选拔一名篮球队员.教练对王亮和李刚两名同学进行5次3分投篮测试，每人每次投10个球，下图记录的是这两名同学5次投篮中所投中的个数．

(1)请你根据图中的数据，填写下表
姓名
平均分
众数
极差
方差
王亮
7
7
______
0.4
李刚
7
______
5
______
(2)你认为谁的成绩比较稳定，为什么？
(3)若你是教练，你打算选谁参赛？请利用以上数据或图中信息简要说明理由．


25．某校要从王同学和李同学中挑选一人参加县知识竞赛在五次选拔测试中他俩的成绩如下表．

第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
王同学
60
75
100
90
75
李同学
70
90
100
80
80
根据上表解答下列问题：
（1）完成下表：
姓名
平均成绩（分）
中位数（分）
众数（分）
方差
王同学
80
75
75
_____
李同学
　 　
　 　
　 　
　 　
（2）在这五次测试中，成绩比较稳定的同学是谁？若将80分以上（含80分）的成绩视为优秀，则王同学、李同学在这五次测试中的优秀率各是多少？
（3）历届比赛表明，成绩达到80分以上（含80分）就很可能获奖，成绩达到90分以上（含90分）就很可能获得一等奖，那么你认为应选谁参加比赛比较合适？说明你的理由．


26．一次安全知识测验中，学生得分均为整数，满分10分，成绩达到9分为优秀，这次测验中甲、乙两组学生人数相同，成绩如下两个统计图：

（1）在乙组学生成绩统计图中，8分所在的扇形的圆心角为　 　度；
（2）请补充完整下面的成绩统计分析表：

平均分
方差
众数
中位数
优秀率
甲组
7
1.8
7
7
20%
乙组




10%
（3）甲组学生说他们的优秀率高于乙组，所以他们的成绩好于乙组，但乙组学生不同意甲组学生的说法，认为他们组的成绩要好于甲组，请你给出两条支持乙组学生观点的理由．



27. （2018•恩施）已知一组数据1、2、3、x、5，它们的平均数是3，则这一组数据的方差为（　　）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
28. （2018•宜昌）为参加学校举办的“诗意校园•致远方”朗诵艺术大赛，八年级“屈原读书社”组织了五次选拔赛，这五次选拔赛中，小明五次成绩的平均数是90，方差是2；小强五次成绩的平均数也是90，方差是14.8．下列说法正确的是（　　）
A． 小明的成绩比小强稳定
B． 小明、小强两人成绩一样稳定
C． 小强的成绩比小明稳定
D． 无法确定小明、小强的成绩谁更稳定
29．（2018•张家界）若一组数据,,的平均数为4，方差为3，那么数据,,的平均数和方差分别是（ ）
A． 4, 3 B． 6 3 C． 3 4 D． 6 5
30. （2018•潍坊）某篮球队10名队员的年龄结构如表，已知该队队员年龄的中位数为21.5，则众数与方差分别为（ ）
年龄
19
20
21
22
24
26
人数
1
1
x
y
2
1
A． 22，3 B． 22，4 C． 21，3 D． 21，4
31. （2018•邵阳）根据李飞与刘亮射击训练的成绩绘制了如图所示的折线统计图．

根据图所提供的信息，若要推荐一位成绩较稳定的选手去参赛，应推荐（　　）
A． 李飞或刘亮 B． 李飞 C． 刘亮 D． 无法确定
32. （2018•东营）为了帮助市内一名患“白血病”的中学生，东营市某学校数学社团15名同学积极捐款，捐款情况如下表所示，下列说法正确的是（　　）
捐款数额
10
20
30
50
100
人数
2
4
5
3
1
A． 众数是100 B． 中位数是30 C． 极差是20 D． 平均数是30
33. （2018•南京）某排球队名场上队员的身高（单位：）是：，，，，，.现用一名身高为的队员换下场上身高为的队员，与换人前相比，场上队员的身高（ ）
A. 平均数变小，方差变小 B. 平均数变小，方差变大
C. 平均数变大，方差变小 D. 平均数变大，方差变大
34.．（2018•贵州）某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加区青少年科技创新大赛，表格反映的是各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差S2，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是_____．


35．（2018•徐州）徐州巿部分医保定点医院2008年第一季度的人均住院费用（单位：元）约为：12320，11880，10370，8570，10640，10240．这组数据的极差是_____元．
36. （2018•荆州）为了参加“荆州市中小学生首届诗词大会”，某校八年级的两班学生进行了预选，其中班上前5名学生的成绩（百分制）分别为：八（1）班86，85，77，92，85；八（2）班79，85，92，85，89．通过数据分析，列表如下：
班级
平均分
中位数
众数
方差
八（1）
85
b
c
22.8
八（2）
a
85
85
19.2

（1）直接写出表中a，b，c的值；
（2）根据以上数据分析，你认为哪个班前5名同学的成绩较好？说明理由．


1．【答案】D
【解析】A、若这5次成绩的中位数为8，则x为任意实数，故本选项错误；
B、若这5次成绩的众数是8，则x为不是7与9的任意实数，故本选项错误；
C、如果x=8，则平均数为15（8+9+7+8+8）=8，方差为15 [3×（8-8）2+（9-8）2+（7-8）2]=0.4，故本选项错误；
D、若这5次成绩的平均成绩是8，则15（8+9+7+8+x）=8，解得x=8，故本选项正确；
故选D．
2． 【答案】B
【解析】解：∵S甲2=0.56，S乙2=0.45，S丙2=0.50，S丁2=0.60，
∴S乙2＜S丙2＜S甲2＜S丁2，
∴成绩最稳定的是乙．
故选：B．
3． 【答案】D
【解析】A、小明的平均数为(2+6+7+7+8)÷5=6，小丽的平均数为(2+3+4+8+8)÷5=5，故本选项错误；
B、小明的中位数为7，小丽的中位数为4，故本选项错误；
C、小明的众数为7，小丽的众数为8，故本选项错误；
D、小明的方差为4.4，小丽的方差为6.4，小明的方差小于小丽的方差，故原题说法正确；
故选：D．
4． 【答案】C
【解析】甲的平均数为：120×5×（7+8+9+10）=172
乙的平均数为：120×（4×7+6×8+6×9+4×10）=172
S甲2=120×{5×[（7-172）2+（8-172）2+（9-172）2+（10-172）2]}
=14×[94+14+14+94]
=54；
S乙2=120×[4×[（7-172）2+6×（8-172）2+6×（9-172）2+4×（10-172）2]
=120×[9+64+64+9]
=2120；
∵54＞2120
∴S甲2＞S乙2
故选C．
5．【答案】B
【解析】这组数据的平均数是(34+38+39+39+40)÷5=38，
把这组数据从小到大排列为：34，38，39，39，40，最中间的数是39，则中位数是39；
39出现了2次，出现的次数最多，则众数是39；
方差是：15[(34−38)2+(38−38)2+2×(39−38)2+(40−38)2]=225，
故选：B．
6．【答案】B
【解析】∵S甲2＞S乙2，
∴两个队中队员的身高较整齐的是：乙队．
故选：B．
7． 【答案】B
【解析】根据方差的意义，方差越小数据越稳定；
因为S2甲>S2乙，故有甲的方差大于乙的方差，故乙队队员的身高较为整齐.
故选B.
8．【答案】B
【解析】∵2、3、4、3、3从小到大排列为2，3，3，3，4，
∴这组数据的众数是3，中位数是3，
由此可判断只有B选项符合.
故选：B.
9．【答案】B
【解析】∵x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数为17，方差为2，
∴x1+2，x2+2，…，xn+2的平均数和方差分别为18，2.
故选B.
10． 【答案】B
【解析】根据统计图波动情况来看，此次射击成绩最稳定的是乙，波动比较小，比较稳定．
故选B．
11． 【答案】C
【解析】解：A、中位数就是一组数据中最中间的一个数或着是中间两个数的平均数，故错误；
B、计算两组数的方差，所S甲2＝0.39，S乙2＝0.25，则甲组数据比乙组数据波动大；故错误；
C、一组数据的众数可以不唯一，故正确；
D、一组数据的标准差就是这组数据的方差的算术平方根，故错误．
故选：C．
12．【答案】A
【解析】解：A、这12个数据的众数为14，选项A正确；
B、极差为16-12=4，选项B错误；
C、中位数为14+142=14，选项C错误；
D、平均数为12+13×3+14×4+15×2+16×212=16912，选项D错误；
13．【答案】D
【解析】解：A．前一组数据的中位数是200，正确，此选项不符合题意；
B．前一组数据的众数是200，正确，此选项不符合题意；
C．后一组数据的平均数等于前一组数据的平均数减去200，正确，此选项不符合题意；
D．后一组数据的方差等于前一组数据的方差，此选项符合题意；
故选：D．
14．【答案】5
【解析】解：∵s2=14[(3.2−x−)2+(5.7−x−)2+(4.3−x−)2+(6.8−x−)2]，
∴x−是3.2、5.7、4.3、6.8的平均数，
15．【答案】8 2
【解析】由于S2=18[（x1-2）2+（x2-2）2+…+（x8-2）2]，
所以该组数据的样本容量是8，该组数据的平均数是2．
故答案为：8，2．
16．【答案】3 83
【解析】
由一组数据1，2，x，y，4，6的中位数是2.5，众数是2，
则有x=2，y=3，
,∴这组数据的平均数为：1+2+2+3+4+66=3.
∴这组数据的平均数为3；
这组数据的方差为：16(1−3)2+(2−3)2+(2−3)2+(3−3)2+(4−3)2+(6−3)2=83.
∴这组数据的方差为83.
故答案为：3；83.
17．【答案】乙
【解析】
∵甲、乙、丙三位选手各10次射击,方差依次分别为0.026、0.015、0.032,
0.015＜0.026＜0.032,
则射击成绩最稳定的选手是乙
18． 【答案】(1)81;(2) 108人；(3)见解析.
【解析】（1）由测试成绩可知，81分出现的次数最多，
∴a=81，
故答案为：81；
（2）九年级学生体质健康的优秀率为：10+220×100%=60%，
九年级体质健康优秀的学生人数为：180×60%=108（人），
答：估计该校九年级体质健康优秀的学生人数为108人；
（3）①因为八年级学生的平均成绩高于九年级的平均成绩，且八年级学生成绩的方差小于九年级的方差，所以八年级学生的体质健康情况更好一些．
②因为九年级学生的优秀率（60%）高于八年级的优秀率（40%），且九年级学生成绩的众数或中位数高于八年级的众数或中位数，所以九年级学生的体质健康情况更好一些．
19．【答案】（1）80；70；（2）见解析.
【解析】（1）甲组人数为：2+5+10+13+14+6=50人，把得分从小到大排列后，第25，26名的分数均为80分，故甲组成绩的中位数是80分；
乙组得70分的人数最多，故乙组得分的人数为70分；
（2）①分别计算两个组的成绩的众数，甲组90分，乙组70分，从成绩的众数比较看，甲组的成绩好些；
②分别计算两个组平均分和中位数都是80分，其中，甲组成绩在80分以上（含80分）的有33人，乙组有26人，从这一角度看，甲组的成绩总体较好；
③分别计算两个组成绩的方差，S甲2=172，S乙2=256，由S甲2