山东省烟台市招远市第二中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题

2022~2023学年度第二学期期中月考

高一数学

注意事项：

1．本试题满分150分，考试时间为120分钟．

2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上．

3使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰．超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1．（    ）

A．        B．        C．        D．

2．设P为对角线的交点，O为任意一点，则（    ）

A．        B．        C．        D．

3．已知，，则在上的投影向量为（    ）

A．        B．        C．        D．

4．在中，若，，则（    ）

A．        B．        C．        D．

5．已知，且，则（    ）

A．        B．        C．        D．

6．已知函数，则（    ）

A．的最小正周期是      B．图象关于点对称

C．在上单调递增   D．在上的值域为

7．已知等边的边长为2，D为BC的中点，P为线段AD上一点，，垂足为E，当时，（    ）

A．        B．        C．        D．

8．锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则的取值范围为（    ）

A．        B．        C．        D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知函数的值域为，若，则称函数具有性质，下列函数中具有性质的有（    ）

A．        B．

C．              D．

10．设，其中a，，，若对一切恒成立，则（    ）

A．               B．

C．为非奇非偶函数        D．的单调递增区间为

11．已知向量，，满足，，（x，，），则下列命题正确的有（    ）

A．若，则的最小值为           B．若，则存在唯一的y，使得

C．若，则的最小值为        D．若，则的最小值为

12．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是内一点，，，的面积分别为，，，则有．设O是锐角内一点，A，B，C分别是的三个内角，则下列结论正确的有（    ）

A．若，则O为的重心

B．，则

C．若，，，则

D．若O为的垂心，则

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知，，则________．

14．已知，，则________．

15．已知向量，，若，则________．

16．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角B的平分线交AC于点D，且，则周长的最小值为________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）化简求值：（1）；

（2）

18．（12分）已知函数

（1）求函数的单调递增区间；

（2）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，求的最大值．

19．（12分）如图所示，在中，，，AD与BC相交于点M，设，．

（1）试用向量，表示；

（2）过点M作直线EF分别交线段AC，BD于点E，F，记，，求证：为定值．

20．如图，扇形AOB的圆心角为，半径为1，点P是AB上任一点，设．

（1）记，求的表达式；

（2）若，求的取值范围．

21．（12分）在中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若M是BC的中点，且满足．

（1）求的最小值；

（2）若的面积为S，且满足，求的值．

22．（12分）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且

（1）求B；

（2）若，求的取值范围．

期中月考高一数学参考答案

一、选择题

CDAC    DCBB

二、选择题

9．ABC    10．ABC    11．BCD    12．ABD

三、填空题

13．    14．    15．    16．

四、解答题

17．解：（1）

      2分

；     5分

（2）       6分

          7分

         10分

18．解：（1）

        2分

      4分

当，时，函数单调递增，

解得，，

即函数单调递增区间为，；        6分

（2）因为，所以，

因为，所以，

所以，解得，       8分

由正弦定理可得，

，，         10分

所以

，

所以当时，的最大值为4．      12分

19．解：（1）因为D，M，A三点共线，

所以存在实数m使得，       2分

又因为B，M，C三点共线，

所以存在实数n使得，          4分

根据向量相等可得，解得，

所以．         7分

（2）设，

由（1）可得①，②，       9分

又F，M，E三点共线，所以③，

由①②可得，，代入③式可得．      12分

20．解：（1）由题意，以O为坐标原点，为x轴正向建立如图平面直角坐标系，

则，，，        2分

故，         3分

所以，       4分

即，，         5分

（2）由（1），，即，故，       7分

解得，其中，     8分

故

，       10分

因为，故，所以，

故，即的取值范围为．     12分

21．解：（1），得，     1分

从而，即，       3分

，      5分

当且仅当时取等号，

所以的最小值为．     6分

（2）由于，从而，         7分

又则，

即，      8分

将代入，得，     9分

即，从而，    10分

又，则，

解得或．     12分

22．解：（1）因为，

则，          2分

所以，则，

所以为直角三角形，所以．     4分

（2），         5分

所以，而，

设，，，          6分

所以，      7分

令，，

又因为，所以，      9分

所以，，       10分

令，，

因为在上单调递增，所以在上单调递减，       11分

所以，

所以的取值范围为．         12分