河南省信阳高级中学2022-2023学年高三文科数学下学期4月测试（一）试题（Word版附答案）

河南省信阳高级中学2022-2023学年高三下期04月测试（一）文数试题

第1卷(选择题,共60分)

一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)

1.已知复数，则复数的虚部为

A.

B.

C.

D.

2.已知全集,集合，，则

A.

B.

C.

D.

3.执行如图所示的程序框图,若输入的值为2,则输出的值为

A.3

B.5

C.9

D.17

4.在正方体中,直线分别在平面和内,且，则下列命题中正确的是

A.若垂直于,则垂直于

C.若不垂直于,则垂直于

B.若垂直于,则不垂直于

D.若不垂直于,则不垂直于

5.已知一组正数的方差，则数据的平均数为

A.1

B.3

C.5

D.7

6.使的否定为假命题的一个充分不必要条件是

A.

B.

C.

D.

7.已知，若的夹角为钝角，则的取值范围为

A.

C.

B.

D.

8.若，则的大小关系为

A.

B.

C.

D.

9.已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为

A.

C.

B.

D.

10.中国公民身份号码编排规定，女性公民的顺序码为偶数，男性为奇数，反映了性别与数字之间的联系；数字简谱以1，2，3，4，5，6，7代表音阶中的7个基本音阶，反映了音乐与数字之间的联系，同样我们可以对几何图形赋予新的含义，使几何图形与数字之间建立联系.如图1，我们规定1个正方形对应1个三角形和1个正方形，1个三角形对应1个正方形，在图2中，第1行有1个正方形和1个三角形，第2行有2个正方形和1个三角形，则在第9行中的正方形的个数为

A.53

B.55

C.57

D.59

11.记，设函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围的是

A.

C.

B.

D.

12.如图，是正方形内一点，且满足，，在正方形内随机投一个点，则该点落在图中阴影部分的概率是

A.

B.

C.

D.

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为     .

14.已知满足约束条件，若的最大值为4，则    .

15.圆心在曲线上，且与直线相切的面积最小的圆的方程是    .

16.如图，已知在四棱维中，底面是菱形，且，，，分别是棱的中点，对于平面截四棱锥所得的截面多边形，有以下几个结论：

①截面的面积等于；

②截面是一个五边形且只与四凌锥四条侧棱中的三条相交；

③截面与底面所成锐二面角为；

④截面在底面的投影面积为.

其中，正确结论的序号是    .

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）某市自2021年1月启动对“车不让人行为”处罚以来，斑马线前机动车抢行不文明行为得以根本改变，但作为交通重要参与者的行人，闯红灯通行却频有发生，带来了较大的交通安全隐患，同时也使机动车的通畅率降低.该市交警部门在某十字路口根据以往的检测数据，得到行人闯红灯的概率约为0.4，并从穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查，对是否存在闯红灯情况得到如下2×2列联表：

近期，为了整顿“行人闯红灯”这一项不文明及违法行为，交警部门在该十字路口对闯红灯行人试行经济处罚，并在试行经济处罚后从穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查，得到下表：

将统计数据所得频率作为概率，完成下列问题.

（1）将2×2列联表填写完整（不需写出填写过程），并根据表中数据分析，在未对闯红灯行人试行经济处罚前，是否有99.9%的把握认为闯红灯与年龄有关？

（2）当处罚金额为10元时，行人闯红灯的概率比不进行处罚降低多少？

（3）结合调查结果，谈谈如何治理行人闯红灯现象.

18.（12分）在中，分别为内角的对边，.

（1）求角的大小；

（2）若 ,，求的面积.

19.（12分）如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，， 为等边三角形，为棱的中点.

（1）证明：；

（2）当的长为多少时，？请说明理由，并求此时点与到平面的距离.

20.(12分)在平面直角坐标系中,动点到点的距离等于点到直线距离的倍,记动点的轨迹为曲线.

(1)求曲线的方程；

(2)已知直线：与曲线交于两点,问曲线上是否存在两点满足,若存在,请求出两点坐标,不存在,请说明理由.

21.(12分)已知函数，记在处的切线为 (1)当时,求在上的最小值；

(2)当时,求证:函数的图像(除切点外)均在切线的下方.

选考题:请考生在第22、23题中任选一作答,如果多做,则按所做第一题计分

22.(选修4-4：坐标系与参数方程)(10分)

在平面直角坐标系中,动直线：与动直线：交点的轨迹为曲线,以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）若曲线的极坐标方程为，求曲线与曲线的交点的极坐标.

23.[选修4-5：不等式选讲](10分)

（1）设.求证：.

（2）求函数的最大值.

河南省信阳高级中学2022-2023学年高三下期04月测试（一）文数答案

一、选择题：ADCC    CDBA    CBBB

二、填空题：13. 3    14. 2    15.    16.②③④

三、解答题

17.解析（1）

由表中数据，得.

∵33.333>10.828,∴有99.9%的把握认为闯红灯与年龄有关.

（2）未进行处罚前，行人闯红灯的概率约为0.4，当处罚金额为10元时，行人闯红灯的概率约为，故当处罚金额为10元时，行入闯红灯的概率比不进行处罚降低 0.2.

（3）①根据调查数据显示，行人闯红灯与年龄有明显关系，可以针对30岁以上人群开展“道路安全”宣传教育；②由于试行经济处罚可以明显降低行人闯红灯的概率，则可以进行适当经济处罚来降低行人闯红灯的概率.

18.【答案】（1）    （2）

（1）由正弦定理和得：，

∵，∴，

又∵，∴，

又∵，∴.

∵，∴，∴

∵，∴，∴.

（2）由第（1）问，，∴

又∵,

∴，

∴，解得，

∵,∴,∴为等边三角形，

∴的面积为.

19.【解析】（1）证明：取线段的中点,连接,

则为的中位线,∴

由题知,∴,∴四边形为平行四边形.

∴.

∵,,∴.

(2)当时,.理由如下：

在中，∵,∴.

又∵,∴，，

∴.

∵为的中点，∴到平面的距离等于点到平面的距离的一半.

∵，∴.∴.

∴

取中点,连接,为等边三角形.则∵.

∵,∴.

设点到平面的距离为.

由 ，得，解得.

∴点到平面的距离为.

20.【答案】（1）  （2）曲线上存在两点满足

【详解】（1）设，由题意得，化简得

（2）存在两点满足.

设

联立直线与双曲线方程，有

由韦达定理，有

，

注意到上式当时，上式恒成立，即过定点，经检验两点恰在双曲线上，且不与重合，故存在双曲线上两点满足.

21.【答案】（1）  （2）详见解析

【详解】解：（1）

①    当时，时，

∴

②    当时，，在上，，在上单调递增，

∴

由①②知，∴

（2）设切线方程为

记，

，，，

∴在上单调递减，

，，在上单调递增，

，，在上单调递减，

∴，即，当且仅当时取“=”.

故原命题成立.

22.解：（1）直线：与动直线：的交点为，所以：和，消去参数得到

根据转换为极坐标方程为.

（2）把代入，

得到，整理得，

解得：，

所以曲线与曲线的交点的极坐标为或.

23.（1）证明：

∵

所以

（2）法一：

当且仅当去等号，解得.

即时取得最大值.

法二：

由解得，

∴函数的，定义域为.

，令，解得.

当时，，此时函数单调递增；

当时，，此时函数单调递减.

因此函数在时取得最大值，.