2022高考数学北京卷（原卷版）

2022 高考数学试题(北京卷)

一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 已知全集 U= {x|-3 < x < 3}，集合A= {x|-2 < x ≤ 1}，则 ∁UA =                                              (    )

A. (-2,1 ]                    B. (-3,-2) ∪ [1,3)      C. [-2,1)                     D. (-3,-2 ] ∪ (1,3)

2. 若复数z 满足 i ∙ z = 3 - 4i，则 |z| =                                                                                               (    )

A. 1                             B. 5                             C. 7                             D. 25

3. 若直线 2x + y - 1 = 0 是圆 (x - a)2 + y2 = 1 的一条对称轴，则 a =                                                 (    )

A.                                B. -                         C. 1                             D. - 1

4. 已知函数f(x) = ，则对任意实数 x，有                                             (    )

A. f(-x) + f(x) = 0     B. f(-x) - f(x) = 0     C. f(-x) + f(x) = 1     D. f(-x) - f(x) =

5. 已知函数f(x) = cos2x - sin2x，则                                                      (    )

A. f(x) 在 - ,-   上单调递减          B. f(x) 在 - ,   上单调递增

C. f(x) 在 0,   上单调递减              D. f(x) 在 ,   上单调递增

6. 设 {an } 是公差不为 0 的无穷等差数列，则“{an } 为递增数列”是“存在正整数N0 ，当 n >N0 时，an > 0” 的                                                                                (    )

A. 充分而不必要条件                     B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件                         D. 既不充分也不必要条件

7. 在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥 作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与 T 和 lgP 的关系，其中 T 表示温度，单位是 K；P 表示压强，单位是bar．下列结论中正确的是                                       (    )

lgP

4                                                      

2

0                                                              

200       250       300       350       400    T

A. 当 T = 220，P = 1026 时，二氧化碳处于液态

B. 当 T = 270，P = 128 时，二氧化碳处于气态

C. 当 T = 300，P = 9987 时，二氧化碳处于超临界状态

D. 当 T = 360，P = 729 时，二氧化碳处于超临界状态

8. 若 (2x - 1)4 = a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0 ，则 a0 + a2 + a4 =                                                          (    )

A. 40                           B. 41                            C. - 40                        D. - 41

9. 已 知 正三棱锥 P - ABC 的六条棱长均 为 6 ，S 是 △ ABC 及其 内 部 的 点 构成 的集合 ． 设集合 T = {Q ∈S |PQ ≤ 5} ，则 T 表示的区域的面积为                                         (    )

A.                              B. π                             C. 2π                           D. 3π

10. 在 △ABC 中，AC = 3 ，BC = 4 ，∠C = 90°． P 为 △ABC 所在平面内的动点，且 PC= 1，则 ∙ 的 取值范围是                                                                        (    )

A. [-5,3 ]                    B. [-3,5 ]                    C. [-6,4 ]                    D. [-4,6 ]

二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.

11. 函数f(x) = + 的定义域是       ．

12. 已知双曲线y2 + = 1 的渐近线方程为y = ±x，则m =            ．

13. 若函数f(x) =Asinx - 3cosx 的一个零点为 ，则A =             ；f   =            ．

14. 设函数 f (x) = 12,   若 f (x) 存在最小值，则 a 的一个取值为       ；a 的最大值为   ．

15. 已知数列 {an } 的各项均为正数，其前n 项和 Sn 满足 an ∙ Sn = 9(n = 1，2，⋯)．给出下列四个结论：

① {an } 的第 2 项小于 3 ；                ② {an } 为等比数列；

③ {an } 为递减数列；                   ④ {an } 中存在小于 的项．

其中所有正确结论的序号是       ．

三、解答题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16. ( 本小题 13 分 )

在 △ABC 中，sin2C = 3sinC．

( Ⅰ ) 求 ∠C；

( Ⅱ ) 若 b= 6，且 △ABC 的面积为 6 3 ，求 △ABC 的周长．

17. ( 本小题 13 分 )

如图，在三棱柱ABC -A1B1C1 中，侧面BCC1B1 为正方形，平面BCC1B1 ⊥ 平面ABB1A1，AB =BC = 2， M，N分别为A1B1 ，AC 的中点．

( Ⅰ ) 求证：MN ∥ 平面BCC1B1 ；

( Ⅱ ) 再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB 与平面BMN所成角的正弦值． 条件①：AB ⊥ MN；

条件②：BM =MN．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

B1                   M

1

B

C

18. 在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到 9.50m 以上 ( 含 9.50m) 的同学将 获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下 数据 ( 单位：m)：

甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；

乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；

丙：9.85，9.65，9.20，9.16．

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．

( Ⅰ ) 估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；

( Ⅱ ) 设X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X 的数学期望EX； ( Ⅲ ) 在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？ ( 结论不要求证明 )

19. 已知椭圆E： + = 1(a > b > 0) 的一个顶点为A(0,1)，焦距为 2 3． ( Ⅰ ) 求椭圆E 的方程；

( Ⅱ ) 过点 P(-2,1) 作斜率为 k 的直线与椭圆E 交于不同的两点 B,C ，直线 AB,AC 分别与 x 轴交于点 M,N ．当 |MN | = 2 时，求 k 的值．

20. 已知函数f(x) = exln(1 + x)．

( Ⅰ ) 求曲线y =f(x) 在点 (0,f(0)) 处的切线方程；

( Ⅱ ) 设g(x) =f′ (x)，讨论函数g(x) 在 [0,+∞) 上的单调性；

( Ⅲ ) 证明：对任意的 s,t ∈ (0,+∞)，有f(s + t) >f(s) +f(t)．

21. 已知 Q：a1 ，a2 ，⋯ ，ak 为有穷整数数列．给定正整数 m ，若对任意的 n ∈ {1 ，2 ，⋯ ，m}，在 Q 中存在

ai ，ai+1 ，ai+2 ，⋯ ，ai+j(j ≥ 0)，使得 ai + ai+1 + ai+2 +⋯ +ai+j =n，则称 Q 为m - 连续可表数列． ( Ⅰ ) 判断 Q：2，1，4 是否为 5 - 连续可表数列？是否为 6 - 连续可表数列？说明理由；      ( Ⅱ ) 若 Q：a1 ，a2 ，⋯ ，ak 为 8 - 连续可表数列，求证：k 的最小值为 4；

( Ⅲ ) 若 Q：a1 ，a2 ，⋯ ，ak 为 20 - 连续可表数列，且 a1 + a2 +⋯ +ak < 20，求证：k ≥ 7．