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    2023年北京高考数学真题(原卷版)

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    这是一份2023年北京高考数学真题(原卷版),共6页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    本试卷满分150分.考试时间 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
    一、选择题:本题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
    1. 已知集合,则( )
    A. B.
    C. D.
    2. 在复平面内,复数对应的点的坐标是,则的共轭复数( )
    A B.
    C. D.
    3. 已知向量满足,则( )
    A. B. C. 0D. 1
    4. 下列函数中,在区间上单调递增的是( )
    A. B.
    C. D.
    5. 的展开式中的系数为( ).
    A. B. C. 40D. 80
    6. 已知抛物线的焦点为,点在上.若到直线的距离为5,则( )
    A. 7B. 6C. 5D. 4
    7. 在中,,则( )
    A. B. C. D.
    8. 若,则“”是“”的( )
    A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
    C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
    9. 坡屋顶是我国传统建筑造型之一,蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓,展现造型之美.如图,某坡屋顶可视为一个五面体,其中两个面是全等的等腰梯形,两个面是全等的等腰三角形.若,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为,则该五面体的所有棱长之和为( )

    A. B.
    C D.
    10 已知数列满足,则( )
    A. 当时,为递减数列,且存在常数,使得恒成立
    B. 当时,为递增数列,且存在常数,使得恒成立
    C. 当时,为递减数列,且存在常数,使得恒成立
    D. 当时,为递增数列,且存在常数,使得恒成立
    二、填空题:本题共5小题,每小题5分,共25分.
    11. 已知函数,则____________.
    12. 已知双曲线C的焦点为和,离心率为,则C的方程为____________.
    13. 已知命题若为第一象限角,且,则.能说明p为假命题的一组的值为__________, _________.
    14. 我国度量衡的发展有着悠久的历史,战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量(单位:铢)从小到大构成项数为9的数列,该数列的前3项成等差数列,后7项成等比数列,且,则___________;数列所有项的和为____________.
    15. 设,函数,给出下列四个结论:
    ①在区间上单调递减;
    ②当时,存在最大值;
    ③设,则;
    ④设.若存在最小值,则a的取值范围是.
    其中所有正确结论的序号是____________.
    三、解答题:本题共6小题,共85分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    16. 如图,在三棱锥中,平面,.

    (1)求证:平面PAB;
    (2)求二面角的大小.
    17. 设函数.
    (1)若,求的值.
    (2)已知在区间上单调递增,,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使函数存在,求的值.
    条件①:;
    条件②:;
    条件③:区间上单调递减.
    注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.
    18. 为研究某种农产品价格变化的规律,收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据,如下表所示.在描述价格变化时,用“+”表示“上涨”,即当天价格比前一天价格高;用“-”表示“下跌”,即当天价格比前一天价格低;用“0”表示“不变”,即当天价格与前一天价格相同.
    用频率估计概率.
    (1)试估计该农产品价格“上涨”的概率;
    (2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的.在未来的日子里任取4天,试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率;
    (3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响.判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大.(结论不要求证明)
    19. 已知椭圆离心率为,A、C分别是E的上、下顶点,B,D分别是的左、右顶点,.
    (1)求的方程;
    (2)设为第一象限内E上的动点,直线与直线交于点,直线与直线交于点.求证:.
    20. 设函数,曲线在点处的切线方程为.
    (1)求的值;
    (2)设函数,求的单调区间;
    (3)求的极值点个数.
    21. 已知数列的项数均为m,且的前n项和分别为,并规定.对于,定义,其中,表示数集M中最大的数.
    (1)若,求的值;
    (2)若,且,求;
    (3)证明:存在,满足 使得.
    时段
    价格变化
    第1天到第20天
    -
    +
    +
    0
    -
    -
    -
    +
    +
    0
    +
    0
    -
    -
    +
    -
    +
    0
    0
    +
    第21天到第40天
    0
    +
    +
    0
    -
    -
    -
    +
    +
    0
    +
    0
    +
    -
    -
    -
    +
    0
    -
    +
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