2022高考数学全国2卷（原卷版）

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2022 年普通高等学校招生全国统一考试（全国2卷）数 学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合 A＝{－1，1，2，4}，B＝{x||x－1|≤1}，则 A∩B＝A．{－1，2}2．(2＋2i)(1－2i)＝A．－2＋4iB．{1，2}C．{1，4}D．{－1，4}D．6－2iB．－2－4iC．6＋2i3．图 1 是中国的古建筑中的举架结构，AA/，BB，CC/，DD/是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图 2 是某古建筑屋顶截面示意图，其中 DD ，CC ，BB ，AA1111DD是举，OD ，DC ，CB ，BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 1＝0.5，1111OD1CC1DC1BB1CB1AA1BA1＝k1，＝k2，＝k ，已知k ，k ，k 是公差为 0.1 的等差数列，且直线 OA 的3123斜率为 0.725，则k3＝A．0.75B．0.8C．0.85D．0.94．已知向量 a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若＜a，c＞＝＜b，c＞，则 t＝A．－6 B．－5 C．5 D．6数学试题第 1 页 （共 4 页）
5．甲乙丙丁戊 5 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有A．12 种B．24 种C．36 种D．48 种π46．若 sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2 2cos(α＋ )sinβ，则A．tan(α－β)＝－1 B．tan(α＋β)＝1C．tan(α－β)＝－1 D．tan(α＋β)＝17．已知正三棱台的高为 1，上、下底面的边长分别为 3 3和 4 3，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A．100πB．128πC．144πD．192π228．若函数 f (x)的定义域为 R，且 f (x＋y)＋f (x－y)＝f (x)f (y)，f (1)＝1，则 f (k)＝k＝1A．－3B．－2C．0D．1二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。2π9．已知函数 f (x)＝sin(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象关于点( ，0)中心对称，则35πA．f (x)在(0， )单调递减12π11πB．f (x)在(－， )有两个极值点12 127πC．直线 x＝ 是曲线 y＝f (x)的一条对称轴632D．直线 y＝ －x 是曲线 y＝f (x)的切线10．已知 O 为坐标原点，过抛物线 C：y2＝2px(p＞0)的焦点 F 的直线与 C 交于 A，B 两点，其中 A 在第一象限，点 M(p，0)，若|AF|＝|AM|，则A．直线 AB 的斜率为 2 6EB．|OB|＝|OF|C．|AB|＞4|OF|D．∠OAM＋∠OBM＜180º11．如图，四边形 ABCD 为正方形，ED⊥平面 ABCD，FB∥ED，AB＝ED＝2FB，记三棱锥 E－ACD，F－ABC，F－ACE 的体积分别为V ，V ，V ，则F123DCA．V3＝2V2B．V3＝V1C．V ＝V ＋VD．2V3＝3V1AB31212．若 x，y 满足x2＋y2－xy＝1，则A．x＋y≤1B．x＋y≥－2D．x2＋y2≥1C．x2＋y2≤2三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．随机变量 X 服从正态分布 N(2，σ2)，若 P(2＜X≤2.5)＝0.36，则 P(X＞2.5)＝_______．14．曲线 y＝ln|x|过坐标原点的两条切线方程为_______，_______．数学试题第 2 页 （共 4 页）
15．设点 A(－2，3)，B(0，a)，若直线 AB 关于 y＝a 对称的直线与圆 C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝1 有公共点，则 a 的取值范围为_______．x2 y216．已知直线 l 与椭圆 ＋ ＝1 在第一象限交于 A，B 两点，l 与 x 轴、y 轴分别相交于63M，N 两点，且|MA|＝|NB|，|MN|＝2 3，则 l 的方程为_______．四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（10 分）已知{a }为等差数列，{b }为公比为 2 的等比数列，且a －b ＝a －b ＝b －a ．nn223344（1）证明：a ＝b ；11（2）求集合{k|b ＝a ＋a ，1≤m≤500}中元素个数．km118．（12分）记△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，分别以 a，b，c 为边长的三个正3213三角形的面积依次为S ，S ，S ，已知S －S ＋S ＝ ，sinB＝ ．123123（1）求△ABC 的面积；2（2）若 sinAsinC＝ ，求 b．319．（12分）在某地区进行流行病学调查，随机调查了 100位某种疾病患者的年龄，得到如下样本数据的频率分布直方图．频率组距0.0230.0200.0170.0120.0060.0020.001010 20 30 40 50 60 70 80 90年龄(岁)（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄；（同一组数据用该区间的中点值作代表）（2）估计该地区一位这种疾病患者年龄位于区间[20，70)的概率；（3）已知该地区这种疾病患者的患病率为 0.1%，该地区年龄位于区间[40，50)的人口数占该地区总人口数的 16%，从该地区选出 1 人，若此人的年龄位于区间[40，50)，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到 0.0001）．数学试题第 3 页 （共 4 页）
20．（12分）如图，PO 是三棱锥 P－ABC 的高，PA＝PB，PAB⊥AC，E 为 PB 的中点．C（1）证明：OE∥平面 PAC：E（2）若∠ABO＝∠CBO＝30º，PO＝3，PA＝5，求二面角 C－AE－B 正余弦值．OBA21．（12 分）x2 y2已知双曲线 C： － ＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为 F(2，0)，渐近线方程为 y＝± 3x．a2 b2（1）求 C 的方程；（2）过 F 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点，点 P(x ，y )，Q(x ，y )在1122C 上，且x ＞x ＞0，y ＞0．过 P 且斜率为－ 3的直线与过 Q 且斜率为 3的直线交于点121M，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另一个成立．①M 在 AB 上；②PQ∥AB；③|AM|＝|BM|．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．22．（12 分）已知函数 f (x)＝xeax－ex．（1）当 a＝1 时，讨论 f (x)的单调性；（2）当 x＞0 时，f (x) ＜－1，求实数 a 的取值范围；111（3）设 n∈N*，证明：＋＋…＋＞ln(n＋1)．12＋122＋2n2＋n数学试题第 4 页 （共 4 页）