2023届内蒙古呼和浩特市高三第一次质量数据监测数学（理）试题含解析

2023届内蒙古呼和浩特市高三第一次质量数据监测数学（理）试题

一、单选题

1．设全集，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求出，再根据交集的定义可求.

【详解】，故，

故选：A.

2．复数满足，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据模长公式化简原式得，再根据复数的除法法则计算得，从而写出共轭复数.

【详解】由题意，，

则，

所以.

故选：D

3．已知是平面内的两条相交直线，且直线，则“”是“”的（    ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】根据线面垂直的判定定理和性质，以及充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.

【详解】当时，因为是平面内的两条相交直线，，

根据线面垂直的判定定理，可得；

当时，因为，所以，

综上，“”是“”的充要条件.

故选：A.

4．法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包．该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1000g，上下浮动不超过50g．这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000g，标准差为50g的正态分布．假设面包师的说法是真实的，记随机购买一个面包的质量为X，若，则买一个面包的质量大于900g的概率为（    ）

（附：①随机变量服从正态分布，则，，；）

A．0.84135 B．0.97225

C．0.97725 D．0.99865

【答案】C

【分析】确定，概率为，计算得到答案.

【详解】由题意得，

故面包的质量大于900g的概率为.

故选：C

5．已知等比数列中，，，成等差数列，则（    ）

A．或 B．4 C． D．

【答案】A

【分析】由题设，进而求出的公比，将目标式化简求值即可.

【详解】由题设，若等比数列的公比为，

所以，而，则，

解得或，

所以，

当时，当时.

故选：A

6．在中，D是BC边的中点，且，，，则的形状为（    ）

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．无法确定

【答案】C

【分析】分别在和中，利用余弦定理得到两个等式，然后两式相加，得到，然后在中，由余弦定理判断.

【详解】解：在中，由余弦定理得，

在中，由余弦定理得，

两式相加得，则，，

在中，由余弦定理得，

所以是钝角三角形，

故选：C

7．从5名女生2名男生中任选3人参加学校组织的演讲比赛，则在女生甲被选中的条件下，男生至少一人被选中的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】记女生甲被选中为事件，记男生至少一人被选中为事件，根据条件概率计算.

【详解】设女生甲被选中为事件，事件表示女生甲被选中后再从剩下的6人中选2人，故，

设男生至少一人被选中为事件，事件表示女生甲被选中后再选2男生或1男生和1女生（从剩余4女生中选），故

则在女生甲被选中的条件下，男生至少一人被选中的概率是.

故选：C.

8．若函数的图象关于原点对称，且，则（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】A

【分析】根据奇偶性及计算可得.

【详解】解：由题可知，当时，，且，

由题意知为奇函数，则，

又，，

则.

故选：A.

9．将函数的图象向左平移个单位长度后，再将所得的图象向下平移一个单位长度得到函数的图象，且的图象与直线相邻两个交点的距离为，若对任意恒成立，则的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由已知求得，再由已知得函数的最小正周期为，求得，结合对任意恒成立列关于的不等式组求解．

【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后，

再将所得的图象向下平移一个单位长度，得，

又的图象与直线相邻两个交点的距离为，得，即．

∴，当时，，

∵，，

∴，解得，∴的取值范围是，故选B．

【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换与性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键，是中档题．

10．盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商要为棱长6cm的正四面体魔方设计一款正方体的包装盒，需要保证该魔方可以在包装盒内任意转动，则包装盒的棱长最短为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】依题意，若要正四面体能自由转动，则正方体必须能装下正四面体的外接球，即正方体的最短棱长就是外接球的直径.

【详解】如图 是棱长为6cm的正四面体，

由题意， ，设BC的中点为M，底面 的重心为G，O为外接球的球心，

则有 底面BCD， ，  ，

，R是外接球半径，

在 中， ，

在 中， ， ，解得 ，

即正方体的最短棱长为.

故选：D.

11．过双曲线（，）的左焦点作圆的切线，切点为，直线交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先确定为的中点，所以为△的中位线，进而得到，，，切圆于，可得，由勾股定理得出关于，的关系式，最后即可求得离心率．

【详解】如图，

，为的中点，

为的中点，

为△的中位线，

，，

切圆于

，

，，

由勾股定理

，

．

故选：A．

12．已知，则这三个数的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】构造函数，利用导数法研究单调性，并利用单调性可比较，在同一坐标系中作出与的图象，结合图象与幂函数的性质可比较，即可求解

【详解】令，则，

由，解得，由，解得，

所以在上单调递增，在上单调递减；

因为，

所以，即，

所以，所以，

又递增，

所以，即；

，

在同一坐标系中作出与的图象，如图：

由图象可知在中恒有，

又，所以，

又在上单调递增，且

所以，即；

综上可知：，

故选：A

二、填空题

13．“二进制”来源于我国古代的《易经》，二进制数由数字0和1组成，比如：二进制数化为十进制的计算公式如下，若从二进制数、、、中任选一个数字，则二进制数所对应的十进制数大于2的概率为__________．

【答案】##0.25

【分析】将二进制转化为十进制，再计算概率即可.

【详解】；；；，

十进制数大于2的概率为.

故答案为：

14．四边形ABCD为平行四边形，且，，若，则的值为__________．

【答案】##0.2

【分析】以为基底，表示向量，将，利用表示，再由系数相等求解.

【详解】解：四边形为平行四边形，则可以以为基底.

因为，所以，

则，

又，

所以，

则，解得，

所以.

故答案为：.

15．抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点M，若在点M处的切线平行于的一条渐近线，则__________．

【答案】##

【分析】求出抛物线的焦点与双曲线的右焦点及渐近线方程，设，由导数求得点处切线的斜率，得出的关系，再根据三点共线的斜率性质构造方程即可得解.

【详解】抛物线的焦点的坐标为，且；

双曲线的右焦点的坐标为，渐近线方程为，

由题意可知，在点M处的切线平行的渐近线应为，

设，则，得，

又点共线，即点共线，

所以，解得，所以.

故答案为：.

16．设点为函数与图象的公共点，以为切点可作直线与两曲线都相切，则实数的最大值为___________．

【答案】

【详解】设点坐标为，则有，因为以为切点可作直线与两曲线都相切，所以，即

或由，故，此时；所以点坐标为，代入整理得：，，令，即，得，可判断 在 上递增，在 上递减，所以当时有极大值也是最大值，，故答案为.

【方法点睛】本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性进而求最值，属于难题.求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图像法、函数单调性法求解，利用函数的单调性求范围，首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间 ，最后再根据其单调性求凼数的最值即可.

三、解答题

17．某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）

(1)应收集多少位女生样本数据？

(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：，，，，，．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率．

(3)视样本数据的频率为概率，现从全校取4名学生，记为这四名学生中运动时间超过4小时的人数，求的分布列以及数学期望．

【答案】(1)90

(2)0.75

(3)分布列见解析，

【分析】（1）根据分层抽样的定义即可求解；

（2）利用样本频率估计总体概率；

（3）运动时间超过4小时的概率为，结合分布列和数学期望的定义求解即可.

【详解】（1）因为男生10500人，女生4500人，

所以抽取女生占总人数的比例为．

又因为分层抽样收集300位学生，

所以女生样本数据应收集为．

（2）由频率分布直方图可知，

学生每周平均体育运动时间超过4个小时的频率为．

估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率0.75.

（3）由（2）可知运动时间超过4小时的概率为，则，

所以，

，

，

，

，

则的分布列为：

则．

18．如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，分别是棱，，的中点．

(1)证明：平面；

(2)若，，求与平面所成角的大小．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）依题意可得，，即可得到平面，再由为平行四边形得到，从而得到平面，即可得到平面平面，即可得证；

（2）与平面所成角就是与平面所成角，再求出点到平面的距离为，根据求出即得解.

【详解】（1）证明：因为E、F、G分别是棱AB、AP、PD的中点，

所以，，又平面，平面，

所以平面，

又因为底面为平行四边形，所以，则，

又平面，平面，所以平面，

因为，平面，所以平面平面，

又平面，所以平面.

（2）解：因为平面平面，

所以与平面所成角就是与平面所成角.

因为.

因为.

因为平面,

所以平面.

因为,

因为平面,

所以平面，所以平面，因为平面,

所以.

设点到平面的距离为，又,

所以.

设与平面所成角为，所以.

所以与平面所成角为.

19．给出以下条件：①，，成等比数列；②，，成等比数列；③是与的等差中项．从中任选一个，补充在下面的横线上，再解答．

已知单调递增的等差数列的前n项和为，且，__________．

(1)求的通项公式；

(2)令是以1为首项，2为公比的等比数列，求数列的前n项和．

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，由条件结合等差数列的通项公式以及求和公式，得到关于公差的方程，从而得到的通项公式；

（2）根据题意，结合错位相减法即可得到结果.

【详解】（1）选①，设递增等差数列的公差为，

由，，，有，

化简得，则，，所以的通项公式为．

选②，设递增等差数列的公差为，

由，，，有，

化简得，即，解得，

则，所以的通项公式为．

选③，设递增等差数列的公差为，

由是与的等差中项，得，即，

则有，

化简得，即，解得，

则，所以的通项公式为．

（2）由是以1为首项，2为公比的等比数列，得，

由（1）知，即有，

则，于是，

两式相减得：，

因此．

20．已知椭圆的一个焦点为，且椭圆经过点．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设A、B是x轴上的两个动点，且，直线AM、BM分别交椭圆于点P、Q（均不同于M），证明：直线PQ的斜率为定值．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）将代入椭圆的方程，化简求值即可.

（2）联立直线PQ和椭圆的方程，然后将转化为，化简即可得到直线PQ的斜率为定值.

【详解】（1））由已知，得①，

设椭圆方程，代入点得②，联立①②，

解得，，所以椭圆方程为．

（2）由题可知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为．

设点，，

联立得，，满足时，

有，，

由可得，

即，即，

化简得，

代入韦达定理，可得，

又点不在直线PQ上，因此，

所以，即，故直线PQ的斜率为定值．

21．已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)若有2个不同的极值点，，求证：.

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）先求函数的导函数，求导后对分成，，三类，讨论函数的单调区间.

（2）用韦达定理写出这两个极值点的关系，化简，并利用导数求得上式表达式的单调区间以及最值，由此证得不等式成立.

【详解】（1）因为，

所以．

设，则．

当时，，，，在上是增函数；

当时，两个根，；

当时，，，

所以当时，，，是减函数；

当时，，，是增函数；

当时，，

所以当或时，，，是增函数；

当时，，，是减函数；

综上可知，当时，在上是增函数；

当时，在上是减函数，在上是增函数；

当时，在上是减函数，

在，上是增函数．

（2）由题意可得，是的两个根，

则，，且，

所以．

设，则，

令，

则在上为增函数，

且，，

所以存在，使得，即，

且当时，，是减函数，

当时，，是增函数，

所以

，故.

【点睛】关键点睛：在求出函数的定义并对函数求导后，要注意通分，因为根据定义域，分母往往是为正的，可不用考虑的，再根据开口方向和判别式对参数进行分类讨论，由此得到函数的单调区间.

22．如图，在极坐标系中，曲线是以为圆心的半圆，曲线是以为圆心的圆，曲线、都过极点O．

(1)分别写出半圆和圆的极坐标方程；

(2)直线与曲线、分别交于M、N两点（异于极点O），P为上的动点，求面积的最大值．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）先求出曲线、的直角坐标方程，再根据直角坐标转化为极坐标方程即可；

（2）通过联立极坐标方程，即可求得M、N两点的极坐标，进而求得的长度，若求面积最大值，只需求点到直线距离最大，即过圆心做垂直于的线反向延长交的点为，通过直角三角形中边与角的关系，求得圆心到直线距离，进而求得高的最大值，即三角形面积最大值.

【详解】（1）解：因为曲线是以为圆心的半圆，且过极点O，所以半径为2，

故曲线的直角坐标方程为：，，

即，将代入化简可得：，

由，即，即，

即，故，

所以的极坐标方程为；

因为曲线是以为圆心的圆，且过极点O，所以圆心为，半径为1，

故的直角坐标方程为：，

即，将代入可得：

圆的极坐标方程为；

（2）因为M、N是直线与曲线、的两个交点，

不妨设，

由（1）得：，：，

所以，所以，

若面积最大，只需P点到直线MN的距离最大，因为P在上，

所以当P点为过且与直线MN垂直的直线与圆的一个交点时，距离最大，如图所示：

设与直线MN垂直于点H，因为，

所以，在中，，

所以点P到直线MN的最大距离为，

所以面积的最大值为．

23．已知．

(1)解不等式：；

(2)记的最小值为m，若，求的最小值．

【答案】(1)

(2)27

【分析】（1）分，，三种情况讨论，去绝对值符号，解不等式即可；

（2）先根据绝对值三角不等式求出，再利用柯西不等式即可得解.

【详解】（1）①当时，原不等式化为，

即，解得，

∴时，不等式成立，

②当时，原不等式化为，即，恒成立，

∴时，不等式恒成立，

③当时，原不等式化为，即，解得，

∴时，不等式成立，

综上，不等式的解集为；

（2）∵（当且仅当时“＝”成立），

∴，即，

由柯西不等式，可得，

当且仅当，即，，时“”成立，

所以，

即的最小值是27．