2023届北京市汇文中学高三校模数学试题含解析

2023届北京市汇文中学高三校模数学试题

一、单选题

1．已知集合，，那么（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】求解一元二次不等式从而求解集合，再根据并集的定义求解.

【详解】由，得，

结合，可知.

故选：B.

2．如果，那么下列不等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据不等式的性质判断A、B，再根据指数函数的性质判断C，根据对数函数的性质判断D；

【详解】解：因为，所以，故A错误；

因为，所以，故B错误；

因为，且在定义域上单调递减，所以，故C错误；

因为，且在定义域上单调递增，所以，故D正确；

故选：D

3．如果平面向量，，那么下列结论中正确的是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】由平面向量，知：

在中，，，

∴，故错误；

在中，，故错误；

在中，，

∴，

∴，故正确；

在中，∵，

∴与不平行，故错误．

综上所述．

故选．

4．已知直线m，n和平面，如果，那么“m⊥n”是“m⊥”的（   ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】若，则，即必要性成立，

当时，不一定成立，必须垂直平面内的两条相交直线，即充分性不成立，

故“”是“”的必要不充分条件，

故选：．

5．在等比数列中，，，则等于（  ）

A．9 B．72 C．9或72 D．9或-72

【答案】D

【详解】设等比数列的公比为，∵，，∴，解得或，故或，

故选：D.

6．下列函数中,定义域为的奇函数是

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】定义域为R,所以舍去B,又为偶函数,为非奇非偶函数,

故选：D.

7．已知双曲线的一个焦点是，则其渐近线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】求出的值即得解.

【详解】解：由题得，

所以双曲线的渐近线方程为，即.

故选：B

8．在空间直角坐标系中，正四面体的顶点、分别在轴，轴上移动．若该正四面体的棱长是，则的取值范围是(    )．

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】固定正四面体的位置，原点在以为直径的球面上运动,由此根据球的性质可以得到答案.

【详解】如图所示，

若固定正四面体的位置，

则原点在以为直径的球面上运动，

设的中点为，

则，

所以原点到点的最近距离等于减去球的半径，

最大距离是加上球的半径，

所以，

即的取值范围是．

故选:．

9．如果函数的两个相邻零点间的距离为2，那么的值为（    ）．

A．1 B． C． D．

【答案】A

【分析】利用辅助角公式化简函数，由已知求出，再结合函数式计算作答.

【详解】依题意，，函数的周期，而，则，，

，，

所以.

故选：A

10．如图，已知正方体的棱长为，、分别是棱、上的动点，设，.若棱与平面有公共点，则的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】取特殊值和，进行验证，结合排除法可得出结论.

【详解】由题意，若，则棱与平面交于点，符合题意，此时；

若，，则棱与平面交于线段，符合题意，此时.

排除B、C、D选项.

故选：A．

【点睛】本题考查线面位置关系，考查特殊值法的运用，属于中档题．

二、填空题

11．复数____．

【答案】

【分析】利用复数的代数形式的四则运算法则求解．

【详解】．

故答案为：．

12．在的展开式中，常数项是__________（用数字作答）．

【答案】15

【分析】求出通项，令由此求得展开式中常数项．

【详解】在的展开式中，通项

令 ．故展开式中常数项是 ，

故答案为 15．

【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．

13．若，则______ ;

【答案】40

【解析】利用对数的运算公式，，直接求值即可.

【详解】

故答案为：40

14．在中，角的对边分别为，若，，，则__________．

【答案】

【分析】由正弦定理得到，再由余弦定理求出的值.

【详解】由正弦定理得：，

再有余弦定理得：，

解得：.

故答案为：．

三、双空题

15．设函数其中.

①若，则______；

②若函数有两个零点，则的取值范围是______.

【答案】         

【分析】①代值计算即可；

②分别画出与y＝2的图象，函数有两个零点，结合图象可得答案．

【详解】解：①当时，

则，

∴；

②分别画出与y＝2的图象，如图所示，

函数有两个零点，结合图象可得4≤a＜9，

故a的取值范围是.

故答案为：；.

【点睛】本题主要考查函数零点个数的判断，根据函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题是解决本题的关键．注意要利用数形结合．

四、解答题

16．如图，在四边形中，，，，，.

（1）求；

（2）求的长.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）计算出、，利用两角和的余弦公式可求得的值；

（2）在中，利用正弦定理可求出的长，然后在中利用余弦定理可求得的长.

【详解】（1）因为，，则、均为锐角，

所以，，，

，

，则，因此，；

（2）在中，由正弦定理可得，

可得，

在中，由余弦定理可得，

因此，.

【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：

（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；

（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；

（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；

（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；

（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；

（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.

17．如图，在四棱锥中，O是边的中点，底面．在底面中，．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【分析】（1）证明后可证线面平行；

（2）以为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．

【详解】（1）由题意，又，所以是平行四边形，所以，

又平面，平面，所以平面；

（2），所以是平行四边形，所以，，而，所以，

以为轴建立空间直角坐标系，如图，

则，，，，，

设平面的一个法向量为，则

，取，则，即，

易知平面的一个法向量是，

所以，

所以二面角的余弦值为．

【点睛】方法点睛：本题考查证明线面平行，求二面角．求二面角的方法：

（1）几何法（定义法）：根据定义作出二面角的平面角并证明，然后解三角形得出结论；

（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出二面角两个面的法向量，由两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）．

18．自由购是通过自助结算方式购物的一种形式. 某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：

（Ⅰ）现随机抽取 1 名顾客，试估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率；

（Ⅱ）从被抽取的年龄在使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用表示这3人中年龄在的人数，求随机变量的分布列及数学期望；

（Ⅲ）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋.

【答案】；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）2200

【解析】（Ⅰ）随机抽取的100名顾客中，年龄在[30，50）且未使用自由购的有3+14＝17人，由概率公式即可得到所求值；

（Ⅱ）所有的可能取值为1,2,3，求出相应的概率值，即可得到分布列与期望；

（Ⅲ）随机抽取的100名顾客中，使用自由购的有44人，计算可得所求值．

【详解】（Ⅰ）在随机抽取的100名顾客中，年龄在[30,50)且未使用自由购的共有3+14=17人，

所以，随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率为．

（Ⅱ）所有的可能取值为1,2,3，

,

,

.

所以的分布列为

所以的数学期望为.

（Ⅲ）在随机抽取的100名顾客中，

使用自由购的共有人，

所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为.

【点睛】本题考查统计表，随机变量X的分布列及数学期望，以及古典概型，是一道综合题．

19．已知函数．

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）若对于任意的，都有≤，求的取值范围．

【答案】（Ⅰ）当时，的单调递增区间是和：单调递减区间是，当时，的单调递减区间是和：单调递减区间是．

（Ⅱ） ．

【详解】，令，当时，的情况如下：

所以，的单调递增区间是和：单调递减区间是，当时，与的情况如下：

所以，的单调递减区间是和：单调递减区间是．

（Ⅱ）当时，因为，所以不会有当时，由（Ⅰ）知在上的最大值是所以等价于， 解得故当时，的取值范围是．

20．已知椭圆：的一个顶点为，焦距为．

(1)求椭圆E的方程；

(2)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）依题意可得，即可求出，从而求出椭圆方程；

（2）首先表示出直线方程，设、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线、的方程，表示出、，根据得到方程，解得即可；

【详解】（1）解：依题意可得，，又，

所以，所以椭圆方程为；

（2）解：依题意过点的直线为，设、，不妨令，

由，消去整理得，

所以，解得，

所以，，

直线的方程为，令，解得，

直线的方程为，令，解得，

所以

，

所以，

即

即

即

整理得，解得

21．设数列.如果，且当时，，则称数列A具有性质.对于具有性质的数列A，定义数列，其中.

(1)对，写出所有具有性质的数列A；

(2)对数列，其中，证明：存在具有性质的数列A，使得与为同一个数列；

(3)对具有性质的数列A，若且数列满足，证明：这样的数列A有偶数个.

【答案】(1)、、

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）根据数列的定义，得到且，，，确定，按照或分别讨论可得答案；

（2）设数列：中恰有项为1，在按照、、三种情况分别讨论可证结论；

（3）按照的奇偶分类讨论，结合数列的定义可证结论.

【详解】（1）因为，所以，则

因为，，，所以，，，

又，

所以，或，

当时，，

当时，或，

综上所述：所有具有性质的数列A为：、、.

（2）由于数列：，其中，

不妨设数列：中恰有项为1，

若，则符合题意，

若，则符合题意，

若，则设这项分别为，

构造数列，令分别为，

数列的其余各项分别为，

经检验数列符合题意.

（3）对于符合题意的数列，

①当为奇数时，存在数列符合题意，

且数列与不同，与相同，

按这样的方式可由数列构造出数列，

所以为奇数时，这样的数列有偶数个，

当时，这样的数列也有偶数个，

②当为偶数时，

如果是数列中不相邻的两项，交换与得到数列符合题意，

且数列与不同，与相同，

按这样的方式可由数列构造出数列，

所以这样的数列有偶数个，

如果是数列中相邻的两项，由题设知，必有，，，

除这三项外，是一个项的符合题意的数列，

由①可知，这样的数列有偶数个，

综上，这样的数列有偶数个.

【点睛】关键点点睛：正确理解数列的定义，并利用定义求解是解题关键.