2022届安徽省滁州市凤阳县临淮中学高三下学期四模数学（文）试题含解析

2022届安徽省滁州市凤阳县临淮中学高三下学期四模数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，为虚数单位，，则下列选项正确的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用复数模的计算公式可得 ，即可判断出结论．

【详解】，又集合，

．

故选A．

【点睛】本题考查了复数模的计算公式、元素与集合之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

2．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】解不等式，利用充分条件，必要条件的定义即得.

【详解】解不等式，得，

解不等式，得，

故由可推出，由推不出，

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B.

3．运行如图所示的程序框图，设输出的数据构成的集合为，从集合中任取一个元素，则函数，是增函数的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先根据程序框图计算出所有输出的y值，确定集合A,再根据幂函数的性质，选出所有符合条件的 的值，用符合条件的事件个数除以基本事件的总数，即可求解．

【详解】由程序框图可知，其中基本事件的总数为5，设集合中满足“函数，是增函数”为事件，当函数，是增函数时，，事件包含基本事件的个数为3，则.故选.

【点睛】本题考查程序框图的运行和概率的计算，是基础题．

4．设实数，满足约束条件,则的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=|x|﹣y对应的直线进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，即可得出z的取值范围．

详解：作出实数x，y满足约束条件表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，

其中A（﹣1，﹣2），B（0，），O（0，0）．

设z=F（x，y）=|x|﹣y，将直线l：z=|x|﹣y进行平移，

观察直线在y轴上的截距变化，

当x≥0时，直线为图形中的红色线，可得当l经过B与O点时，

取得最值z∈[0，]，

当x＜0时，直线是图形中的蓝色直线，

经过A或B时取得最值，z∈[﹣，3]

综上所述，z∈[﹣，3]．

故答案为：A．

点睛：（1）本题主要考查线性规划，意在考查学生对该知识的掌握水平和数形结合的思想方法，考查学生分类讨论思想方法.(2)解答本题的关键是对x分x≥0和x＜0讨论，通过分类转化成常见的线性规划问题.

5．中医药，是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称，反映了中华民族对生命、健康和疾病的认识，具有悠久历史传统和独特理论及技术方法的医药学体系．是中华民族的瑰宝．某科研机构研究发现，某品种中医药的药物成分甲的含最x（单位：克）与药物功效y（单位：药物单位）之间满足y＝15x﹣2x2．检测这种药品一个批次的6个样本，得到成分甲的含量的平均值为5克．标准差为克．则估计这批中医药的药物功效的平均值为（    ）

A．14药物单位 B．15.5药物单位

C．15药物单位 D．16药物单位

【答案】C

【分析】设6个样本中药物成份甲的含量分别为，根据平均值和标准差列出方程，再代入平均数的计算公式，即可求解.

【详解】设6个样本中药物成份甲的含量分别为，

因为成分甲的含量的平均值为5克，所以，

标准差为克，所以，可得，

又由，所以，

所以这批中医药的药物功效的平均值为.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了统计知识的应用，其中解答中熟记平均数和方差、标准差的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

6．设双曲线的右焦点为，过作垂直于轴的直线交于，两点，若以线段为直径的圆与的渐近线相切，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据题意，直线AB的方程为，代入，求得交点坐标，得到以线段为直径的圆的圆心和半径，再根据双曲线的渐近线与圆相切求解.

【详解】根据题意，直线AB的方程为，代入，得，

所以以线段为直径的圆的圆心为，半径为，

双曲线的渐近线方程为，

因为渐近线与圆相切，所以，化简得，

所以，

故选：C

【点睛】本题主要考查双曲线的方程，渐近线和离心率，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

7．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列命题：

①若，则；

②若，则；

③若，则.

其中真命题的个数是

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】A

【详解】①中，由条件可得或相交，故①不正确；

②中，由条件可得或，故②不正确；

③中，由条件可得或，故③不正确．

综上真命题的个数是0．选A．

8．在中，，，，一只小蚂蚁从的内切圆的圆心处开始随机爬行，当蚂蚁（在三角形内部）与各边距离不低于1个单位时其行动是安全的，则这只小蚂蚁在内任意行动时安全的概率是（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据给定条件，求出小蚂蚁在内安全的几何图形的面积，再利用几何概型计算作答.

【详解】的内切圆O与边分别切于点，连接，如图，

因，即有，圆O半径，

即，分别取的中点，连，

则，点O到三边的距离分别

等于，，，均为1，显然，

依题意，小蚂蚁在内（不含边界）爬行是安全的，其概率为.

故选：A

9．已知函数（，）的部分如图所示，将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，则函数的解析式为

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先根据图像确定A，T,,,再根据平移得函数的解析式

【详解】由图得,

因为时，所以，

因此，选D.

【点睛】已知函数的图象求解析式

(1).

(2)由函数的周期求

(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.

10．已知三棱锥的顶点均在球的球面上，且，，若是点在平面内的正投影，且，则球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意可知，且为的中点，可求出高，并且球心在上，根据勾股定理可得半径，求出其表面积．

【详解】因为，平面，

、、平面，，，，

，，

即是的外心，即是斜边的中点，则球心在上，

由勾股定理可得，得，

设球的半径为，则，所以．

所以球的表面积为，

故选：C．

【点睛】本题考查四面体的外接球，以及外接球的表面积，解答的关键在于找出球心的位置，考查推理能力与计算能力，属于中档题．

11．已知函数与函数关于对称，若，则（    ）

A． B．1 C．2 D．4

【答案】C

【解析】首先根据函数与函数关于对称，设，则有，根据图象的对称性得到在函数的图象上，代入联立化简求解即可.

【详解】因为函数与函数关于对称，

设，则，

则在函数的图象上，

代入得：，

②①得，

所以，所以，又因为，解得，

将代入①式，得到，得到，

故选：C.

【点睛】方法点睛：该题考查的是有关函数的问题，解题方法如下：

（1）设出函数值，找到图象上的点；

（2）根据对称性，得到点关于直线的对称点在另一函数图象上；

（3）根据点在曲线上的条件是点的坐标满足曲线方程；

（4）联立方程组求得结果.

12．已知函数在上存在导函数，对于任意的实数都有，当时，，若，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据当时，，构造 ，得到，从而在上是增函数，再根据，得到是偶函数，得到在上是减函数，，然后将，转化为，利用单调性的定义求解.

【详解】设 ，

因为当时，，

所以，

所以在上是增函数，

又因为，

所以，

所以是偶函数，

所以在上是减函数，

所以，

因为，

所以，

即，

所以，

两边化简得，

解得.

所以实数的取值范围是.

故选：A

【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性以及单调性的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

二、填空题

13．《掷铁饼者》取材于希腊现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼的过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为，掷铁饼者双手之间的距离约为，“弓”所在圆的半径约为，则掷铁饼者的肩宽约为___________.(精确到)

【答案】

【分析】由求出圆弧所对圆心角的大小，再由弧长公式即可求得.

【详解】如图，，，△AOB中，过O作OM⊥AB于M，

则M是弦AB中点，，，，

则，“弓”所在的弧长，

所以其肩宽为.

故答案为：

14．已知，，则的最小值是______.

【答案】

【分析】设，根据条件得出点满足的条件，然后由向量的模长公式求的最小值.

【详解】设，

则

由，则

即点在以为焦点，长轴为的椭圆上

所以满足

则，且

故当时，有最小值

故答案为：

15．已知函数满足：①定义域为；②对任意，有；③当时，.则___________.

【答案】

【分析】根据可将转化为，即可解出．

【详解】∵，

∴f(2022)＝f(2020＋2)＝2f(2020)＝2f(2018＋2)＝22f(2018)＝…，即有．

故答案为：.

16．在中，角、、所对的边分别为、、，若为锐角三角形，且满足，则的取值范围是________.

【答案】

【分析】先根据余弦定理得到，再根据正弦定理和两角和差的正弦公式得到，根据三角形为锐角三角形，求得，以及的取值范围，再利用商的关系、两角差的正弦公式化简所求式子，由正弦函数的性质求得所求式子的取值范围.

【详解】因为，所以，所以，

所以，即，，

即，因为三角形是锐角三角形，所以，所以，所以，且，所以.

所以=.由于，所以.

故答案为：

【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，考查同角三角函数的基本关系式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

三、解答题

17．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.

（1）求角；

（2）若，，点D在边AC上，且，求BD的长.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）首先利用正弦定理边化角公式得到，再化简得，从而得到.

（2）首先设，，则，再利用余弦定理求解即可.

【详解】（1）

∵，∴，∵，∴.

（2）设，，则

在中，.

在中：①

在中：②

①+②×2：，综上.

18．已知甲、乙两地生产同一种瓷器，现从两地的瓷器中随机抽取了一共300件统计质量指标值，得到如图的两个统计图，其中甲地瓷器的质量指标值在区间和的频数相等.

（1）求直方图中的值，并估计甲地瓷器质量指标值的平均值；（同一组中的数据用区间的中点值作代表）

（2）规定该种瓷器的质量指标值不低于125为特等品，且已知样本中甲地的特等品比乙地的特等品多10个，结合乙地瓷器质量扇形统计图完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为甲、乙两地的瓷器质量有差异？

附：，其中.

【答案】（1） ；（2）见解析

【分析】(1)根据频率直方图和各组数据的频率和为1列出方程，可求得，再运用各组数据中的区间的中点值乘以该组的频率之和可估计出甲地瓷器质量指标值的平均值；

(2)根据样本中甲地的特等品比乙地的特等品多10个，求得从甲地的瓷器中随机抽取的产品数和从乙地的瓷器中随机抽取的产品数，再根据甲地瓷器质量频率分布直方图和乙地瓷器质量扇形统计图完成的列联表，计算出，对照表格中的数据可得结论.

【详解】(1)由频率直方图得：，解得，

估计甲地瓷器质量指标值的平均值为：

；

(2)设从甲地的瓷器中随机抽取了件产品，则从乙地的瓷器中随机抽取了件产品，

∵样本中甲地的特等品比乙地的特等品多10个，∴，解得，

∴根据甲地瓷器质量频率分布直方图和乙地瓷器质量扇形统计图完成的列联表如下表所示：

∴，

∴没有95%的把握认为甲、乙两地的瓷器质量有差异.

【点睛】本题考查完善频率直方图中的数据，根据频率直方图计算出样本的平均值，根据频率直方图和扇形统计图完成列联表，运算进行独立性检验，关键在于领悟概率统计的原理，熟练记忆运算要点，属于基础题.

19．如图，在梯形中，，，平面，四边形为矩形，点为线段的中点，且，.

（1）求证：平面平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）依题意可得、，即可得到平面，即平面，再根面面垂直的判定定理即可得证；

（2）以为坐标原点，分别以直线，，为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值；

【详解】（1）证明：在梯形中，，，，

所以，，

又，所以，

所以，

所以，所以.

又平面，平面，所以，

因为，，平面，

所以平面，即平面.

又平面，则平面平面.

（2）解：由（1）知，，两两垂直，

所以以为坐标原点，分别以直线，，为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，

因为，，，

所以，所以，，，

所以，.

设为平面的一个法向量，

由，得，

解得，取，则.

因为是平面的一个法向量，

设平面与平面所成锐二面角为，

所以.

【点睛】本题考查面面垂直的证明，空间向量在立体几何中的应用，考查空间想象能力及计算能力，属于中档题.

20．已知是焦距为的椭圆的右顶点，点，直线交椭圆于点，为线段的中点.

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，若，求直线的斜率.

【答案】(1) ；(2)

【分析】(1)求出的中点代入椭圆方程化简求解,再利用椭圆中的基本量求解即可.

(2)根据可得,联立方程利用韦达定理,根据化简求得斜率即可.

【详解】(1)由题意得,焦距,故.又为线段的中点,故在椭圆上.

故.又.

故

(2)设,于是,

因为,故,故,即.

故.即,①

联立,消去整理得

由.解得.

所以,

代入①有,即.

满足.

故即直线的斜率为

【点睛】本题主要考查了根据点与直线的位置关系求解椭圆方程的方法,同时也考查了联立直线与椭圆的方程利用韦达定理求解横坐标比例的问题,属于难题.

21．已知函数（e为自然对数的底数，）.

(1)若，求证：在区间内有唯一零点；

(2)若在其定义域上单调递减，求a的取值范围.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）把代入，求出并探讨其单调性，再结合零点存在性定理判断作答.

（2）利用给定单调性建立不等式，再分类分离参数，构造函数，讨论求解作答.

【详解】（1）当时，，求导得：，令，

则，则函数在R上单调递增，即函数在R上单调递增，

而，，由函数零点存在性定理知，存在唯一，有，

所以在区间内有唯一零点.

（2）函数的定义域是R，依题意，，成立，

当时，成立，，

当时，，令，，，即函数在上单调递增，

又当时，恒成立，于是得，

当时，，令，，，当时，，当时，，

因此，在上单调递减，在上单调递增，当时，，于是得，

综上得：，

所以a的取值范围是.

【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以探讨函数的最值，借助函数最值转化解决问题.

22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，，点，以坐标原点O为极点，x轴为正半轴为极轴的建立极坐标系．

(1)求曲线C的极坐标方程；

(2)过坐标原点O任作直线l与曲线C交于E、F两点，求的值．

【答案】(1)

(2)12

【分析】（1）将曲线C的参数方程化为普通方程，再化为极坐标方程即可；

（2）由韦达定理可知，根据余弦定理可知从而求解结果．

【详解】（1）曲线的平面直角坐标系方程为，

故曲线的极坐标方程为．

（2）设直线的倾斜角为，则，

∵，由韦达定理可知．

由余弦定理可知

．

∴．

23． 已知，的最小值为.

（1）求的值；

（2）解关于的不等式.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）直接利用基本不等式求出的最小值即是的值；（2）原不等式转化为，解不等式组即可.

【详解】（1），

①

而 ②

③

当且仅当时，①式等号成立；当且仅当时，②式等号成立；则当且仅当时，③式等号成立.

即取得最小值.

（2）由（1）知，则，即，

，

解得，所以.

原不等式的解集为.