2023届陕西省安康市高三三模数学（文）试题含解析

这是一份2023届陕西省安康市高三三模数学（文）试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届陕西省安康市高三三模数学（文）试题 一、单选题1．已知集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据集合的特征，将集合中的两个函数联立，解之即可求解.【详解】因为集合，联立方程组，解得或，所以，故选：.2．若复数满足为纯虚数，则（  ）A． B． C． D．2【答案】A【分析】将代入化简，然后根据其为纯虚数，可求出结果.【详解】为纯虚数，∴，∴.故选：A3．已知等差数列的前项和为，，则（ ）A．6 B．12 C．18 D．24【答案】B【分析】根据等差数列的性质，求得，结合等差数列的求和公式，即可求解.【详解】由等差数列的性质，可得，所以.故选：B.4．已知向量，若与共线，则（    ）A． B． C． D．5【答案】A【分析】现根据平面向量共线的坐标公式求出，再根据向量的模的坐标公式即可得解.【详解】由题意可得，∵与共线，∴，解得，∴．故选：A.5．党的二十大报告提出全面推进乡村振兴.为振兴乡村经济，某市一知名电商平台决定为乡村的特色产品开设直播带货专场.该特色产品的热卖黄金时段为2023年3月1至5月31日，为了解直播的效果和关注度，该电商平台统计了已直播的2023年3月1日至3月5日时段的相关数据，这5天的第天到该电商平台专营店购物人数（单位：万人）的数据如下表：日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日第x天12345人数y（单位：万人）75849398100依据表中的统计数据，经计算得与的线性回归方程为.请预测从2023年3月1日起的第58天到该专营店购物的人数（单位：万人）为（   ）A．440 B．441 C．442 D．443【答案】C【分析】由表格数据得出中心点代入计算出回归方程，然后预测即可.【详解】由题意，，，将代入，可得，解得，线性回归直线方程为，将代入上式，.故选：C6．若双曲线的渐近线与圆相切，则k=（    ）A．2 B． C．1 D．【答案】B【分析】根据点到直线的距离公式即可求解.【详解】双曲线的渐近线方程为，即,∵双曲线的渐近线与圆相切，且圆心为，∴，解得．故选：B7．在中，“”是“”的（    ）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】根据充分条件与必要条件概念，以及正弦定理与三角形的性质，即可判定出结果.【详解】在中，若，，则，，满足；三角形中大边对大角，此时，所以，根据正弦定理得到，所以由“”不能推出“”；若，根据正弦定理，得到，根据三角形中大边对大角得，若为钝角，则，不能推出；综上，“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的概念，涉及正弦定理，属于基础题型.8．已知方程的四个根组成以1为首项的等比数列，则（   ）A．8 B．12 C．16 D．20【答案】C【分析】设方程的四个根由小到大依次为，，，，不妨设的一根为1，则另一根为27，求得，再由等比数列的性质得到，，求得公比，进而求得，，进而得到，即可求解.【详解】设方程的四个根由小到大依次为，，，，不妨设的一根为1，则另一根为27，所以，由等比数列的性质可知，所以，，所以等比数列，，，的公比为，所以，，由韦达定理得，可得.故选：C.9．羽毛球运动是一项全民喜爱的体育运动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端所围成圆的直径是，底部所围成圆的直径是，据此可估算得球托之外羽毛所在曲面的展开图的圆心角为（   ）A． B． C． D．【答案】C【分析】将圆台补成圆锥，则羽毛所在曲面为大圆锥的侧面截去一个小圆锥的侧面所得，求出小圆锥的母线长后可得展开图圆心角．【详解】将圆台补成圆锥，则羽毛所在曲面为大圆锥的侧面截去一个小圆锥的侧面所得，设小圆锥母线长为，则大圆锥母线长为，由相似得，即，∴可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展开图的圆心角为.故选：C．10．设是定义域为的偶函数，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用条件和偶函数的性质，得出函数的周期为2，再根据条件即可求出结果.【详解】因为是定义域为的偶函数，所所以的周期为2，所以．故选：B.11．已知椭圆的左，右焦点分别为，，为椭圆上一点，，点到直线的距离为，则椭圆的离心率为（   ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设于，则由已知条件可求出，，再利用椭圆的定义可求出，然后在中利用勾股定理列方程可求出离心率.【详解】如图，设于，则由题意得，，∴，，由椭圆定义可得，∴，在中，由勾股定理得，可得.故选：A12．若，则（   ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据等式解出a、b、c的值，利用作差法，再通过构造函数，通过函数单调性判断作差后的两式大小，最后作出比较.【详解】由可得：，，，比较a和b，构造函数，当，，在上单调递增，故，即.同理比较b和c，构造函数，当，，∴在上单调递增，∴，即.综上，.故选：A【点睛】方法点睛：比较数值大小方法.①估值法：找出式子的取值区间，以此判断各个式子的大小关系；②作差法与构造函数法：当无法进行估值判断式子大小时，可两两个式子相减，将相减式子构造成函数，通过函数导数判断其单调性，根据单调性判断差值大小，以此判断式子大小. 二、填空题13．已知满足约束条件,则的最大值是______.【答案】1【分析】作出可行域,将平移到可行域的边界即可求得目标函数的最大值.【详解】如图,可行域为图中阴影部分,当目标函数平移至点时,取得最大值1.故答案为:1.14．已知函数，则___________．【答案】/【分析】求得，结合的解析式可求得的值.【详解】因为，且，则.故答案为：.15．已知函数的图象关于点对称，且在区间单调，则的一个取值是______.【答案】或或或（写出其中一个即可）.【分析】由的图象关于对称，求得，再结合三角函数的性质，求得的范围，即可求解.【详解】因为函数的图象关于对称，可得，解得，所以， 又因为在区间上单调，可得，结合余弦函数的性质，可得，解得，所以或或或.故答案为：或或或（写出其中一个即可）.16．已知矩形ABCD的周长为36，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为___________．【答案】52π【分析】先分析正六棱柱的体积最大时底面边长和高的值，再求解其外接球的半径进而求得外接球的表面积.【详解】设正六棱柱的底面边长为x，高为y，则，正六棱柱的体积，当且仅当，即时，等号成立，此时正六棱柱的外接球的球心在其上下底面中心的连线的中点，其半径为，∴外接球的表面积为．故答案为：． 三、解答题17．新高考取消文理分科，采用选科模式，这赋予了学生充分的自由选择权．新高考地区某校为了解本校高一年级将来高考选考历史的情况，随机选取了100名高一学生，将他们某次历史测试成绩（满分100分）按照，，，，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图．(1)求图中a的值并估计这100名学生本次历史测试成绩的中位数．(2)据调查，本次历史测试成绩不低于60分的学生，高考将选考历史科目；成绩低于60分的学生，高考将不选考历史科目．按分层抽样的方法从测试成绩在，的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人高考选考历史科目的概率．【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据和频率总和为1计算出a的值；频率分布直方图中中位数左右两边的直方图面积相等都为0.5，由此列式即可计算出中位数；（2）根据频率分布直方图计算出成绩在，的学生频数，根据分层抽样规则计算出对应区间人数，最后列式计算或用列举法即可得出答案.【详解】（1），解得设中位数为x，因为学生成绩在的频率为，在的频率为所以中位数满足等式，解得故这100名学生本次历史测试成绩的中位数为.（2）成绩在的频数为成绩在的频数为按分层抽样的方法选取5人，则成绩在的学生被抽取人，在的学生被抽取人从这5人中任意选取2人，都不选考历史科目的概率为，故这2人中至少有1人高考选考历史科目的概率为.18．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.(1)求；(2)若，，求的面积.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用诱导公式或者直接展开计算，再根据倍角公式化简即可；（2）利用正弦定理进行角化边，再根据余弦定理求出c边，最后利用正弦定理的三角形面积公式计算即可.【详解】（1），（或，∴，∵，∴，∴或，解得或，∵，∴，∴.（2）由（1）知，，由正弦定理得，由余弦定理得，即，整理得，由得，∴.19．如图，四棱锥中，平面，四边形是正方形，，，分别是棱，，的中点．(1)证明：平面；(2)若，求点到平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）连接DE，推导四边形BEDF是平行四边形，从而得到，再得到，从而平面BFG，平面BFG，进而得到平面平面BFG，因此得证平面；（2）由平面，，可得平面ABCD，作，垂足为M，则，进而得到平面BFG，即的长是点C到平面BFG的距离，再利用等面积法求解即可.【详解】（1）连接DE，∵ABCD是正方形，E，F分别是棱BC，AD的中点，∴，，∴四边形BEDF是平行四边形，∴，∵G是PA的中点，∴，∵PD，DE平面BFG，FG，BF平面BFG，∴平面BFG，平面BFG，∵，直线PD，DE在平面PDE内，∴平面平面BFG，∵PE平面PDE，∴平面BFG．（2）∵平面，，∴平面ABCD，过C在平面ABCD内，作，垂足为M，则，∵，又直线FG，BF在平面BFG内，∴平面BFG，∴的长是点C到平面BFG的距离，∵中，，∴由等面积可得，∴点C到平面BFG的距离为.20．已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若，求的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2) 【分析】（1）求函数的导数，分或两种情况讨论；（2）由，令，，分，或三种情况讨论.【详解】（1）对函数求导可得，当时，，此时函数在上单调递增；当时，令得，令得，此时函数在单调递减，单调递增．（2）当时，显然成立．当时，函数在上单调递增，若，由可得，∴，与矛盾；当时，函数在单调递减，单调递增，∴，∵，∴，即，令，则，令得，∴在单调递减，单调递增，∴，∴，综上，a的取值范围是．【点睛】导数恒成立问题方法点睛：1.含参不等式恒成立问题首选的方法是通过分离变量，转化为求函数的最值问题.2.不能参变分离时，通过构造函数，分类进行讨论，求导得到函数的单调性，求此函数的最值.21．已知 为抛物线上一点．(1)求抛物线的准线方程；(2)过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，且直线与的倾斜角互补，求的值．【答案】(1)(2)2 【分析】（1）由点在抛物线上求出，计算得抛物线的准线方程；（2）先设直线再联立方程组求出两根和和两根积，再应用两点间距离公式计算可得.【详解】（1）由点在抛物线上得，即∴抛物线的准线方程为.（2）设直线AB的方程为，, 由直线与的倾斜角互补得，即∴联立得 ∴，∴，即，∴∴．22．在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；(2)若射线（其中，且，）与曲线在轴上方交于点，与直线交于点，求.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）采用代入消参方法可得直线的普通方程，结合可将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）方法一：分别联立射线与曲线C及直线l的极坐标方程，得到，即可求得.方法二：分别联立射线与曲线C及直线l的直角坐标方程，得到M和N的点坐标，即可求得【详解】（1）由，得，即.故直线的普通方程是.由得，代入公式，得，∴，故曲线的直角坐标方程是.（2）方法一：由（其中，且，），得，.将射线代入曲线的极坐标方程，可得，∴.直线的极坐标方程为，将代入直线的极坐标方程可得，∴，∴.方法二：由题可得射线（其中，且，）的直角坐标方程为.联立，解得，则点.联立解得，则点.∴.23．已知函数.(1)求不等式的解集；(2)若，，求的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）就的不同的取值范围分类讨论后可求不等式的解；（2）求出的最小值后利用公式可求参数的取值范围.【详解】（1）①当时，，解得；②当时，，解得；③当时，，无解，∴不等式的解集为.（2）∵，，∴，由（1）知在递减，递增，递增，∴，∴，∴，解得.