2023届河南省部分学校高三高考仿真适应性测试数学（理）试题含解析

2023届河南省部分学校高三高考仿真适应性测试数学（理）试题

一、单选题

1．已知全集，集合，，则集合中的子集个数为（    ）

A．1 B．2 C．16 D．无数个

【答案】B

【分析】首先求集合，再求集合的运算.

【详解】先求，，所以，则，

所以子集的个数为.

故选：B

2．已知复数，其中为虚数单位，且，则复数的模的最大值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】首先化简复数，再结合复数模的几何意义，利用数形结合，即可求解.

【详解】，则表示复数对应点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，则|z|表示圆上的点到原点的距离，由图可知，的最大值为3.

故选：C

3．已知是第二象限角，则点所在的象限是（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】根据三角函数确定横坐标和纵坐标的正负，即可求解.

【详解】因为是第二象限角，所以，，

进而硧定，.

所以点在第四象限.

故选：D

4．关于椭圆C：，有下面四个命题：

甲：长轴长为4；

乙：短轴长为2；

丙：离心率为；

丁：．

如果只有一个假命题，则该命题是（    ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【答案】D

【分析】先假设某两个正确，则另两个必有一个正确一个错误，从而判断出答案．

【详解】假设甲乙正确，则，，所以，所以，，

可得到甲、乙、丙三个命题中，已知某两个正确，均可推出第三个正确，

故丁是假命题.

故选：D

5．执行如图所示的程序框图，输出的结果是S，若，则m的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用循环语句研究数列的前99项和，利用裂项相消求和得到，得到．

【详解】由程序框图可知，本题要求的是

，

即．

故选：C

6．数学与生活密不可分，在一次数学讨论课上，老师安排5名同学讲述圆、椭圆、双曲线、抛物线在实际生活中的应用，要求每位学生只讲述一种曲线，每种曲线至少有1名学生讲述，则可能的安排方案的种数为（    ）

A．240 B．480 C．360 D．720

【答案】A

【分析】先分组再分配，平均分组注意消序，最后根据分步乘法计数原理，即可得到可能的安排方案的种数.

【详解】解：有四种曲线，要求每位学生只讲述一种曲线，

则5名同学分成2，1，1，1四组，共有种情况，

再将四组学生分配给四种曲线，一共有种情况，

则可能的安排方案的种数为种，

故选：A.

7．在正方体中，下列说法不正确的是（    ）

A．直线与直线垂直

B．直线与平面垂直

C．三棱锥的体积是正方体的体积的三分之一

D．直线与直线垂直

【答案】D

【分析】AB选项，根据线线垂直得到线面垂直，进而得到AB正确；C选项，设出棱长，利用正方体体积减去四个三棱锥体积求出三棱锥的体积；D选项，求出异面直线的夹角为，D错误.

【详解】AB选项，因为在正方体中，，，且，平面，

所以平面，

又平面，

所以，

同理可得，，，

因为，平面，

所以平面，所以A，B正确；

D选项，由正方体中的基本关系得到，而三角形是等边三角形，

故与所成角为，故直线与直线所成角为，所以D错误；

C选项，设棱长为1，则四棱锥的体积等于正方体体积减去4个三棱锥的体积，

即，所以三棱锥的体积是正方体的体积的三分之一，C正确．

故选：D

8．已知向量，，且，则实数的值为（    ）

A．8 B． C．4 D．

【答案】A

【分析】利用向量垂直的坐标表示，结合数量积公式，即可求解.

【详解】因为，

，.

所以.

所以.

故选：A

9．点是棱长为2的正方体外接球球面上的任意一点，则四棱锥的体积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先求出正方体外接球的半径，再得出四棱锥高的最大值，代入四棱锥的体积公式即可求得体积最大值．

【详解】由正方体棱长与其外接球半径的关系知：，即，

则四棱锥的高的最大值为，

所以四棱锥的体积的最大值为，

故选：B．

10．已知数列满足，，若，则（    ）

A．10 B．15 C．20 D．25

【答案】A

【分析】首先赋值，判断数列是等差数列，并求通项公式，利用等差数列的前项和公式，即可求解.

【详解】因为，令，所以，故数列

是首项和公差均为2的等差数列，所以，

所以，解得k=10.

故选：A

11．已知函数的最小正周期为T，若，且的图象关于对称，则（    ）

A． B．1 C．3 D．

【答案】C

【分析】先根据周期T的范围确定ω的范围，再利用对称性确定ω的值，进而求出的值即可．

【详解】因为，所以，即，

又因为的图象关于对称，所以，，，

所以，，

又因为，所以当时，满足要求，其他均不合要求，

所以．

故选：C

12．已知，且，则实数t的最小值为（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】C

【分析】先将化成，再利用函数在R上单调递增得到，进而转化为求的最小值即可．

【详解】解：因为可化成，

又因为函数在R上单调递增，

所以，

所以，

所以，

令，解得，

所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；

所以当时，．

故选：C.

二、填空题

13．直线与抛物线交于A，B两点，则=______．

【答案】16

【分析】联立直线与抛物线方程，利用两点距离公式计算即可.

【详解】联立方程解得或，不妨令，则，即．

故答案为：16

14．已知圆经过抛物线与轴的交点，且过点，则圆的方程为______.

【答案】

【分析】首先设圆的一般方程，结合条件，利用待定系数法，即可求解.

【详解】设圆的方程为，令，，

则由圆经过抛物线与轴的交点可知方程与同解，

所以，，所以圆的方程为，

又因为圆过点，所以，所以，

所以圆的方程为.

故答案为：

15．若二项式的常数项为－80，则______.

【答案】5

【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令x的指数为零，求出r，从而利用常数项建立方程求解.

【详解】二项式的通项为，

由题意，且r，n为整数，解得，

故答案为：5

三、双空题

16．已知函数，若函数，则函数的图像的对称中心为______；若数列为等差数列，，则______．

【答案】          8088

【分析】对于空①，可通过构造函数，由函数奇偶性的判断方法可知为奇函数，再通过函数图像平移变换，可得到关于点中心对称；对于空②，利用等差数的性质和函数的对称性可得到，从而求出结果.

【详解】令，因为，

所以为奇函数，图像关于原点中心对称，又，所以的图像可由的图像先向右平移3个单位，再向上平移4个单位得到，所以关于点中心对称；

因为，由等差数列前项和公式得，，得到，

所以由等差数数列的性质可得到，

故点与点关于点对称，由函数的对称性知，，

又，

所以．

故答案为：    8088

四、解答题

17．在中，是边BC上的点，AD平分，的面积是的面积的两倍.

(1)如图1，若，且，求的面积；

(2)如图2，若点在边AB上，且，，求的值.

【答案】(1)

(2)1

【分析】（1）由条件，结合三角形面积公式，得，并结合三角形面积的关系，列式求，即可求的面积；

（2）首先根据边的关系，结合勾股定理，判断为直角，在和中，根据正弦定理，求，即可求解.

【详解】（1）因为的面积是的面积的两倍，，且，平分.

所以，所以，

又因为，

所以，所以，

所以的面积为；

（2）由（1）知.设，则，

又因为，

，

所以是以为直角的直角三角形，

在中，由正弦定理可得

在中，由正弦定理可得

，

因为，所以，

又因为，均为锐角，

所以，所以的值为1.

18．在四棱锥Q－ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD=2，，QC=3.

(1)证明：平面QAD⊥平面ABCD；

(2)若点P为四棱锥Q－ABCD的侧面QCD内（包含边界）的一点，且四棱锥P－ABCD的体积为，求BP与平面ABCD所成角的正弦值的最小值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取的中点为，连接，，通过等腰三角形三线合一结合勾股定理可证，，再利用面面垂直的判定方法可得平面平面.

（2）建立合适的空间直角坐标系，首先得到点的轨迹是的中位线，点的轨迹是的中位线，从而得到线面角的正弦表达式，利用函数单调性即可求出其最值.

【详解】（1）取的中点为，连接，.

因为，，则，

而，，故.

在正方形中，因为，故，故，

因为，故，故为直角三角形且，

因为，且平面，

故平面，

因为平面，故平面平面.

（2）在平面内，过作，交于，因为，则.

结合（1）中的平面，且平面，

则，故直线两两互相垂直，

故以为坐标原点，所在直线分别为轴建如图所示的空间直角坐标系.

则，，，，

故，，.

因为，所以，

又因为点为四棱锥的侧面内的一点（包含边界），

所以点的轨迹是的中位线，

设，则，，

设与平面所成角为，

则，，

当时，取得最小值，

所以与平面所成角的正弦值的最小值为.

19．为了探讨学生的物理成绩y与数学成绩x之间的关系，从某校高三学生中抽取10名学生，他们的成绩（xi，yi）（i=1，2，…，10）如下表：

(1)请用相关数据说明该组数据中y与x间的关系是否可用线性回归模型拟合；

(2)求物理成绩y关于数学成绩x的线性回归方程；（结果保留三位小数）

(3)从统计的10名学生中随机抽取2名，求至少有一名学生物理成绩不少于60分的概率.

附：参考数据与参考公式

相关系数，，.

【答案】(1)可用线性回归模型拟合

(2)

(3)

【分析】（1）由已知数据计算出相关系数后可得；

（2）根据公式求出，即得；

（3）利用组合知识求得从10人任取2人的基本事件的个数、至少有一名同学物理成绩不少于60分的基本事件个数后可计算出概率．

【详解】（1）因为，而0.9964非常接近于1，所以可用线性回归模型拟合.

（2）因为，，

所以物理成绩关于数学成绩的线性回归方程为.

（3）记“从统计的10名同学中随机抽取2名，至少有一名同学物理成绩不少于60分的为事件A”，则一次试验中所含有的基本事件的个数，

事件A中所含有的基本事件的个数.

所以从统计的10名同学中随机抽取2名，至少有一名同学物理成绩不少于60分的概率为.

20．已知双曲线的离心率为，且双曲线C过点，直线l交双曲线C于P，Q两点（异于点A），直线AP，AQ的倾斜角互补．

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)求证：直线l与直线平行．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由离心率设出双曲线方程，结合双曲线上的点的坐标，求出答案；

（2）设出直线的方程，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，由两直线倾斜角互补得到斜率之和为0，列出方程，求出，并证明出结论.

【详解】（1）因为双曲线C：的离心率为，

所以双曲线的方程可表示为，又因为双曲线C过点，

所以，所以，，

所以双曲线的标准方程为；

（2）根据题意可知直线l的斜率一定存在，故可设直线l的方程为，将代入得，，

所以，，

又因为直线AP，AQ的倾斜角互补，

设P点坐标为，Q点坐标为 ，

所以，

即，

所以，

所以，

化简得．

又因为，所以，

又因为，

所以，所以，

所以直线l：与直线平行．

【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，处理两直线倾斜角互补或相等问题时，往往会转化为斜率之和为0或斜率相等，进而列出方程，代入计算即可.

21．已知函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)讨论函数的零点个数，并证明你的结论.

【答案】(1)当时，在上单调递增，无减区间；

当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；

(2)当或时，在上有唯一零点；

当时，在上没有零点；

当，在上有两个不同的零点.

【分析】（1）对函数求导，对a进行分类讨论，根据导数和单调性的关系，即可求得函数的单调性.

（2）研究函数的单调性，通过单调性分析函数的变化趋势，从而可得到函数的零点个数.

【详解】（1）因为，所以，

当时，，所以在上单调递增，

当时，令，得，若，则，从而，

若，则，从而，从而函数在上单调递增，在上单调递减，即的单调递增区间是，单调递减区间是；

（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，，，又因为在上是连续不间断的，

所以在上有唯一零点，所以当时，在上有唯一零点，

当时，在上有唯一零点，

当时，函数在上单调递增，在上单调递减，所以，所以在上没有零点，

当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，

所以，所以在上有唯一零点，

当时，.

又因为当时，在上恒成立，即在上恒成立，

所以在上恒成立，所以，

又因为，

所以，

又因为在和上均是连续不间断的，

所以在和上各有唯一零点，

所以当，在上有两个不同的零点.

综上所述，当或时，在上有唯一零点；

当时，在上没有零点；

当，在上有两个不同的零点.

【点睛】关键点点睛：导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要学生对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方.

22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线的参数方程为（t为参数），抛物线C的极坐标方程为．

(1)求直线l和抛物线C的直角坐标方程；

(2)求直线l被抛物线C截得的弦长.

【答案】(1)，；

(2)．

【分析】（1）根据消参法将参数方程转化为普通方程，根据极坐标方程与直角坐标方程的联系将极坐标方程转化为直角坐标方程；

（2）利用直线参数方程即几何意义求弦长.

【详解】（1）因为，

所以直线l的直角坐标方程为，

因为抛物线C的极坐标方程为，

即，

所以抛物线C的直角坐标方程为；

（2）将直线的参数方程代入抛物线的方程得，即，

所以，所以截得的弦长为．

23．已知a，b，c是正实数，且．求证：

(1)；

(2)．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）利用三个正数的算术平均数不小于其几何平均数；

（2）利用柯西不等式．

【详解】（1）因为a，b，c是正实数，所以，所以 （当且仅当时等式成立），即；

（2）因为，当且仅当等号成立

所以，即．