2023河南省部分学校高三高考仿真适应性测试理科数学试题含答案

理科数学

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集，集合，，则集合中的子集个数为（    ）

A．1 B．2 C．16 D．无数个

2．已知复数，其中为虚数单位，且，则复数的模的最大值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

3．已知是第二象限角，则点所在的象限是（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

4．关于椭圆，有下面四个命题：

甲：长轴长为4；  乙：短轴长为2；    丙：离心率为；   丁：

如果只有一个假命题，则该命题是（    ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

5．执行如图所示的程序框图，输出的结果是S，若m=lg（1－S），则m的值为（    ）

A． B． C．－2 D．

6．数学与生活密不可分，在一次数学讨论课上，老师安排5名同学讲述圆、椭圆、双曲线、抛物线在实际生活中的应用，要求每位学生只讲述一种曲线，每种曲线至少有1名学生讲述，则可能的安排方案的种数为（    ）

A．240 B．480 C．360 D．720

7．在正方体中，下列说法不正确的是（    ）

A．直线与直线垂直

B．直线与平面垂直

C．三棱锥的体积是正方体的体积的三分之一

D．直线与直线垂直

8．已知向量，，且，则实数的值为（    ）

A．8 B．－8 C．4 D．－4

9．点是棱长为2的正方体外接球球面上的任意一点，则四棱锥的体积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

10．已知数列满足，，若，则（    ）

A．10 B．15 C．20 D．25

11．已知函数的最小正周期为，若，且的图象关于对称，则（    ）

A．－1 B．1 C．3 D．

12．已知，且，则实数的最小值为（    ）

A．1 B． C．2 D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．直线与抛物线交于A，B两点，则______．

14．已知圆经过抛物线与轴的交点，且过点，则圆的方程为______．

15．若二项式的常数项为－80，则______．

16．已知函数，若函数，则函数的图象的对称中心为______；若数列为等差数列，，则______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选做题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（本小题满分12分）在中，是边BC上的点，AD平分，的面积是的面积的两倍．

（1）如图1，若，且，求的面积；

（2）如图2，若点在边AB上，且，，求的值．

18．（本小题满分12分）在四棱锥Q－ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD=2，，QC=3．

（1）证明：平面QAD⊥平面ABCD；

（2）若点P为四棱锥Q－ABCD的侧面QCD内（包含边界）的一点，且四棱锥P－ABCD的体积为，求BP与平面ABCD所成角的正弦值的最小值．

19．（本小题满分12分）为了探讨学生的物理成绩y与数学成绩x之间的关系，从某校高三学生中抽取10名学生，他们的成绩（xi，yi）（i=1，2，…，10）如下表：

（1）请用相关数据说明该组数据中y与x间的关系是否可用线性回归模型拟合；

（2）求物理成绩y关于数学成绩x的线性回归方程；（结果保留三位小数）

（3）从统计的10名学生中随机抽取2名，求至少有一名学生物理成绩不少于60分的概率．

附：参考数据与参考公式

相关系数，，．

20．（本小题满分12分）已知双曲线的离心率为，且双曲线C过点，直线交双曲线C于P，Q两点（异于点A），直线AP，AQ的倾斜角互补．

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）求证：直线1与直线平行

21．（本小题满分12分）已知函数f（x）=lnx－ax．

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）讨论函数f（x）的零点个数，并证明你的结论．

（二）选做题：共10分

请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．（本小题满分10分）［选修4－4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系xOy中，已知直线的参数方程为（t为参数），抛物线C的极坐标方程为．

（1）求直线l和抛物线C的直角坐标方程；

（2）求直线l被抛物线C截得的弦长．

23．（本小题满分10分）［选修4－5：不等式选讲]

已知a，b，c是正实数，且a+b+c=3．求证：

（1）；

（2）．

答案

1．B先求M={1，2），，所以，则

，所以子集的个数为2．

【易错提醒】注意补集的概念，不能错误的选成C．

【解题提示】此题要注意运算技巧，另外要注意复数的几何意义。

2．C　，则表示的是以为圆心，1为半径的圆，则|z|的最大值为3．

【易错提醒】不注意运算技巧，直接分子分母同时乘以3再求可能容易算错．

3．【解题提示】先确定，，进而硧定，．

D　　因为0<sinα<1，－1<cosα<0，所以cos（sinα）>0，sin（cosα）<0，（cos（sinα），sin（cosα））在第四象限．

4．【解题提示】先假设某两个正确，则另两个必有一个正确一个错误；否则这两个不可能都正确．

D假设甲、乙都正确，则a=2，b=1，所以，所以，，则丙正确，丁错误．

5．【解题提示】利用循环语句研究数列的前99项和，注意裂项相消求和法的应用．

C由程序框图可知，本题要求的是先求的值，即求，然后再求，故．

6．A先选出2人讲同一种曲线，再全排列，．

【易错提醒】必须注意，先选后掉．

7．D设正方体的棱长为1，以为原点，以CB，CD，CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图肵示的空间直角坐标系．

则，，，

，，．

所以，，，

所以，，

即，，

又，所以平面，故A，B正确．

．所以与不垂直，所以D错误，．

所以，故C正解．

8．【解题提示】此题不需要知道15°和75度的三角函数值，只需知道a，b两个向量的模及a，b两个向量垂直即可．

A因为，，．

所以．

所以，

9．【解题提示】关键是求出四棱锥P－ABCD的高的最的最大值．

B由正方体与外接球的关系知，即．则四棱锥的亰的最大值为，所以四棱锥P－ABCD的体积的最大值为．

10．【解题提示】由可得，进而可以发现数列是首项和公差均为2的等差数列．

A因为所以，故数列

是首项和公差均为2的等差数列，所以，

所以，解得k=10．

11．【解题提示】先根据周期T的范围确定的范围，再利用对称性确定的值，进而求出的值即可．

C因为，所以，即，

又因为的图象关于对称，所以，

，，所以，，

又因为，所以，所以．

12．【解题提示】先将化成，

再利用函数在R上单调递增得到x=lny，进而转化为求t=y－lny+1的最小值即可，

C 因为可化成．又因为函数在R上单调递增，

所以x=lny，由t=y－lny+1的最小值是在y=1时取得可知，．

13．【解题提示】联立方程，求出交点坐标，然后代入公式直接求解．

【解析】由得，，

所以A，B两点的坐标为，），所以

．

答案：16

14．【解题提示】用圆的一般式方程，再结合两个一元二次方程同解即可．

【解析】设圆的方程为，令，，则由圆经过抛物线与轴的交点可知方程与同解，所以，，所以圆的方程为，又因为圆过点，所以，所以，所以圆的方程为．

答案：

【易错提醒】直接求出与轴的两个交点，再用一般式方程或标准方程求解都比较复杂，容易算错．

15．【解析】由题意可知的通项为，

，且r，n为整数，可得

答案：5

16．【解析】因为为奇函数，所以的图象关于成中心对称，由数列为等差数列可知，故与关于点对称，故．

答案：　　　8088

【易错提醒】注意由函数为奇函数找出函数的对称中心．

17．【解题提示】运用面积关系及正弦定理．

【解析】（1）因为的面积是的面积的两倍，，且，平分．

所以，所以，

又因为，

所以，所以，

所以的面积为；

（2）由（1）知．设，则，

又因为，

，

所以是以为直角的直角三角形，

在中，由正弦定理可得

在中，由正弦定理可得

，

因为，所以，

又因为，均为锐角，

所以，所以的值为1．

18．【解题提示】取中点为，可以先证明平面（或平面），

第（2）问可以利用第一问的证明建系落实．

【解析】（1）取的中点为，连接，．

因为，．则，而，，故．

在正方形中，因为，故，故，

因为，故，故为直角三角形且，

因为，故平面，

因为平面，故平面平面．

（2）在平面内，过作，交于，则．

结合（1）中的平面，故可建如图所示的空间直角坐标系．

则D（0，1，0），Q（0，0，2），B（2，－1，0），C（2，1，0），

故，，．

因为，所以，

又因为点为四棱锥的侧面内的一点（包含边界），

所以点的轨迹是的中位线，

设，则，，

设与平面所成角为，则，

所以与平面所成角的正弦值的最小值为．

19．【解析】（1）因为，而0.9964非常接近于1，所以可用线性回归模型拟合．

（2）因为，，

所以物理成绩关于数学成绩的线性回归方程为．

（3）记“从统计的10名同学中随机抽取2名，至少有一名同学物理成绩不少于60分的为事件”，则一次试验中所含有的基本事件的个数，

事件中所含有的基本事件的个数．

所以从统计的10名同学中随机抽取2名，至少有一名同学物理成绩不少于60分的概率为．

20．【解题提示】已知离心率通常将a，b，c用同一字母表示，注意定点定值问题的处理方法．

【解析】（1）因为双曲线的离心率为，所以双曲线的方程可表示为，又因为双曲线过点，

所以，所以，，

所以双曲线的标准方程为；

（2）根据题意可知直线的斜率一定存在，故可设直线的方程为，将代入得，所以，，

又因为直线，的倾斜角互补，

设点坐标为，点坐标为，所以，即，

所以，

所以，

化简得．

又因为，所以，

又因为，

所以，所以，

所以直线与直线平行．

【昜错提酲】第（2）问不仅仅是求到直线的斜率就行，要注意证平行．

21．【解题提示】第（2）问当时要注意用放缩法，设法取值是关键．

【解析】（1）因为，

当时，，

所以在上单调递增，

当时，令，得，

所以的单调递增区间是，单调递减区间是；

（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，，，又因为在上是连续不间断的，所以在上有唯一零点，

所以当时，在上有唯一零点，

当时，在上有唯一零点，

当时，，所以在，上没有零点；

当时，，

所以在上有唯一零点；

当时，．

又因为当时，在上恒成立，即在上恒成立，

所以在上恒成立，所以在上恒成立，

所以，

又因为，

所以，

又因为在和上均是连续不间断的，

所以在和上各有唯一零点，

所以当，在上有两个不同的零点．

综上所述，当或时，在上有唯一零点；

当时，在上没有零点；

当，在上有两个不同的零点．

22．【解题提示】第二问用的几何意义较为简单．

【解析】（1）因为，

所以直线的直角坐标方程为，

因为抛物线的极坐标方程为，即，

所以抛物线的直角坐标方程为；

（2）将直线的参数方程代入抛物线的方程得，即，

所以，所以截得的弦长为．

注：此题也可转化为直角坐标方程，运用抛物线的定义求解．

23．【解题提示】（1）利用三个正数的算术平均数不小于其几何平均数；

（2）利用柯西不等式．

【证明】（1）因为a，b，c是正实数，所以，

所以（当且仅当时等式成立），即；

（2）因为

，

所以，

即．