2023届江西省吉安市高三下学期4月模拟测试（一模）数学（理）试题含解析

  吉安市2023年高考模拟测试卷

数学（理科）试题

（测试时间：120分钟卷面总分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后､将本试卷和答题卡一并交回.

一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集，设集合，则（    ）

A.    B.或

C.或    D.

2.已知为实数，复数为纯虚数（其中是虚数单位），则（    ）

A.    B.2    C.1    D.

3.已知函数的部分图像如图所示，则此函数的解析式可能是（    ）

A.    B.

C.    D.

4.《张丘建算经》曾有类似记载：“今有女子善织布，逐日织布同数递增（即每天增加的数量相同）.”若该女子第二天织布一尺五寸，前十五日共织布六十尺，按此速度，该女子第二十日织布（    ）

A.七尺五寸    B.八尺    C.八尺五寸    D.九尺

5.一个正四面体四个面上分别写有数字1，2，3，4，将其连续向上抛掷四次，则事件“没有连续两次落地后朝下一面上的数字为偶数”的概率为（    ）

A.    B.    C.    D.

6.在正方体中，分别为的中点，为线段上的动点，则异面直线与所成角的最大值为（    ）

A.    B.    C.    D.

7.已知函数，若函数在区间上无零点，则正数的取值范围为（    ）

A.    B.

C.    D.

8.已知直线与相交于点，线段是圆：的一条动弦，且，则的最小值为（    ）

A.    B.    C.    D.

9.椭圆的内接四边形的对角线交于点，满足，若直线的斜率为，则椭圆的离心率等于（    ）

A.    B.    C.    D.

10.已知正三棱柱的底面边长，其外接球的表面积为是的中点，点是线段上的动点，过且与垂直的截面与交于点，则三棱锥的体积最大值为（    ）

A.    B.    C.    D.

11.已知，且，则的可能取值为（    ）（参考数据：，）

A.    B.    C.    D.

12.已知数列满足，则下列说法正确的是（    ）

A.数列不可能为等差数列

B.对任意正数是递增数列

C.若，则

D.若，数列前项和为，则

二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量的夹角为，则的坐标为__________.

14.已知，则__________.

15.已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交抛物线于两点，则的取值范围是__________.

16.若，则的大小关系是__________.

三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.（本小题满分12分）

在中，内角所对的边分别为为边上一点，且满足.

（1）若，求；

（2）求的值.

18.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，，且.

（1）若平面，证明：点为棱的中点；

（2）已知二面角的大小为，当平面和平面的夹角为时，求证：.

19.（本小题满分12分）

某机构从300名员工中筛选出一批优秀员工充实科研力量，筛选方法：每位员工测试A，B，C三项工作，3项测试全部通过则被录用，若其中至少2项测试“不合格”的员工，将被淘汰，有且只有1项测试“不合格”的员工将再测试A，B两项，如果这两项全部通过则被录用，若其中有1项以上（含1项）测试“不合格”，将也被淘汰，每位员工测试A，B，C三项工作相互独立，每一项测试“不合格”的概率均为.

（1）记某位员工被淘汰的概率为，求；

（2）每位员工不需要重新测试的费用为120元，需要重新测试的总费用为200元，除测试费用外，其他费用总计为1万元，且该300名员工全部参与测试，预算为6万元，问上述方案是否会超过预算？请说明理由.

20.已知双曲线，焦点到渐近线的距离为2.

（1）求双曲线的标准方程；

（2）记双曲线的左､右顶点分别为，直线交双曲线于点（点在第一象限），记直线斜率为，直线斜率为，过原点做直线的垂线，垂足为，当为定值时，问是否存在定点，使得为定值，若存在，求此定点.若不存在，请说明理由.

21.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）若成立，求实数的取值范围；

（2）证明：有且只有一个零点，且.

（二）选考题：共10分，请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.【选修：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）

在直角坐标系中，的参数方程为（为参数），直线.

（1）求的普通方程；

（2）若为上一动点，求到距离的取值范围.

23.【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分10分）

已知均为正数，且，证明：

（1）；

（2）.

吉安市2023年高考模拟测试卷

数学（理科）试题参考答案

1.【答案】D

【解析】由不等式解得或，

由不等式解得或，

，故选D.

2.【答案】B

【解析】为纯虚数，

则，故选B.

3.【答案】C

【解析】根据图像，函数为奇函数，排除；

对于

，函数为奇函数，

设，函数单调递减，不符合，排除；

对于，函数定义域为，不符合，排除B；

选项C符合，故选C.

4.【答案】D

【解析】由题为等差数列，设为，其中，

公差，故选D.

5.【答案】C

【解析】一次抛掷朝下一面点数为偶数的概率为，

则事件的概率，

故选C.

6.【答案】C

【解析】如图所示，当点在与的交点处时，与

所成的角为，

当点在端点或时，与所成的角为，

根据对称性，与所成角最大为，故选C.

7.【答案】B

【解析】依题意可得，若，

则，无零点，

则，得到，故选B.

8.【答案】A

【解析】依题意得，半径，

设点坐标，易知直线恒过点，

直线恒过，且，

则，即，点轨迹为，

圆心为，半径为，但是去掉点，

若点为弦的中点，位置关系如图：

连接，由易知

，此时在处，可以取到，故A正确.故选A.

9.【答案】B

【解析】设点，则由

可得，

由两点在椭圆上，

有

两式相减得，

即，

同理可得，

因此，直线的方程为，

从而直线的斜率为.

故选B.

10.【答案】A

【解析】由题可得，外接球半径为，设三棱柱的侧棱长为，

则有，

即侧棱，

设的中点为，作出截面如图所示，

点在以为直径的圆上，

点到底面距离的最大值为，

由于，此时点在线段上，符合条件.

此时体积最大为.故选.

11.【答案】D

【解析】由，

，

令，

单调递增，

又，

存在，使得，

，

设，

则，

，

在上单调递减，

，

又在上递增，

故D正确.

12.【答案】D

【解析】对于，若为常数列，此时，

故数列可以是等差数列，错误；

对于，由，

若存在正数使得为递增数列，

则，

显然当时就不成立，B错误；

对于，已知，显然数列各项均为正数，

故，当且仅当时，等号成立，

又，不满足取等条件，C错误；

对于，当时，，满足题意；

当时，由选项，累乘可得，

，满足题

意，D正确.故选D.

13.【答案】或

【解析】设，则由题得：或

故的坐标为或.

14.【答案】

【解析】由，

15.【答案】

【解析】由题抛物线方程为，

设点，，

不妨取，由点三点共线，得

故原式

令，故原式

16.【答案】

【解析】设，则，

当时，，故，

若，则，从而

，考察函数

，

在上递减，，

，得，

，故.

17.【解析】（1），即

即

（2）由题意可得：，

即，

整理得：，

故

（其他方法参照给分）

18.【解析】（1）证明：

在直角三角形中，，

又为的平分线，

延长交于点，连接，

在中，是等腰三角形，

点是的中点，

直线平面，过的平面与平面的交线为，

是的中点，是的中点.

（2）证明：由（1）可得，，

为二面角的平面角，，

又为正三角形，

取的中点为，连，则平面，

如图建立空间直角坐标系，

则，，，

设分别为平面和平面的法向量，

则即取，则

即取，则

在范围内单调递减，

平面和平面所成夹角满足.

19.【解析】（1）由题意知，每位员工首轮测试被淘汰的概率为，

每位员工再次测试被淘汰的概率为，

综上可知，每位员工被淘汰的概率

.

（2）设每位员工测试的费用为元，则可能的取值为120，200，

由题意知，，

，

随机变量的数学期望为，

令，

则，

当时，；当时，；

函数在上单调递增，在上单调递诚，

即（元），

此方案的最高费用为（万元），

综上可知，若以此方案实施不会超过预算.

20.【解析】（1）由题意：，焦点到直线的距离，

解得，

故双曲线的标准方程为.

（2）由题意知，，由题可知，直线斜率不能为零，

故直线的方程可设为，

设，联立

消去得，

，

，

直线的斜率，直线的斜率，

整理得：，

后面的因式不恒为零，，

可知直线过定点，又，

点的运动轨迹是以点为圆心，

以为直径的圆，

存在定点，使得为定值1.

21.【解析】（1）由得0，

则在上单调递减，在上最大值为，

若成立，则必有，

由，得，

故实数的取值范围为.

（2）证明：，在上单调递减，且恒成立，

最小正周期，在最大值为1，

由此可知在恒为负值，没有零点.

下面看在上的零点情况.

，则，

，即在上单调递减，

，

故在上有唯一零点.

综上可知，在上有且只有一个零点.

令，

则

令，则，

即在上单调递减，，

故有.

22.【解析】（1）由可得的普通方程为

（2）直线可化简为，

将代入直线可得，

设，

则

23.【解析】（1）由柯西不等式可得：，

当且仅当时取等号，故.

（2）

，当且仅当时，等号成立，故得证