北京市一六一中学2022_2023学年八年级下学期期中数学试卷

这是一份北京市一六一中学2022_2023学年八年级下学期期中数学试卷，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

北京市一六一中学2022~2023学年八年级下学期期中数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（    ）．
A．1，1，1 B．2，3，4 C．1，， D．1，2，3
2．下列二次根式中，最简二次根式是（    ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（    ）
A． B． C． D．
4．下列y关于x的函数中，是正比例函数的为（       ）
A．y＝x2 B．y＝ C．y＝ D．y＝
5．如图，在中，，，，点D，E分别是边，的中点，那么的长为（    ）

A． B．2 C．3 D．4
6．已知为数轴原点，如图，
（1）在数轴上截取线段；
（2）过点作直线垂直于；
（3）在直线上截取线段；
（4）以为圆心，的长为半径作弧，交数轴于点.
根据以上作图过程及所作图形，有如下四个结论：①；②；③；④上述结论中，所有正确结论的序号是（   ）

A．①② B．①③ C．②③ D．②④
7．下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（    ）
A． B．
C． D．
8．在菱形中，若，周长为16，则这个菱形的两条对角线长分别为（    ）
A．2， B．4， C．4，4 D．，
9．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若，．则AB的长为（    ）

A． B．3 C． D．
10．如图，在矩形中，E是边上的一点，将沿所在直线折叠，点C落在边上，落点记为F，过点F作交于点G，连接．若，，则四边形的面积是（    ）

A． B． C．20 D．10

二、填空题
11．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______．
12．在▱ABCD中，已知∠A＋∠C＝200°，则∠B的度数为____°．
13．购买一些铅笔，单价为元/支，总价y元随铅笔支数x变化，请写出y关于x的函数解析式为______．
14．已知正比例函数（k是常数，），y的值随着x的值的增大而增大，请写出一个满足条件的正比例函数的解析式：______________
15．如图，的对角线AC与BD相交于点O，．若，则BC＝_________，BD＝_________．

16．如图，是矩形的对角线的中点，是的中点．若，，则四边形的周长为_______.

17．请写出“平行四边形的两组对边分别平行”的逆命题：_____________，此逆命题是______（“真”、“假”）命题．
18．如图为《勾股定理》章前图中的图案，它由四个全等的直角三角形拼合而成．若图中大、小正方形面积分别为和4，则直角三角形两条直角边长分别为_______．


三、解答题
19．计算：
(1)
(2)
(3)
20．如图是一块地，已知AD=4m，CD=3m，AB=13m，BC=12m，且CD⊥AD，求这块地的面积．

21．下面是小丁设计的“利用直角三角形和它的斜边中点作矩形”的尺规作图过程．
已知：如图，在Rt中，，O为的中点．
求作：四边形，使得四边形为矩形．
作法：①作射线，在线段的延长线上截取；
②连接，，则四边形为矩形．
根据小丁设计的尺规作图过程，

(1)使用直尺和圆规，在图中补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：点O为的中点，
．
又①____________，
四边形为平行四边形（②_____）．（填推理的依据）
，
为矩形（③____________）．（填推理的依据）
22．已知，，求下列代数式的值：
(1)；
(2)
23．如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．

24．函数问题：

(1)作出与的函数的图象
①自变量的取值范围是____________；
②列表并画出函数图象：

…


0
1
2
…

…





…
③当自变量的值从1增加到2时，则函数的值增加了____________．
(2)在一个变化的过程中，两个变量与之间可能是函数关系，也可能不是函数关系：
下列各式中， 是的函数的是____________．
①；    ②；    ③；    ④；
25．如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，每一个小正方形的边长都是1，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，分别按下列要求作图．

(1)在图①中，画一个格点三角形，使得；
(2)在（1）的条件下，直接写出边上的高；
(3)在图②中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．
26．已知正方形，点是直线上一点不与，重合，，交正方形外角的平分线所在的直线于点．

(1)如图，当点在线段上时，
①请补全图形，并直接写出，满足的数量关系______；
②用等式表示，，满足的数量关系，并证明．
(2)当点在直线上，用等式表示线段，，之间的数量关系直接写出即可．
27．观察下列等式：
①；
②；
③
…回答下列问题：
（1）利用你观察到的规律，化简：
（2）计算： ．
28．平面直角坐标系中，正方形的四个顶点坐标分别为：，，，，、是这个正方形外两点，且给出如下定义：记线段的中点为，平移线段得到线段其中，分别是点，的对应点，记线段的中点为若点和分别落在正方形的一组邻边上，或线段与正方形的一边重合，则称线段长度的最小值为线段到正方形的“回归距离”，称此时的点为线段到正方形的“回归点”.
(1)如图，平移线段，得到正方形内两条长度为的线段和，这两条线段的位置关系为______；若，分别为和的中点，则点______填或为线段到正方形的“回归点”；

(2)若线段的中点的坐标为，记线段到正方形的“回归距离”为，请直接写出的最小值：______，并在图中画出此时线段到正方形的“回归点”画出一种情况即可；
(3)请在图中画出所有符合题意的线段到正方形的“回归点”组成的图形.

参考答案：
1．C
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】A. ，故无法构成直角三角形，不符合题意；
B. ，故无法构成直角三角形，不符合题意；
C. ，故可以构成直角三角形，符合题意．
D.，故无法构成直角三角形，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
2．B
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可得．
【详解】A、，则不是最简二次根式，此项不符题意；
B、是最简二次根式，此项符合题意；
C、，则不是最简二次根式，此项不符题意；
D、，则不是最简二次根式，此项不符题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式，熟记定义是解题关键．
3．A
【分析】利用二次根式的除法判断A，利用分母有理化判断B，利用二次根式的加法判断C，利用二次根式的性质判断D．
【详解】解：A．，故正确，符合题意；
B．，故错误，不符合题意；
C．与不能合并，故错误，不符合题意；
D．，故错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的除法法则和二次根式的性质是解决问题的关键．
4．C
【详解】解：A.y是x的二次函数，故A选项不符合题意；
B.y是x的反比例函数，故B选项不符合题意；
C.y是x的正比例函数，故C选项正确；
D.y是x的一次函数，故D选项不符合题意；
故选C．

5．B
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】解：点，分别是边，的中点，
，
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
6．C
【分析】由勾股定理求得，进而得，再判断结论的正误．
【详解】根据题意得，，
，
故正确；
，
，
∵，
∴，
正确，错误；
，
故错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，数轴与实数的对应关系，无理数的估算，关键是由勾股定理求得．
7．C
【分析】根据平行四边形的判断方法一一判断即可解决问题．
【详解】解：A、∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误；
B、∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误；
C、根据AB=CD，AD∥BC可能得出四边形是等腰梯形，不一定推出四边形ABCD是平行四边形，错误，故本选项正确；
D、∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误；
故选：C．

【点睛】本题考查了平行四边形的判定的应用，注意：平行四边形的判定定理有：①有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形，⑤有两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
8．B
【分析】连接、，、交于点，判定是等边三角形，即可得到，再根据等边三角形的性质得到，求出，根据勾股定理即可得到的长．
【详解】解：如图所示，，连接、，、交于点，
四边形是菱形，
，，
又菱形的周长为16，
，
又，
是等边三角形，
，
，
在中，，
．
故选B．

【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质．关键是画图并找出图中的等边三角形．
9．B
【分析】根据矩形的对角线的性质可得△AOB为等边三角形，由等边三角形的性质即可求出AB的值．
【详解】∵ABCD是矩形，
∴OA=OB，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB为等边三角形，
∵BD=6，
∴AB=OB=3，
故选B．
【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解题的关键．
10．A
【分析】根据题意和勾股定理，可以求得的长，设，利用勾股定理列出方程，进而求得和的值，证明四边形是平行四边形，从而可以得到面积．
【详解】解：由折叠可知：，，，
则在矩形中，，，，
，
，
设，则，，
，
，
解得，，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形的面积是：，
故选A．
【点睛】本题考查翻折变化、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
11．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，进行求解．
【详解】解：由题意得：，
∴；
故答案为．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
12．80
【分析】由在▱ABCD中，如果∠A+∠C=200°，即可求得∠A的度数，又由平行四边形的邻角互补，求得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
∵∠A+∠C=200°，
∴∠A=100°，
∵AD∥BC，
∴∠B=180°-∠A=80°．
故答案为：80．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质．注意掌握平行四边形的对角相等、邻角互补定理的应用是解此题的关键．
13．/
【分析】根据总价单价数量，可得函数关系式．
【详解】解：由题意得：
（x是正整数），
故答案为：．
【点睛】本题考查了函数的表示，写函数的解析式是函数的表示方法之一，解题的关键是抓住题中的数量关系用自变量的代数式来表示因变量．
14．（答案不唯一）
【分析】因为在正比例函数中，的值随着值的增大而增大，所以，于是得到结论．
【详解】解：在正比例函数中，的值随着值的增大而增大，
，
函数表达式为．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．
15．
【分析】根据勾股定理直接求得的长，根据平行四边形的性质可得，在中勾股定理求解即可
故答案为：
【详解】解：∵的对角线AC与BD相交于点O，．，
∴
在中，，
在中，

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
16．20
【分析】先由，得到，然后结合矩形的性质得到，再结合点和点分别是和的中点得到和的长，最后得到四边形的周长．
【详解】解：，
，
，，
，
点和点分别是和的中点，
，，是的中位线，
，
．
故答案为：20．
【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线定理，解题的关键是熟知矩形的性质．
17． 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 真
【分析】写出原命题的逆命题，根据平行四边形的判定定理判断即可．
【详解】解：“平行四边形的两组对边分别平行”的逆命题是：“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，是真命题，
故答案为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，真．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
18．，
【分析】先利用已知正方形的面积求出大小三角形的边长，设出一条直角边，利用勾股定理列出方程进行求解．
【详解】解：大小正方形的面积分别为和4，
大小正方形的边长分别为和2，
设短直角边为，则长直角边为，由勾股定理得：
，
解得，（舍），
，
故两条直角边分别为，．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了勾股定理和一元二次方程的应用，解题关键在于找出各边关系列出方程．
19．(1)
(2)
(3)2

【分析】根据二次根式的混合运算，先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
【详解】（1）解：

；
（2）



（3）



【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
20．
【分析】连接，根据勾股定理求得的长，根据勾股定理的逆定理可得，根据，即可求解．
【详解】解：连接，
∵
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．

【点睛】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，掌握勾股定理是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）根据要求画出图形即可．
（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明．
【详解】（1）解：如图，矩形即为所求．

（2）理由：点为的中点，

又，
四边形为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
，
为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
【点睛】本题考查作图复杂作图，矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22．(1)15
(2)4

【分析】（1）利用完全平方公式可得，然后把，的值代入进行计算即可解答；
（2）利用因式分解可得，然后把，的值代入进行计算即可解答．
【详解】（1）解：，，





，
的值为15；
（2）



，
的值为4．
【点睛】本题考查了完全平方公式，因式分解的应用，二次根式的混合运算，利用乘法公式和因式分解对代数式进行恰当的变形是解题的关键．
23．（1）证明见解析；（2）OE=2．
【分析】（1）根据一组对边相等的平行四边形是菱形进行判定即可．
（2）根据菱形的性质和勾股定理求出，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解．
【详解】（1）证明：∵AB//CD，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵∥，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形，对角线、交于点，
∴，，，
∴，
在Rt△AOB中，，
∴，
∵，
∴，
在Rt△AEC中，，为中点，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定方法以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．
24．(1)①全体实数；②4，2，0，2，4；图见解析；③2
(2)①③

【分析】（1）①根据求出x的取值范围即可；
②根据解析式填出列表，并在坐标系中描出各点，画出函数图象即可；
③把自变量的值从1增加到2时，代入函数解析式中求解即可；
（2）根据函数的关系式的定义来求解即可．
【详解】（1）解：①在函数中，x的取值范实为全体实数，
故答案为：全体实数；
②列表如下：


－2
-1
0
1
2



4
2
0
2
4

函数变形为或，画图如下：

③当时，，当时，，
所以当自变量的值从1增加到2时，则函数的值增加了2；
（2）解：在①，②，③，④中，
①③中对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，②④中对于x的每一个值，y都有两个值与它对应，所以①③中是的函数，②④中不是的函数．
故答案为：①③．
【点睛】本题主要考查了函数关系式，自变量取值范围，函数图象的画法，理解相关知识是解答关键．
25．(1)图见解析
(2)2
(3)图见解析（答案不唯一）

【分析】（1）先结合网格特点，利用勾股定理画出，再利用勾股定理画出，然后连接即可得；
（2）先利用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，再利用三角形的面积公式求解即可得；
（3）参照（1）的方法，画出三边长分别为的直角三角形即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求．

（2）解：设边上的高为，
，
，
是直角三角形，
，即，
解得，
即边上的高为2．
（3）解：如图，即为所求作（答案不唯一）．

【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题关键．
26．(1)①；②，证明见解析；
(2)当点在延长线上时，当点在延长线上时，当点在线段上时

【分析】（1）①根据题意补全图形，在上截取，连接，根据证≌即可得出结论；
②根据是等腰直角三角形，得出，根据≌即可得出结论；
（2）分点在线段上，点在延长线上，点在延长线上三种情况，构造全等三角形同理得出结论即可．
【详解】（1）①根据题意补全图形如下：

，理由如下：
在上截取，连接，

四边形是正方形，
，
，
，
是等腰直角三角形，，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
故答案为：；
，证明如下：
由知，≌，
，
是等腰直角三角形，
，
，
四边形是正方形，
，
，
；
（2）若点在直线上分以下三种情况：
由知，当点在线段上时，；
当点在延长线上时，延长至，使，连接，

四边形是正方形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
平分，
，
，
，
，
，
是的外角，是的外角，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
；
当点在延长线上时，如下图：延长至，使，连接，

四边形是正方形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
平分，
，

，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
；
综上所述，当点在延长线上时，当点在延长线上时，当点在线段上时．
【点睛】本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握正方形的性质，利用辅助线构造全等三角形是解题的关键．
27．（1）；（2）
【详解】试题分析：根据分母有理化的性质，由各式的特点，结合平方差公式化简计算即可.
试题解析：（1）
=
= ；
（2）
=+…+
=．
28．(1)，；
(2)，图见解析
(3)画图见解析

【分析】(1)利用平移变换的性质以及“回归点”的定义判断即可；
(2)如图当与的中点重合或与的中点重合时，的值最小，再利用勾股定理求解；
(3)“回归点”的轨迹是以为圆心，为半径画弧，在正方形内部的弧．
【详解】（1）如图，平移线段，得到正方形内两条长度为的线段和，这两条线段的位置关系为；若分别为和的中点，则点为线段到正方形的“回归点”．
故答案为：，；
（2）如图当与的中点重合或与的中点重合时，的值最小，最小值；
故答案为：；

（3）如图中，弧即为所求以为圆心，为半径画弧．

【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了正方形的性质，“回归距离”，“回归点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题型．