2023届安徽省滁州市高三第二次教学质量监测数学试题含解析

2023届安徽省滁州市高三第二次教学质量监测数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用对数的单调性解不等式求集合A，再由集合的交、补运算求集合即可.

【详解】由，故，

所以.

故选：D

2．若，则在复平面内对应的点所在象限为（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】利用复数的乘除、乘方运算化简求复数，进而求共轭复数，根据其对应点坐标判断所在象限.

【详解】，则，

所以对应点为，在第三象限.

故选：C

3．在下列区间中，函数在其中单调递减的区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由正弦函数的单调减区间判断.

【详解】由得，，

的减区间是，，

只有选项B的区间，

故选：B．

4．由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年.龙被视为中华古老文明的象征，大型龙类风筝放飞场面壮观，气势磅磗，因而广受喜爱.某团队耗时4个多月做出一长达200米、重约25公斤，“龙身”共有180节“鱗片”的巨龙风筝.制作过程中，风箏骨架可采用竹子制作，但竹子易断，还有一种耐用的碳杆材质也可做骨架，但它比竹质的成本高.最终团队决定骨架材质按图中规律排列（即相邻两碳质骨架之间的竹质骨架个数成等差数列），则该“龙身”中竹质骨架个数为（    ）

A．161 B．162 C．163 D．164

【答案】B

【分析】设有个碳质骨架，由条件列关系式求碳质骨架的个数，此可得结论.

【详解】设有个碳质骨架，，

由已知可得，

如果只有个碳质骨架，则骨架总数少于，

所以，

所以，且，又

解得，

所以共有碳质骨架18个，故竹质骨架有162个，

故选：B.

5．如图是下列某个函数在区间的大致图象，则该函数是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】用特殊值结合排除法求解．由正负、的大小及函数的零点排除三个选项得正确结论．

【详解】对B，由，知，但由图象知，故可排除B，

对C，因为在上，而由函数图象知函数一个零点在上，而排除C；

对D，由知，而由函数图象可知，故可排除D.

故选：A．

6．如图，在正四棱台中，，且各顶点都在同一球面上，则该球体的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意画出图形，由图构造直角三角形，即可求得，由求得表面积公式求得球体的表面积.

【详解】如图所示的正四棱台取上下两个底面的中心，连接，，，过点作底面的垂线与相交于点，

因为四棱台为正四棱台，所以外接球的球心一定在直线上，

在上取一点为球心，连接，则，设，

因为，所以，

，

所以为正方形，故必在延长线上，

在中，，即，

在中，，即，

解得，所以，

故选：D.

7．已知，，，则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分别构造和，求导判断出在上的单调性，比较出函数值与端点值的大小关系，进而得出的大小关系．

【详解】令，

则恒成立，即在上单调递增，且，

故，取，则，即，

可得，即；

令，

则恒成立，即在上单调递减，且，

故，取，则，即，

可得，即；

综上可得：的大小关系为

故选：B

8．若a，b，c均为正数，且满足，则的最小值是（    ）

A．6 B． C． D．

【答案】C

【分析】利用因式分解法，结合基本不等式进行求解即可.

【详解】，

因为a，b，c均为正数，

所以有，

当且仅当时取等号，即时取等号，

故选：C

二、多选题

9．已知A，B为两个随机事件，且，，则（    ）

A．

B．若A，B为互斥事件，则

C．若，则A，B为相互独立事件

D．若A，B为相互独立事件，则

【答案】BCD

【分析】由互斥事件且可得且，即可判断A、B；利用独立事件的性质及已知概率值判断C、D.

【详解】若为互斥事件，又，则且，故，，故A错误，B正确；

若，即，故A，B为相互独立事件，C正确；

若A，B为相互独立事件，则也相互独立，即，又，

而，

故，D正确.

故选：BCD

10．已知抛物线的焦点为F，点P在准线上，过点F作PF的垂线且与抛物线交于A，B两点，则（    ）

A．最小值为2 B．若，则

C．若，则 D．若点P不在x轴上，则

【答案】ABC

【分析】根据抛物线的定义，结合两点间距离公式、抛物线的性质逐一判断即可.

【详解】点，抛物线的准线方程为，

设，，

所以点P在横轴上时有最小值2，所以选项A正确；

若，根据抛物线的对称性可知点P在横轴上，

把代入中，得，，此时，

于是有，所以选项B正确；

因为，显然点P不在横轴上，

则有，

所以直线的方程为代入抛物线方程中，得

，设，

，

，所以选项C正确，

点P不在x轴上，由上可知：，，

，

而，显然，所以选项D不正确，

故选：ABC

11．已知函数及其导函数的定义域均为R，记，若，均为奇函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】根据为奇函数可得，再由导数相等可得，又为奇函数可得，两式结合可得 ，，且可推出函数周期为2，据此判断BD，由上述条件可知关于中心对称，关于中心对称且周期为2，取满足条件的函数，即可判断AC.

【详解】因为定义域均为R的奇函数，

所以，即，

所以，即，

所以，

又为奇函数，所以，

当时，，即 ，，故B正确；

又，所以，

故，即函数的周期为2，

所以，，即，故D正确；

由为奇函数可知，即的图象关于成中心对称，不妨取，则满足周期为2，关于中心对称条件，因为，，，可知AC错误.

故选：BD

12．在平面直角坐标系中，△OAB为等腰三角形，顶角，点为AB的中点，记△OAB的面积，则（    ）

A． B．S的最大值为6

C．的最大值为6 D．点B的轨迹方程是

【答案】ABD

【分析】令且，根据题设及两点距离公式求轨迹为且，应用余弦定理、三角形面积公式求表达式，利用，结合圆的性质求面积、最大值，令，则代入轨迹求B的轨迹方程，即可判断各项的正误.

【详解】由，，为AB的中点，

若且，则，故，

整理得：，则轨迹是圆心为，半径为2的圆（去掉与x轴交点），

如下图，由圆的对称性，不妨令在轨迹圆的上半部分，即，

令，则，

所以，则，

所以，A正确；

由，则S的最大值为6，B正确；

由下图知：，所以无最大值，C错误；

令，则代入轨迹得，即，

所以轨迹为且，D正确；

故选：ABD

三、填空题

13．展开式中的常数项为________.

【答案】##

【分析】写出展开式的通项公式，令x的指数为0，求得参数r，即可求得答案.

【详解】由题意的通项公式为，

令，

故展开式中的常数项为，

故答案为：

14．已知椭圆与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，点F是椭圆的一个焦点，若△ABF是等腰三角形，则的值为________.

【答案】

【分析】根据椭圆的对称性，结合等腰三角形的性质进行求解即可.

【详解】由题意可知：，因为，所以，

因为△ABF是等腰三角形，

所以由椭圆的性质可知F是椭圆的下焦点，

所以，

故答案为：

15．已知平面向量，满足，，则的最大值为________.

【答案】20

【分析】不妨设，，可求得，计算，表示圆上的点，表示（其中），由圆的性质可得最大值．

【详解】不妨设，，则

则，即，

，

取，，，

设点在圆上，表示，

因此的最大值为，

从而最大值为．

故答案为：20.

16．如图，正方体的棱长为2，点E，F在棱AB上，点H，G在棱CD上，点，在棱上，点，在棱上，，则六面体的体积为________.

【答案】

【分析】根据所给图形观察，六面体的体积可以看作正方体去掉四个相同的三棱柱和四个相同的五面体，五面体可分割为四棱锥和一个三棱锥，分别求出体积即可得解.

【详解】取，连接，如图，

所求几何体可以看作正方体去掉4个体积相同的三棱柱（如图中三棱柱），

再去掉四个五面体（如图中）,

五面体可分割为一个四棱锥与一个三棱锥，

因为，

,

,

所以，

故答案为：

四、解答题

17．已知等差数列的前n项和为，若，且，，成等比数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由等比中项的性质及等差数列通项公式、前n项和公式列方程求公差，即可写出通项公式；

（2）由（1）得，应用裂项相消法求.

【详解】（1）若等差数列的公差为，由，则，

所以或，

当时，，与，，成等比数列矛盾，排除；

所以，则.

（2）由（1）知：，则，

所以.

18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.

(1)求；

(2)已知，，求△ABC的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用平面向量的数量积的定义结合余弦定理即可求出结果；

（2）由正弦边角关系得，，结合求值，应用正弦定理求，进而求出三角形的面积.

【详解】（1）由已知，

所以，

结合余弦定理，，

化简得：，所以．

（2）由正弦定理知，即，又，所以，

显然，即，故，

由，

又，则，

所以的面积.

19．大气污染物（大气中直径小于或等于的颗粒物）的浓度超过一定的限度会影响人的身体健康.为了研究的浓度是否受到汽车流量等因素的影响，研究人员选择了24个社会经济发展水平相近的城市，在每个城市选择一个交通点建立监测点，统计每个监测点24h内过往的汽车流量（单位：千辆），同时在低空相同的高度测定每个监测点空气中的平均浓度（单位：），得到的数据如下表：

(1)根据上表，若24h内过往的汽车流量大于等于1500辆属于车流量大，大于等于属于空气污染.请结合表中的数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为车流量大小与空气污染有关联？

(2)设浓度为y，汽车流量为x.根据这些数据建立浓度关于汽车流量的线性回归模型，并求出对应的经验回归方程（系数精确到0.01）.

附：，

  ，，，，在经验回归方程中，.

【答案】(1)依据小概率值的独立性检验，能认为车流量大小与空气污染有关联

(2)

【分析】（1）根据已知完善列联表，应用卡方公式求卡方值，结合独立检验基本思想即可得结论；

（2）应用最小二乘法求回归直线方程即可.

【详解】（1）由表格，可得如下列联表，

所以，

故依据小概率值的独立性检验，能认为车流量大小与空气污染有关联.

（2）由，，

，

，

所以，则，

故回归直线为.

20．如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，.

(1)求证：；

(2)若平面平面PBC，且中，AD边上的高为3，求AD的长.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，结合等腰三角形的性质进行证明即可；

（2）建立空间直角坐标系，根据空间向量数量积的运算性质进行求解即可.

【详解】（1）设线段的中点为，连接，

因为，所以，

又因为，所以，

因为平面，

所以平面，平面，

所以；

（2）过点作垂直直线于，则有，

因为平面平面ABCD，平面平面ABCD，平面，

所以平面ABCD，

连接，因为，，

所以可得，

而，所以四边形是菱形，而，

所以四边形是正方形，因此建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，

，

设平面的法向量为，

，

同理可得平面的法向量为，

，

因为平面平面PBC，

所以.

21．已知双曲线C：（，）的焦距为，离心率.

(1)求双曲线C的方程；

(2)设P，Q为双曲线C上异于点的两动点，记直线MP，MQ的斜率分别为，，若，求证：直线PQ过定点.

【答案】(1)

(2)证明过程见解析

【分析】（1）根据双曲线离心率公式，结合双曲线焦距定义进行求解即可；

（2）设出直线方程与双曲线方程联立，根据一元二次方程根的判别式、根与系数关系，结合直线斜率公式进行求解即可.

【详解】（1）因为双曲线C：（，）的焦距为，离心率，

所以有；

（2）由题意可知直线存在斜率，所以直线的方程设为，

，

则有，

设，则有，

显然的坐标为，

所以由

，

把代入上式，得

，或

当时，直线方程为，过定点，

当时，直线方程为，过定点，

不符合题意，

因此直线过定点.

【点睛】关键点睛：根据直线斜率公式，结合一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.

22．已知函数.

(1)求函数的零点；

(2)证明：对于任意的正实数k，存在，当时，恒有.

【答案】(1)

(2)证明过程见解析

【分析】（1）根据导数的性质，结合函数零点的定义进行求解即可；

（2）根据（1）的结论，可以得到，进而得到不等式，

的等价条件，最后得以证明.

【详解】（1），定义域为，

，所以函数是上的减函数，

而，所以函数的零点是；

（2）由（1）可知：当时，，

即，

因此有，

进而有，

当时，等价于，

等价于，

设三个数中最大的数为，

所以当时，有.

【点睛】关键点睛：根据（1）的结论，得到不等式，再根据存在性的性质是解题的关键.