2023届安徽省蚌埠市高三第三次教学质量检查考试数学试卷及答案

蚌埠市2023届高三年级第三次教学质量检查考试

数学

本试卷满分150分，考试时间120分钟

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1.设集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2.已知i为虚数单位，复数满足，则（    ）

A. B.1 C. D.i

3.已知，则（    ）

A. B. C. D.2

4.直线与圆的位置关系是（    ）

A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定

5.已知某地区中小学生人数如图①所示，为了解该地区中小学生的近视情况，卫生部门根据当地中小学生人数，用分层抽样的方法抽取了10%的学生进行调查，调查数据如图②所示，则估计该地区中小学生的平均近视率为（    ）

A.50% B.32% C.30% D.27%

6.若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（    ）

A.6 B.或 C. D.或

7.函数的图象大致为（    ）

A. B.

C. D.

8.在中，为上一点，且，，，则（    ）

A. B. C. D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，则下列结论正确的是（    ）

A.数列是等差数列 B.数列是等差数列

C.数列是等比数列 D.数列是等差数列

10.已知是抛物线的焦点，，是抛物线上相异两点，则以下结论正确的是（    ）

A.若，那么

B.若，则线段的中点到轴的距离为

C.若是以为直角顶点的等腰三角形，则

D.若，则直线的斜率为

11.已知为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的一点，为的中点，，圆锥的侧面积为，则下列说法正确的是（    ）

A.圆上存在点使平面

B.圆上存在点使平面

C.圆锥的外接球表面积为

D.棱长为的正四面体在圆锥内可以任意转动

12.已知，则下列结论正确的是（    ）

A. B. C.D.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知，，，则______.

14.已知，则______.

15.已知实数，且，则的最小值为______.

16.已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则当时，______；若对都有，则实数的取值范围为______.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出说明文字、演算式、证明步骤.

17.（本小题满分10分）

某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：

（1）根据所给数据完成上表，依据的独立性检验，能否认为该校学生喜欢足球与性别有关？

（2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门.已知这两名男生进球的概率均为，这名女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望.

附：

18.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）若，求函数的最小正周期；

（2）若图象在内有且仅有一条对称轴，求的取值范围.

19.（本小题满分12分）

已知数列满足，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求证：.

20.（本小题满分12分）

如图，在四面体中，为的重心，，分别在棱，上，平面平面.

（1）求的值；

（2）若平面，，且，求平面与平面的夹角的大小.

21.（本小题满分12分）

已知，是双曲线的左、右顶点，为双曲线上与，不重合的点.

（1）设直线，的斜率分别为，，求证：是定值；

（2）设直线与直线交于点，与轴交于点，点满足，直线与双曲线交于点（与，，不重合）.判断直线是否过定点，若直线过定点，求出该定点坐标；若直线不过定点，请说明理由.

22.（本小题满分12分）

已知函数，，.

（1）若，求证：；

（2）若函数与函数存在两条公切线，求实数a的取值范围.