2023届陕西省联盟学校高三下学期第一次大联考数学（文）试题含解析

2023届陕西省联盟学校高三下学期第一次大联考数学（文）试题

一、单选题

1．集合,,则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据补集的性质和定义即可得出结果.

【详解】解:由题知,,

所以.

故选:C

2．在复平面内，复数与对应的点关于实轴对称，则等于

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】计算得，根据题意可得，即为所求．

【详解】由题意得，

∵复数与对应的点关于实轴对称，

∴．

故选D．

【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的几何意义，考查计算能力和理解能力，属于基础题．

3．二项式的展开式中项的系数为10，则（　　）

A．8 B．6 C．5 D．10

【答案】C

【分析】写出二项式展开式的通项公式，再令的幂指数为3，即可求出的值．

【详解】由二项式的展开式的通项得：令 ，得，则 ，所以，解得，

故选C．

【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．

4．我国航天技术的迅猛发展与先进的运载火箭技术密不可分.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度，其中是喷流相对速度，是火箭（除推进剂外）的质量，是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”.已知甲型火箭的总质比为，经过材料更新和技术改进后，甲型火箭的总质比变为原来的，喷流相对速度提高了，最大速度增加了（），则甲型火箭在材料更新和技术改进前的喷流相对速度为（    ）（参考数据：，）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意列出改进前的等量关系式以及改进后的等量关系式，联立即可解得答案.

【详解】设甲型火箭在材料更新和技术改进前的喷流相对速度为，最大速度为，

则，

故

，

故选：C.

5．已知，，则的最大值为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】A

【分析】根据可得，之后利用基本不等式得到，从而求得结果.

【详解】因为，且，

所以，即，

所以有，

当且仅当时取得最大值，

故选：A.

【点睛】该题考查的是有关应用基本不等式求最值的问题，涉及到的知识点有利用基本不等式求积的最大值，属于简单题目.

6．下列说法中正确的是（    ）

A．若是真命题，则一定是真命题.

B．若平面与不垂直，则内不存在与平面垂直的直线

C．“”是“”成立的充分不必要条件

D．命题：，，则：，

【答案】B

【分析】利用“且”命题与“或”命题的性质判断A；根据面面垂直的判定定理判断B；根据不等式的性质判断C；根据全称命题的否定判断D.

【详解】是真命题，则，中至少有一个是真命题，不能推出是真命题，选项A不正确；

由面面垂直的判定定理可知，“若平面与不垂直，则内不存在与平面垂直的直线”的逆否命题“若内存在一条与平面垂直的直线，则平面与垂直”是真命题，由原命题与逆否命题同真假可知原命题为真，选项B正确；

 “”是“”成立既不充分也不必要条件，选项C不正确；

命题：，，则：，，选项D不正确.

故选：B.

7．已知圆关于直线对称，则圆C中以为中点的弦长为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】圆关于直线对称即说明直线过圆心，即可求出，即可由中点弦求出弦长.

【详解】依题意可知直线过圆心，即，．

故．

圆方程配方得，与圆心距离为1，故弦长为．

故选D．

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，利用中点弦三角形解弦长，属于基础题。

8．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如图茎叶图：则下列结论中表述不正确的是

A．第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟

B．第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高

C．这40名工人完成任务所需时间的中位数为80

D．无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟．

【答案】D

【分析】根据茎叶图统计数据、求平均数、求中位数，再根据结果作选择.

【详解】第一种生产方式的工人中，完成生产任务所需要的时间至少80分钟有15人,占75%，

第一种生产方式的中，完成生产任务所需要的平均时间为，

第二种生产方式的中，完成生产任务所需要的平均时间为

，所以第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高，

这40名工人完成任务所需时间从小到大排列得中间两数为，中位数为

所以D错误.选D.

【点睛】本题考查茎叶图，考查基本分析求解能力.属基本题.

9．已知是半径为的圆的内接正方形，是圆上的任意一点，则的值为（    ）

A．8 B．16 C．32 D．与的位置有关

【答案】B

【分析】首先根据题意得到，再化简求解即可.

【详解】如图所示：

.

故选：B

10．在空间中，，表示平面，表示直线，已知，则下列命题正确的是（    ）

A．若，则与，都平行 B．若与，都平行，则

C．若与异面，则与，都相交 D．若与，都相交，则与异面

【答案】B

【分析】对于A项，可能直线；对于B项用线面平行的性质定理可得；对于C项不在，内，与，其中一个不相交；对于D项，直线与相交.

【详解】对于A项，如图直线，所以A错误；

对于B项，如图，过直线做平面，且

，故B正确；

对于C项，画图为：

反例：不在，内，与，其中一个不相交，故C不正确.

对于D项，如图，，则满足与，都相交，但是与共面，故D错误.

故选：B

11．函数在上恰有两个极大值点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】令，，求出的取值，即可得到函数在轴右侧的第一、二、三个极大值点，从而得到不等式组，解得即可.

【详解】解：令，，则，，又，

解得，，

所以函数在轴右侧的第一个极大值点为，第二个极大值点为，第三个极大值点为，

因为在上恰有两个极大值点，

于是，解得，即.

故选：C

12．已知函数的导函数满足对恒成立，则下列判断一定正确的是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据题意及选项构造函数，然后求导判断出函数的单调性，再根据单调性判断出各值的大小，进而得到结论．

【详解】由题意设，

则，

所以函数在上单调递增，

所以，即．

故选B．

【点睛】当题目条件中有含有导函数的不等式，而所求结论与判断函数值的大小有关时，解题时一般需要通过构造函数来解决．构造函数时要根据题意及积或商的导数来进行，然后判断出所构造的函数的单调性，进而可比较函数值的大小．

二、填空题

13．若直线是曲线的切线，且，则实数b的最小值是______.

【答案】

【分析】求出的导数，设切点为，由切点处的导数值为切线斜率求出，再由切点坐标可把表示为的函数，再利用导数可求得的最小值．

【详解】的导数为，由于直线是曲线的切线，设切点为，则，

∴，又，∴（），，

当时，，函数b递增，当时，，函数b递减，

∴为极小值点，也为最小值点，∴b的最小值为.

故答案为：．

【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数求函数的最值．在求切线方程时要注意“在”某点处的切线与“过”某点的切线．如果是过某点的切线可设切点坐标为，利用导数几何意义求出切点坐标．

14．在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，则的值为______.

【答案】

【分析】根据正弦定理和余弦定理得到，解得答案.

【详解】根据余弦定理和正弦定理得到：，

即，故，，故.

故答案为：

15．直线与抛物线交于、两点，为坐标原点，若直线、的斜率、满足，则一定过点______.

【答案】

【分析】设点、，分析可知直线不与轴平行或重合，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由求出的值，可得出的值，进而可得出直线所过定点的坐标.

【详解】设点、，若直线与轴平行或重合，则与抛物线只有一个交点，不合乎题意，

设直线的方程为，联立可得，

，由韦达定理可得，

因为，可得，解得，

所以，直线的方程为，则直线过定点.

故答案为：.

16．已知直三棱柱外接球的表面积为，，若外接圆的圆心在AC上，半径，则直三棱柱的体积为______．

【答案】3

【分析】由题意可得，直三棱柱的底面为直角三角形，由其外接球的表面积求得侧棱长，代入体积公式得答案．

【详解】解：如图，

外接圆的圆心在AC上，

 为AC的中点，且是以为直角的直角三角形，

由半径，得，又，．

把直三棱柱补形为长方体，设，

则其外接球的半径．

又直三棱柱外接球的表面积为，

，即．

，解得．

直三棱柱的体积为．

故答案为3．

【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 ．

三、解答题

17．数列为正项数列，，且对，都有；

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列满足，为数列的前项和，求证：

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】(1)将已知条件因式分解后化简得,即数列为等比数列,由此求得数列的通项公式.

(2)利用裂项求和法求得数列的前项和,由此证得.

【详解】（1）由，得，

而数列 为正项数列，所以，

所以数列为等比数列，首项为4，公比为2，

；

（2），

所以，

，

又，，

.

18．为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查．已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为n的样本，得到一周参加社区服务的时间的统计数据如下表：

（1）求m，n；

（2）能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？

（3）以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校学生中随机调查6名学生，试估计6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数．

附：

【答案】（1），（2）没有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关（3）估计这6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数是4人

【分析】（1）根据分层抽样比例列方程求出n的值，再计算m的值；

（2）根据题意完善2×2列联表，计算K2，对照临界值表得出结论；

（3）计算参加社区服务时间超过1小时的频率，用频率估计概率，计算所求的频数即可．

【详解】（1）根据分层抽样法，抽样比例为，

∴n＝48；

∴m＝48﹣20﹣8﹣12＝8；

（2）根据题意完善2×2列联表，如下；

计算K20.6857＜3.841，

所以没有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关；

（3）参加社区服务时间超过1小时的频率为，

用频率估计概率，从该校学生中随机调查6名学生，

估计这6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数为64（人）．

【点睛】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题及用频率估计概率的应用问题，考查了运算能力，属于中档题．

19．如图，在四棱锥中，底面是长方形，，，二面角为，点为线段的中点，点在线段上，且.

(1)平面平面；

(2)求棱锥的高.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）先证明线面垂直，再利用面面垂直的判定进行证明；

（2）利用等体积法求解棱锥的高.

【详解】（1）∵，∴.

又，，平面，

∴平面，又平面，

∴平面平面.

（2）如图，作于，于，连接，

∵平面，平面，∴；

∵,面ABCD，

∴平面；

∵平面，∴；

∵，面EHM，

∴平面面EHM，∴.

设棱锥的高为，

∵平面，∴，

∵二面角为，∴.

∵底面是长方形，，，点为线段的中点，且.

∴，，，.

∴，

∵，

∴，∴棱锥的高.

20．已知函数，其中为常数，为自然对数的底数.

(1)当时，求的单调区间；

(2)若在区间上的最大值为，求的值.

【答案】(1)函数增区间为，减区间为

(2)

【分析】（1）确定函数定义域，求出函数的导数，根据导数的正负，即可求得函数的单调区间；

（2）求得函数的导数，讨论a的取值范围，确定函数的单调性，确定函数的最值，结合题意，求得a的值.

【详解】（1）函数的定义域为

当时，，，

令得，；令得，或，结合定义域得，

∴函数增区间为，减区间为；

（2）

①当时，，∴，∴函数在上是增函数，

∴，∴，∴符合题意；

②当且时，令得，

∴，∴，∴不符合题意，舍去；

③若，即时，在上，

∴在上是增函数，故在上的最大值为，

∴不符合题意，舍去，

综合以上可得.

21．已知，为椭圆E：的上、下焦点，为平面内一个动点，其中.

(1)若，求面积的最大值；

(2)记射线与椭圆E交于，射线与椭圆E交于，若，探求，，之间的关系.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)先根据椭圆定义得出椭圆方程,在根据的范围求出面积的最大值;

(2)分别设出两个射线和,再联立方程结合向量平行得出，，之间的关系.

【详解】（1）由题可知椭圆E：的上、下焦点，

又因为,所以,

则点为椭圆上一点，且，

则，于是面积的最大值为.

（2）射线的方程为，

射线的方程为，

联立

解得，①

又，则，②

将②代入①，得.

22．已知曲线的参数方程为（为参数）；直线（，）与曲线相交于两点，以极点为原点，极轴为轴的负半轴建立平面直角坐标系.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）记线段的中点为，若恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【详解】试题分析：（1）对曲线的参数方程消参得，再根据，进而可得曲线的极坐标方程；（2）联立和，得，设、，可得，根据，求得的最大值，从而可得实数的取值范围.

试题解析：(1)∵曲线的参数方程为（为参数），

∴所求方程为

∵

∴

∴曲线的极坐标方程为.

(2)联立和，得，

设、，则，

由，得，

当时，取最大值，故实数的取值范围为 .

23．已知函数.

(1)若（m，）对恒成立，求的最小值；

(2)若恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)去掉绝对值符号，画出函数的图像,可知函数的最小值为，利用函数的最小值转化，再结合基本不等式求解即可；

(2)由不等式构造新函数，可知函数恒过定点，再利用函数的图像求解即可.

【详解】（1）由题可得，，

函数的图像如下

如图所示，，则，即，

，

可得，于是，当且仅当时，等号成立，

故的最小值为.

（2）令，则是恒过点，斜率为的直线，

由恒成立，则表示函数图像恒在函数图像上方，

当过点时，，

结合图像分析可得，，

故.