统考版高中数学（文）复习4-3-1三角恒等变换学案

这是一份统考版高中数学（文）复习4-3-1三角恒等变换学案，共8页。


1．[2021·全国甲卷]若α∈0，π2，tan 2α＝csα2-sinα，则tan α＝( )
A．1515 B．55
C．53 D．153
2．[2023·郑州模拟]已知sin α＝13(角α为第二象限角)，则cs α-π4＝( )
A．4-26 B．2-26
C．4+26 D．2-46
3．[2023·安徽合肥检测]已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边过点M(－12，－32)，则cs 2α＋sin α-π3的值为( )
A．－12 B．32
C．1 D．32
4．[2022·六校联盟第二次联考]若tan π4-α＝－2，则tan 2α＝________．
反思感悟 三角函数公式的应用策略
(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”；
(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系，诱导公式的综合应用．
考点二 三角函数公式的活用 [综合性]
[例1] (1)在△ABC中，若tan A tan B＝tan A＋tan B＋1，则cs C的值为( )
A．－22 B．22
C．12 D．－12
(2)[2022·陕西汉中模拟]化简：sin10°1-3tan10°＝( )
A．14 B．12
C．1 D．33
听课笔记：
反思感悟 三角函数公式活用技巧
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．
(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan (α＋β)(或tan (α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用(如本例(1)).
【对点训练】
1．已知sin 2α＝13，则cs2α-π4＝( )
A．－13 B．13
C．－23 D．23
2．已知csα+π6－sin α＝435，则sin α+11π6＝________.
3．(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝________．
考点三 角的变换与名的变换 [综合性]
角度1 三角公式中角的变换
[例2] (1)已知α，β均为锐角，cs α＝45，tan (α－β)＝－13，则tan β＝________．
(2)已知α，β都是锐角，cs (α＋β)＝513，sin (α－β)＝35，则cs 2α＝________．
听课笔记：
反思感悟
1．三角公式求值中变角的解题思路
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
2．常见的配角技巧
2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α+β2-α-β2，α＝α+β2+α-β2，α-β2＝α+β2-α2+β等.
角度2 三角公式中函数名的变换
[例3] (1)已知cs α＋2cs α+π3＝0，则tan α+π6＝( )
A．－3 B．3
C．33 D．－33
(2)[2022·深圳市统一测试]已知tan α＝－3，则sin 2α+π4＝( )
A．35 B．－35
C．45 D．－45
听课笔记：
反思感悟 三角函数名的变换技巧
明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系，诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦.
【对点训练】
1．[2022·百校联盟联考]已知α、β都是锐角，cs (α＋β)＝513，sin (α－β)＝35，则sin α＝( )
A．9130130 B．7130130 C．76565 D．46565
2．[2023·长春模拟]若α是锐角，且cs α+π6＝35，则cs α+3π2＝________．
3．[2023·沈阳市教学质量监测]若cs x-π6＝13，则sin 2x+π6＝________．
第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
提升关键能力
考点一
1．解析：因为α∈(0，π2)，所以tan 2α＝2sin αcs α2cs2α-1 ＝ csα2-sin α ⇒ 2sin α2cs2α-1 ＝12-sinα⇒
2cs2α－1＝4sinα－2sin2α⇒2sin2α＋2cs2α－1＝4sinα⇒sin α＝14⇒tan α＝1515 .
答案：A
2．解析：因为角α为第二象限角，且sin α＝ 13 ，所以cs α＝－223 .
所以cs (α - π4)＝cs αcs π4＋sin αsin π4＝－223×22 +13×22＝2-46.
答案：D
3．解析：由题意知sin α＝－32 ，cs α＝－12 ，所以cs 2α＋sin (α- π3 )＝2cs2α－1＋12sinα－32cs α＝2× (-12)2－1＋ 12×(－32) －32×(－12)＝－12.
答案：A
4．解析：由tan ( π4 - α)＝－2可得 tanπ4 -tanα1+tanπ4tan α ＝－2，
即1-tan α1+tan α ＝－2，化简得tan α＝－3，
∴tan 2α＝2tan α1-tan2α ＝2×(-3)1-(-3)2 ＝34 .
答案：34
考点二
例1 解析：(1)由tan A tan B＝tan A＋tan B＋1，可得tanA+tanB1-tanAtanB＝－1，即tan (A＋B)＝－1，又A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝3π4，则C＝π4，所以cs C＝22.
(2)sin10°1-3tan10°＝sin10°cs10°cs10°-3sin10°
＝2sin10°cs10°412cs10°-32sin10°
＝sin20°4sin30°-10°＝14.
答案：(1)B (2)A
对点训练
1．解析：cs2α-π4＝1+cs2α-π22＝12+12sin 2α＝12+12×13＝23.
答案：D
2．解析：由cs (α＋π6)－sin α＝32cs α－12sin α－sin α＝32cs α－32sin α＝3(12cs α－32sin α)＝3cs α+π3＝3sin (π6－α)＝435，得sin π6-α＝45.sin (α＋11π6)＝－sin 2π-α+11π6＝－sin (π6－α)＝－45.
答案：－45
3．解析：(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1＋tan (20°＋25°)(1－tan 20°tan 25°)＋tan 20°tan 25°＝2.
答案：2
考点三
例2 解析：(1)由于α为锐角，且cs α＝45，故sin α＝1-cs2α＝35，tanα＝sinαcsα＝34.
由tan (α－β)＝tanα-tanβ1+tanα·tanβ＝－13，解得tan β＝139.
(2)∵α，β都是锐角，∴0<α＋β<π，－π2<α－β<π2.
又∵cs (α＋β)＝513，sin (α－β)＝35，
∴sin (α＋β)＝1213，cs (α－β)＝45，
则cs 2α＝cs [(α＋β)＋(α－β)]＝cs (α＋β)cs (α－β)－sin (α＋β)sin (α－β)＝513×45-1213×35＝－1665.
答案：(1)139 (2)－1665
例3 解析：(1)由cs α＋2cs α+π3＝0，
得cs α＋2(12cs α－32sin α)＝0，
所以2cs α－3sin α＝0，则tan α＝233.
所以tan α+π6＝tanα+tanπ61-tanαtanπ6＝233+331-233×33＝33.
解析：(2)因为tan α＝－3，所以sinαcsα＝－3，则sin α＝－3cs α，代入sin2α＋cs2α＝1得9cs2α＋cs2α＝1，
所以cs2α＝110，所以sin2α+π4＝sin 2α+π2＝cs 2α＝2cs2α－1＝15－1＝－45.
答案：(1)C (2)D
对点训练
1．解析：∵α、β都是锐角，∴0<α＋β<π，－π2<α－β<π2.又∵cs(α＋β)＝513，sin (α－β)＝35，∴sin (α＋β)＝1213，cs (α－β)＝45，则cs 2α＝cs [(α＋β)＋(α－β)]＝cs (α＋β)cs (α－β)－sin (α＋β)sin (α－β)＝513×45-1213×35＝－1665.∵cs 2α＝1－2sin2α＝－1665，
∴sin2α＝81130，∵sinα>0，∴sin α＝9130130.
答案：A
2．解析：因为0<α<π2，所以π6<α＋π6<2π3，
又cs α+π6＝35，
所以sin α+π6＝45，
则cs α+3π2＝sin α＝sin α+π6-π6
＝sin α+π6cs π6－cs α+π6sin π6＝45×32-35×12＝43-310.
答案：43-310
3．解析：方法一 sin 2x+π6
＝sin 2x-π6+π2
＝cs 2x-π6＝2cs2x-π6－1＝－79.
方法二 由csx-π6＝32cs x＋12sin x＝13，得(32cs x＋12sin x)2＝34cs2x＋14sin2x＋32sinx cs x＝12cs2x＋32sinx cs x＋14＝cs2x+14+34sin 2x＋14
＝1212cs2x+32sin2x+12
＝12 sin 2x+π6+12＝19，所以sin 2x+π6＝－79.
答案：－79