单元复习01 集合【过知识】- 2022-2023学年高一数学单元复习（苏教版2019必修第一册）

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判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1,0,1}.(　　)(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.(　　)(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.(　　)(4)对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B).(　　)
1.(多选)若集合A＝{x∈N|2x＋10>3x}，则下列结论正确的是A.2 ∉A B.8⊆AC.{4}∈A D.{0}⊆A
2.已知集合M＝{ ＋1，－2}，N＝{b,2}，若M＝N，则a＋b＝_____.
3.已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x2≥4}，则A∩B＝___________，A∪(∁UB)＝____________.
∵全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x2≥4}＝{x|x≤－2或x≥2}，∴∁UB＝{x|－2例1　(1)(2020·全国Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为A.2　　　B.3　　　C.4　　　D.6
A∩B＝{(x，y)|x＋y＝8，x，y∈N*，y≥x}＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}，共4个元素.
(2)若集合A＝{a－3,2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝______.
①当a－3＝－3时，a＝0，此时A＝{－3，－1，－4}，②当2a－1＝－3时，a＝－1，此时A＝{－4，－3，－3}舍去，③当a2－4＝－3时，a＝±1，由②可知a＝－1舍去，则当a＝1时，A＝{－2,1，－3}，综上，a＝0或1.
变式1 若集合A＝{x|kx2＋x＋1＝0}中有且仅有一个元素，则实数k的取值集合是________.
依题意知，方程kx2＋x＋1＝0有且仅有一个实数根，
解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.
跟踪训练1　(1)已知集合A＝ ，则集合A中的元素个数为A.3 B.4C.5 D.6
∴x－2的取值有－4，－2，－1,1,2,4，∴x的值分别为－2,0,1,3,4,6，又x∈N，故x的值为0,1,3,4,6.故集合A中有5个元素.
(2)已知a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝ ，则a2 023＋b2 023＝____.
∴a＋b＝0，∴a＝－b，∴{1,0，－b}＝{0，－1，b}，∴b＝1，a＝－1，∴a2 023＋b2 023＝0.
例2　(1)设集合P＝{y|y＝x2＋1}，M＝{x|y＝x2＋1}，则集合M与集合P的关系是A.M＝P B.P∈MC.MP D.PM
因为P＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，M＝{x|y＝x2＋1}＝R，因此PM.
(2)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B⊆A，则实数m的取值范围是____________.
∵B⊆A，①当B＝∅时，2m－1>m＋1，解得m>2；
解得－1≤m≤2.综上，实数m的取值范围是[－1，＋∞).
延伸探究1　在本例(2)中，若把B⊆A改为BA，则实数m的取值范围是____________.
①当B＝∅时，2m－1>m＋1，∴m>2；
延伸探究2 已知M，N均为R的子集，若N∪(∁RM)＝N，则A.M⊆N B.N⊆MC.M⊆∁RN D.∁RN⊆M
由题意知，∁RM⊆N，其Venn图如图所示，
∴只有∁RN⊆M正确.
(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解.(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.
跟踪训练2　(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|x2－6x<0}，则满足AC⊆B的集合C的个数为A.4 B.6C.7 D.8
∵A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4,5}，且AC⊆B，∴集合C的所有可能为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}，共7个.
(2)已知集合M＝{x|x2＝1}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值为________.
∵M＝{－1,1}，且M∩N＝N，∴N⊆M.若N＝∅，则a＝0；
∴a＝±1综上有a＝±1或a＝0.
命题点1　集合的运算例3　(1)(2021·全国乙卷)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T等于A.∅ B.SC.T D.Z
方法一　在集合T中，令n＝k(k∈Z)，则t＝4n＋1＝2(2k)＋1(k∈Z)，而集合S中，s＝2n＋1(n∈Z)，所以必有T⊆S，所以T∩S＝T.方法二　S＝{…，－3，－1,1,3,5，…}，T＝{…，－3,1,5，…}，观察可知，T⊆S，所以T∩S＝T.
(2)(2022·济南模拟)集合A＝{x|x2－3x－4≥0}，B＝{x|1＜x＜5}，则集合(∁RA)∪B等于A.[－1,5) B.(－1,5)C.(1,4] D.(1,4)
因为集合A＝{x|x2－3x－4≥0}＝{x|x≤－1或x≥4}，又B＝{x|1＜x＜5}，所以∁RA＝(－1,4)，则集合(∁RA)∪B＝(－1,5).
命题点2　利用集合的运算求参数的值(范围)例4 已知集合A＝{x|3x2－2x－1≤0}，B＝{x|2a①B＝∅，2a≥a＋3⇒a≥3，符合题意；
变式4 (2022·铜陵模拟)已知A＝{x|x≤0或x≥3}，B＝{x|x≤a－1或x≥a＋1}，若A∩(∁RB)≠∅，则实数a的取值范围是A.1≤a≤2 B.12
A＝{x|x≤0或x≥3}，B＝{x|x≤a－1或x≥a＋1}，所以∁RB＝{x|a－13，解得a<1或a>2，所以实数a的取值范围是a<1或a>2.
对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况.
跟踪训练3　(1)(2021·全国甲卷)设集合M＝{x|0因为M＝{x|0(2)(2022·南通模拟)设集合A＝{1，a＋6，a2}，B＝{2a＋1，a＋b}，若A∩B＝{4}，则a＝_____，b＝_____.
由题意知，4∈A，所以a＋6＝4或a2＝4，当a＋6＝4时，则a＝－2，得A＝{1,4,4}，故应舍去；当a2＝4时，则a＝2或a＝－2(舍去)，当a＝2时，A＝{1,4,8}，B＝{5,2＋b}，又4∈B，所以2＋b＝4，得b＝2.所以a＝2，b＝2.
例5　(1)已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1,3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素数字之和为A.15　　　　　　D.21
由x2－2x－3≤0，得(x＋1)(x－3)≤0，得A＝{0,1,2,3}.因为A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，所以A*B中的元素有0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，所以A*B＝{1,2,3,4,5,6}，所以A*B中的所有元素数字之和为21.
(2)非空数集A如果满足：①0∉A；②若∀x∈A，有 ∈A，则称A是“互倒集”.给出以下数集：①{x∈R|x2＋ax＋1＝0}；②{x|x2－6x＋1≤0}； ③ ，其中是“互倒集”的序号是________.
①中，{x∈R|x2＋ax＋1＝0}，二次方程判别式Δ＝a2－4，故－2变式5 对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，记A＝{x|x≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，则A*B＝__________________.
{x|－3≤x＜0或x>3}
∵A＝{x|x≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，∴A－B＝{x|x>3}，B－A＝{x|－3≤x＜0}.∴A*B＝{x|－3≤x＜0或x>3}.
解决集合新定义问题的关键解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆.
跟踪训练4　若集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1＝A2时，(A1，A2)与(A2，A1)是集合A的同一种分拆.若集合A有三个元素，则集合A的不同分拆种数是______.