2023年安徽省马鞍山市花山区中考数学一模试卷（含答案）

这是一份2023年安徽省马鞍山市花山区中考数学一模试卷（含答案），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2023年安徽省马鞍山市花山区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）﹣3的相反数是（　　）
A．﹣3 B．3 C． D．
2．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．（ab）2＝ab2 B．2a÷3a＝﹣a C．3a•2a＝6a2 D．3a+2b＝5ab
3．（4分）2020年安徽省粮食总产803.8亿斤，居全国第4位．数据803.8亿用科学记数法表示为（　　）
A．803.8×108 B．8.038×109 C．8.038×1010 D．8.038×1011
4．（4分）如图所示几何体的左视图是（　　）


A． B．
C． D．
5．（4分）如图所示，已知AB∥CD，∠A＝50°，∠C＝∠E．则∠C等于（　　）

A．20° B．25° C．30° D．40°
6．（4分）如图所示，阴影是两个相同菱形的重合部分，假设可以随机在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是（　　）

A． B． C． D．
7．（4分）已知非负数a，b，c，满足bc＝（a2﹣b2﹣c2），则下列结论一定正确的是（　　）
A．a＝b+c B．b＝a+c C．c＝b+a D．ab＝a2+c2
8．（4分）受疫情影响，某景区2020年上半年游客较少，随着国内疫情逐步得到控制，2020年下半年游客人数比2020年上半年增加了40%，预计2021年上半年游客人数将达到2020年上半年的2倍，设2021年上半年，与2020年下半年相比游客人数的增长率为x，则下列关系正确的是（　　）
A．（1+40%）（1+x）＝2 B．（1+40%）（1+x）2＝2
C．1+40%+x＝2 D．1+40%（1+x）＝2
9．（4分）已知二次函数y＝ax2+（b﹣1）x+c+1的图象如图所示，则在同一坐标系中y1＝ax2+bx+1与y2＝x﹣c的图象可能是（　　）

A． B．
C． D．
10．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D为BC边上一动点（不与点B、C重合），CE垂直AD交AB于点E，垂足为点H，连接BH并延长交AC于点F，则以下结论错误的是（　　）

A．当CD＝BD时，CH＝
B．当CD＝BD时，AF＝2CF
C．当BD＝nCD时，AE＝（n+1）BE
D．BH的最小值为
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）不等式3x+1＞5x﹣1的解集是 　 　．
12．（5分）若关于x函数y＝ax2﹣（a﹣3）x+1的图象与x轴有唯一公共点，则a＝　 　．
13．（5分）反比例函数y＝（x＞0）和y＝（x＞0）的图象如图所示，直线x＝1交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点A，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B，点C的坐标为（3，0），连接AC、BC，若△ABC的面积为3，则k的值为 　 　．

14．（5分）如图1，四边形ABCD和四边形CEGF均是正方形，其中点G在四边形ABCD的对角线AC上．

（1）AG与BE之间的数量关系为 　 　；
（2）将正方形CEGF绕点C顺时针旋转，当B、E、F三点共线时，如图2，CG的延长线交AD于点H．若CH＝5，GH＝，则AG的长为 　 　．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：（﹣）﹣3+（π﹣2）0﹣|2﹣4sin60°|．
16．（8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点为网格线的交点）．
（1）将△ABC先向左平移5个单位，再向下平移3个单位，得到△A1B1C1，并画出平移后的△A1B1C1；
（2）请在网格中，用无刻度的直尺画出线段AC的垂直平分线PQ，交AB于点P，交AC于点Q（保留作图痕迹）．

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）抗击新冠疫情需要大量口罩．某车间接受了生产口罩的任务，在加工完1200只口罩任务后，采用了新技术，工效是原来的1.5倍．这样，再次加工1200只口罩就比原先加工1200只口罩少用了10分钟．求采用新技术后每分钟加工多少只口罩．
18．（8分）观察下列等式：
①13+23＝3×（1﹣2+4）
②23+33＝5×（4﹣6+9）
③33+53＝8×（9﹣15+25）
④63+103＝16×（36﹣60+100）
…
（1）请再写出一个符合上述规律的式子：　 　；
（2）请你把发现的规律用字母a、b表示出来，并证明．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D．测得CD＝80m，∠ACD＝90°，∠BCD＝45°，∠ADC＝19°17′，∠BDC＝56°19′．设A，B，C，D在同一平面内，求A，B两点之间的距离．
（参考数据：tan19°17′≈0.35，tan56°19′≈1.50．）

20．（10分）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，且AB为⊙O的直径，DE与⊙O相切于点D，交AB的延长线于点E，连接OD交BC于点F，连接AD、CD，∠E＝∠ADC．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若CF＝2DF，AC＝8，求⊙O的半径r．

六、（本题满分12分）
21．（12分）某中学为了让学生能更好地了解新修订的《未成年人保护法》，组织七、八年级学生对《未成年人保护法》中的相关知识进行学习并进行测试，现分别从七、八两个年级各随机抽取10名学生的测试成绩x（分），并对其统计、整理如下：
a．七年级10名学生测试成绩扇形统计图如下，其测试成绩在70＜x≤80之间的是：72，72，79，78，75．
b．八年级10名同学测试成绩统计如下：85，72，92，84，80，74，75，80，76，82．
c．两个年级测试成绩的平均数、中位数、众数如表：
统计量
平均数
中位数
众数
七年级
80
m
72
八年级
80
80
n
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：m＝　 　，n＝　 　；
（2）若该校八年级共有900名学生，请根据上述调查结果估计八年级测试成绩在90＜x≤100之间的人数．

七、（本题满分12分）
22．（12分）已知抛物线y＝x2+ax+b的顶点坐标为（1，2）．
（1）求a，b的值；
（2）将抛物线y＝x2+ax+b向下平移m个单位得到抛物线C1，存在点（c，1）在C1上，求m的取值范围；
（3）抛物线C2：y＝（x﹣3）2+k经过点（1，2），直线y＝n（n＞2）与抛物线y＝x2+ax+b相交于A、B（点A在点B的左侧），与C2相交于点C、D（点C在点D的左侧），求AD﹣BC的值．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且BE＝DF，AE、AF分别与BD交于点G、H，过点G作GN⊥AF，垂足为M，交AD于点N．
（1）求证：AH＝GN；
（2）若∠EAF＝45°，求证：；
（3）如图2，过点G作GQ⊥AD，垂足为Q，交AF于点P．若GM＝4MN，求的值．


2023年安徽省马鞍山市花山区中考数学一模试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）﹣3的相反数是（　　）
A．﹣3 B．3 C． D．
【解答】解：﹣3的相反数是﹣（﹣3）＝3．
故选：B．
2．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．（ab）2＝ab2 B．2a÷3a＝﹣a C．3a•2a＝6a2 D．3a+2b＝5ab
【解答】解：A、（ab）2＝a2b2，故A不符合题意；
B、2a÷3a＝，故B不符合题意；
C、3a•2a＝6a2，故C符合题意；
D、3a与2b不属于同类项，不能合并，故D不符合题意；
故选：C．
3．（4分）2020年安徽省粮食总产803.8亿斤，居全国第4位．数据803.8亿用科学记数法表示为（　　）
A．803.8×108 B．8.038×109 C．8.038×1010 D．8.038×1011
【解答】解：803.8亿＝80380000000＝8.038×1010．
故选：C．
4．（4分）如图所示几何体的左视图是（　　）


A． B．
C． D．
【解答】解：从左边看，是一个矩形，矩形的中间有一条横向的虚线．
故选：D．
5．（4分）如图所示，已知AB∥CD，∠A＝50°，∠C＝∠E．则∠C等于（　　）

A．20° B．25° C．30° D．40°
【解答】解：∵AB∥CD，∠A＝50°，
∴∠A＝∠AOC（内错角相等），
又∵∠C＝∠E，∠AOC是外角，
∴∠C＝50°÷2＝25°．
故选：B．

6．（4分）如图所示，阴影是两个相同菱形的重合部分，假设可以随机在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：设阴影部分的面积是x，则整个图形的面积是7x，
则这个点取在阴影部分的概率是＝，
故选：C．
7．（4分）已知非负数a，b，c，满足bc＝（a2﹣b2﹣c2），则下列结论一定正确的是（　　）
A．a＝b+c B．b＝a+c C．c＝b+a D．ab＝a2+c2
【解答】解：∵bc＝（a2﹣b2﹣c2），
∴b2+2bc+c2＝a2，即（b+c）2＝a2；
∵a，b，c是非负数，
∴b+c＝a．
故选：A．
8．（4分）受疫情影响，某景区2020年上半年游客较少，随着国内疫情逐步得到控制，2020年下半年游客人数比2020年上半年增加了40%，预计2021年上半年游客人数将达到2020年上半年的2倍，设2021年上半年，与2020年下半年相比游客人数的增长率为x，则下列关系正确的是（　　）
A．（1+40%）（1+x）＝2 B．（1+40%）（1+x）2＝2
C．1+40%+x＝2 D．1+40%（1+x）＝2
【解答】解：依题意得：（1+40%）（1+x）＝2．
故选：A．
9．（4分）已知二次函数y＝ax2+（b﹣1）x+c+1的图象如图所示，则在同一坐标系中y1＝ax2+bx+1与y2＝x﹣c的图象可能是（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+（b﹣1）x+c+1的图象与x轴的交点的横坐标为m、n，
∴二次函数y＝ax2+bx+1与直线y＝x﹣c的交点的横坐标为m、n，
∴在同一坐标系中y1＝ax2+bx+1与y2＝x﹣c的图象可能是A，
故选：A．
10．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D为BC边上一动点（不与点B、C重合），CE垂直AD交AB于点E，垂足为点H，连接BH并延长交AC于点F，则以下结论错误的是（　　）

A．当CD＝BD时，CH＝
B．当CD＝BD时，AF＝2CF
C．当BD＝nCD时，AE＝（n+1）BE
D．BH的最小值为
【解答】解：当CD＝BD时，
∵BC＝4，
∴CD＝BC＝2，
∵∠ACB＝90°，AC＝4，
∴AD＝＝＝2，
∵CE垂直AD，
S△ACD＝AC•CD＝AD•CH，
∴AC•CD＝AD•CH，
∴CH＝＝＝，
故A正确，不符合题意；
如图，过点D作DM∥AC交BF于点M，

当CD＝BD时，
∴DM是△BCF的中位线，
∴CF＝2DM，
∵∠ACB＝90°，CE垂直AD，
∴∠ACD＝∠AHC＝∠DHC＝90°，
∴∠ACH+∠CAH＝90°，∠ACH+∠DCH＝90°，
∴∠CAH＝∠DCH，
∴△ACH∽△CDH，
∴＝，
∵∠CAH＝∠DAC，∠ACD＝∠AHC，
∴△ACH∽△ADC，
∴＝，
∵AC＝4，CD＝2，
∴＝＝＝2，
∴AH＝2CH＝4HD，
∵DM∥AC，
∴△DMH∽△AFH，
∴＝＝，
∴AF＝4DM＝2CF，
故B正确，不符合题意；
当BD＝nCD时，设CD＝a，则BD＝an，
∴AC＝BC＝an+a，
过点B作BN⊥BC交CE的延长线于点N，

∴∠CBN＝90°＝∠ACD，
∴∠N+∠BCN＝90°，
∵CE垂直AD，
∴∠BCN+∠HDC＝90°，
∴∠HDC＝∠N，
又AC＝BC，∠CBN＝∠ACD，
∴△ACD≌△CBN（AAS），
∴CD＝BN＝a，
∵∠ACD+∠CBN＝180°，
∴BN∥AC，
∴△ACE∽△BNE，
∴＝＝＝n+1，
∴AE＝（n+1）BE，
故C正确，不符合题意；
∵CH⊥AH，
∴点H在以AC为直径的圆上，
当BH最短时，点F为AC的中点，
∴CF＝AC＝2，
∴BF＝＝2，
∴BH的最小值为2﹣2，
故D错误，符合题意；
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）不等式3x+1＞5x﹣1的解集是 　 　．
【解答】解：3x+1＞5x﹣1，
移项，得3x﹣5x＞﹣1﹣1，
合并同类项，得﹣2x＞﹣2，
系数化成1，得x＜1，
故答案为：x＜1．
12．（5分）若关于x函数y＝ax2﹣（a﹣3）x+1的图象与x轴有唯一公共点，则a＝　 　．
【解答】解：若a＝0，函数解析式变形为y＝3x+1，与x轴只有一个公共点，符合题意；
若a≠0，由抛物线与x轴只有一个公共点，得到△＝（a﹣3）2﹣4a＝0，
解得：a＝1或9，
故答案为：a＝0或a＝1或a＝9．
13．（5分）反比例函数y＝（x＞0）和y＝（x＞0）的图象如图所示，直线x＝1交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点A，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B，点C的坐标为（3，0），连接AC、BC，若△ABC的面积为3，则k的值为 　 　．

【解答】解：设直线x＝1与x轴交于点D，

将x＝1代入y＝，
解得y＝4，
∴B（1，4），
∵C（3，0），
∴S△BCD＝＝4，
∵△ABC的面积为3，
∴△ADC的面积为3+4＝7，
即AD×CD＝7，
∴AD＝7
∴A（1，7），
将A点坐标代入y＝，
解得k＝7
故答案为：7．
14．（5分）如图1，四边形ABCD和四边形CEGF均是正方形，其中点G在四边形ABCD的对角线AC上．

（1）AG与BE之间的数量关系为 　 　；
（2）将正方形CEGF绕点C顺时针旋转，当B、E、F三点共线时，如图2，CG的延长线交AD于点H．若CH＝5，GH＝，则AG的长为 　 　．
【解答】解：（1）∵四边形CEGF是正方形，
∴∠CEG＝90°，∠ECG＝45°，＝，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，∠BCA＝45°，
∴A、G、C三点共线，
∵∠CEG＝∠B＝90°，
∴AB∥GE，
∴，
∴AG＝BE；
故答案为：AG＝BE；
（2）∵四边形CEGF是正方形，
∴∠CGF＝45°，
∵∠AGH＝∠CGF＝45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠HAC＝45°，
∴∠AGH＝∠HAC，
∵∠AHG＝∠CHA，
∴△AGH∽△CAH，
∴，
∴AH2＝CH•GH，
∵CH＝5，GH＝，
∴，
∴或（舍去），
∴，即AG＝，
设DH＝a，则CD＝AD＝AH+DH＝，
在Rt△CDH中，由勾股定理得CH2＝DH2+CD2，
即，
解得：a＝或（舍去），
∴DH＝，CD＝AD＝，
∴AC＝CD＝，
∴AG＝×＝4
故答案为：4．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：（﹣）﹣3+（π﹣2）0﹣|2﹣4sin60°|．
【解答】解：原式＝（﹣2）3+1﹣|2﹣4×|
＝﹣8+1﹣（2﹣2）
＝﹣8+1﹣2+2
＝﹣5﹣2．
16．（8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点为网格线的交点）．
（1）将△ABC先向左平移5个单位，再向下平移3个单位，得到△A1B1C1，并画出平移后的△A1B1C1；
（2）请在网格中，用无刻度的直尺画出线段AC的垂直平分线PQ，交AB于点P，交AC于点Q（保留作图痕迹）．

【解答】解：（1）如图：△A1B1C1即为所求；

（2）如图所示，PQ即为所求．
∵BC2＝AC2＝5，AB2＝10，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴AC⊥BC，
作AB所在1×3格的另外一条对角线交AB于点P，
然后作AC所在1×2格的另外一条对角线交AC于点Q，连接PQ，
根据网格可知：PQ是△ABC的中位线，
∴PQ∥BC，
∴PQ⊥AC，
∴PQ是线段AC的垂直平分线．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）抗击新冠疫情需要大量口罩．某车间接受了生产口罩的任务，在加工完1200只口罩任务后，采用了新技术，工效是原来的1.5倍．这样，再次加工1200只口罩就比原先加工1200只口罩少用了10分钟．求采用新技术后每分钟加工多少只口罩．
【解答】解：设原来每分钟加工x只口罩，
根据题意，得，
解得x＝40，
经检验，x＝40是原方程的根，且符合题意，
40×1.5＝60（只），
答：采用新技术后每分钟加工60只口罩．
18．（8分）观察下列等式：
①13+23＝3×（1﹣2+4）
②23+33＝5×（4﹣6+9）
③33+53＝8×（9﹣15+25）
④63+103＝16×（36﹣60+100）
…
（1）请再写出一个符合上述规律的式子：　 　；
（2）请你把发现的规律用字母a、b表示出来，并证明．
【解答】解：（1）由题意得：73+83＝15×（49﹣56+64）；
故答案为：73+83＝15×（49﹣56+64）；
（2）猜想等式：a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2），
证明：右边＝（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3﹣a2b+ab2+a2b﹣ab2+b3＝a3+b3，
右边＝a3+b3，
∴左边＝右边，
∴猜想成立．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D．测得CD＝80m，∠ACD＝90°，∠BCD＝45°，∠ADC＝19°17′，∠BDC＝56°19′．设A，B，C，D在同一平面内，求A，B两点之间的距离．
（参考数据：tan19°17′≈0.35，tan56°19′≈1.50．）

【解答】解：过B作BE⊥CD于E，过A作AF⊥BE于F，如图：

∵∠BCD＝45°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
设CE＝x，则BE＝x，
∵CD＝80m，
∴DE＝（80﹣x）m，
Rt△BDE中，∠BDC＝56°19'，
∴tan56°19'＝，即＝1.5，
解得x＝48（m），
∴BE＝CE＝48m，
Rt△ACD中，∠ADC＝19°17′，CD＝80m，
∴tan19°17'＝，即＝0.35，
解得AC＝28m，
∵∠ACD＝90°，BE⊥CD于E，AF⊥BE，
∴四边形ACEF是矩形，
∴AF＝CE＝48m，EF＝AC＝28m，
∴BF＝BE﹣EF＝20m，
Rt△ABF中，AB＝＝＝52（m），
答：A，B两点之间的距离是52m．
20．（10分）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，且AB为⊙O的直径，DE与⊙O相切于点D，交AB的延长线于点E，连接OD交BC于点F，连接AD、CD，∠E＝∠ADC．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若CF＝2DF，AC＝8，求⊙O的半径r．

【解答】（1）证明：由圆周角定理得：∠ABC＝∠ADC，
∵∠E＝∠ADC，
∴∠ABC＝∠ADC，
∴BC∥DE，
∵DE与⊙O相切于点D，
∴OD⊥DE，
∴OD⊥BC，
∴＝，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：∵OD⊥BC，
∴BF＝FC，
∵BO＝OA，
∴OF＝AC＝4，
∴DF＝r﹣4，
∴BF＝CF＝2DF＝2（r﹣4），
在Rt△BOF中，OB2＝OF2+BF2，
即r2＝42+（2r﹣8）2，
解得：r1＝，r2＝4（舍去），
答：⊙O的半径r为．
六、（本题满分12分）
21．（12分）某中学为了让学生能更好地了解新修订的《未成年人保护法》，组织七、八年级学生对《未成年人保护法》中的相关知识进行学习并进行测试，现分别从七、八两个年级各随机抽取10名学生的测试成绩x（分），并对其统计、整理如下：
a．七年级10名学生测试成绩扇形统计图如下，其测试成绩在70＜x≤80之间的是：72，72，79，78，75．
b．八年级10名同学测试成绩统计如下：85，72，92，84，80，74，75，80，76，82．
c．两个年级测试成绩的平均数、中位数、众数如表：
统计量
平均数
中位数
众数
七年级
80
m
72
八年级
80
80
n
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：m＝　 　，n＝　 　；
（2）若该校八年级共有900名学生，请根据上述调查结果估计八年级测试成绩在90＜x≤100之间的人数．

【解答】解：（1）60≤x≤70的人数为10×10%＝1（人），
70＜x≤80的人数为10×50%＝5（人），
∴七年级中位数在70＜x≤80中，
由题意知七年级中位数m＝＝78.5，
八年级众数n＝80，
故答案为：78.5，80；
（2）估计八年级测试成绩在90＜x≤100之间的人数为900×＝90（人）．
七、（本题满分12分）
22．（12分）已知抛物线y＝x2+ax+b的顶点坐标为（1，2）．
（1）求a，b的值；
（2）将抛物线y＝x2+ax+b向下平移m个单位得到抛物线C1，存在点（c，1）在C1上，求m的取值范围；
（3）抛物线C2：y＝（x﹣3）2+k经过点（1，2），直线y＝n（n＞2）与抛物线y＝x2+ax+b相交于A、B（点A在点B的左侧），与C2相交于点C、D（点C在点D的左侧），求AD﹣BC的值．
【解答】解：（1）由题意得，，
解得；
（2）由（1）知，抛物线y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
将其向下平移m个单位得到抛物线C1，
∴抛物线C1的解析式为y＝（x﹣1）2+2﹣m，
∵存在点（c，1）在C1上，
∴（c﹣1）2+2﹣m＝1，即（c﹣1）2＝m﹣1有实数根，
∴m﹣1≥0，
解得m≥1，
∴m的取值范围为m≥1；
（3）∵抛物线C2：y＝（x﹣3）2+k经过点（1，2），
∴（1﹣3）2+k＝2，
解得k＝﹣2，
∴抛物线C2的解析式为y＝（x﹣3）2﹣2，
把y＝n（n＞2）代入到y＝（x﹣1）2+2中，
得n＝（x﹣1）2+2，
解得x＝1﹣或x＝1+，
∴A（1﹣，n），B（1+，n），
把y＝n（n＞2）代入到y＝（x﹣3）2﹣2中，
得n＝（x﹣3）2﹣2，
解得x＝3﹣或x＝3+，
∴C（3﹣，n），D（3+，n），
∴AD＝（3+）﹣（1﹣）＝2++，
BC＝（1+）﹣（3﹣）＝﹣2++，
∴AD﹣BC＝（2++）﹣（﹣2++）＝4．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且BE＝DF，AE、AF分别与BD交于点G、H，过点G作GN⊥AF，垂足为M，交AD于点N．
（1）求证：AH＝GN；
（2）若∠EAF＝45°，求证：；
（3）如图2，过点G作GQ⊥AD，垂足为Q，交AF于点P．若GM＝4MN，求的值．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADF＝90°，
∵BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴∠BAE＝∠DAF，
∵GN⊥AF，
∴∠AMN＝90°，
∴∠MAN+∠MNA＝90°，
∵∠BAE+∠GAN＝∠BAD＝90°，
∴∠GAN＝∠GNA，
∴AG＝GN，
∵∠ABD+∠BAE＝∠ADB+∠DAF，
即∠AGH＝∠AHG，
∴AG＝AH，
∴AH＝GN；
（2）证明：连接AC，

在正方形ABCD中，∠BAC＝45°，∠EAF＝45°，
∴∠BAC＝∠EAF，
∴∠BAG＝∠CAF，
在正方形ABCD中，∠ABG＝∠ACF＝45°，
∴△ABG∽△ACF，
∴＝，
∵AG＝AH，
∴＝；
（3）解：由（1）知，AG＝GN，

∵GQ⊥AD，
∴AQ＝NQ，∠AQG＝∠NQG，
设AQ＝NQ＝a，MN＝b，
∵GM＝4MN，
∴AN＝2a，GM＝4b，GN＝5b，
∵GN⊥AF，
∴∠AMG＝∠AMN＝90°，
∵∠GQN＝∠AMN＝90°，
又∵∠GNQ＝∠ANM，
∴△GNQ∽△ANM，
∴＝，
即＝，
∴＝，
∵∠GPM＝∠APQ，∠AQP＝∠GMP＝90°，
∴△APQ∽△GPM，
∴＝＝＝．