2023年安徽省马鞍山市雨山区建中学校中考数学一模试卷（含答案）

这是一份2023年安徽省马鞍山市雨山区建中学校中考数学一模试卷（含答案），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年安徽省马鞍山市雨山区建中学校中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  的倒数为(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列运算结果正确的是(    )A.  B.
C.  D. 3.  下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有几个(    )
 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个4.  系列苹果手机预计于年月份上市中国大陆，其内部的芯片加入光线追踪功能，将宽度压缩到米，将数字米用科学记数法表示为(    )A. 米 B. 米 C. 米 D. 米5.  某商场销售某种水果，第一次降价，第二次又降价，则这两次平均降价的百分比是(    )A.  B.  C.  D. 6.  如图，点是中优弧的中点，，为劣弧上一点，则的度数是(    )A.
B.
C.
D. 7.  已知，，分别是三角形的三边，则方程的根的情况是(    )A. 没有实数根 B. 可能有且只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根8.  如图，点为反比例函数上的一动点，作轴于点，的面积为，则函数的图象为(    )
 A.  B.  C.  D. 9.  已知点、、在二次函数的图象上，且为抛物线的顶点若，则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 10.  直角梯形中，，，，在上运动，则取最小值时，边上的高是多少(    )A.
B.
C.
D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11.  把多项式分解因式的结果为        ．12.  如图，在中，，以点为圆心，以任意长为半径作弧交，于，两点；分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，在内两弧相交于点；作射线交于点，过点作，垂足为若，则的周长等于______．
 13.  数学中，把这个比例称为黄金分割比例鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工如图，是的黄金分割点，若线段的长为，则的长为        ．
14.  如图，在菱形中，，，点是边上一点，以为对称轴将折叠得到，再折叠使落在直线上，点的对应点为点，折痕为且交于点．
______；
若点是的中点，则的长为______．三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.  本小题分
计算：．16.  本小题分
孙子算经是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣：“今有妇人河上荡杯津吏问曰：杯何以多？妇人曰：家有客津吏曰：客几何？妇人曰：二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯七十八不知客几何？”译文：“人同吃一碗饭，人同吃一碗羹，人同吃一碗肉，共用个碗，间有多少客人？”17.  本小题分
在平面直角坐标系内，的位置如图所示．
将绕点顺时针旋转得到，作出．
以原点为位似中心，在第四象限内作出的位似图形，且与的相似比为：．
18.  本小题分
如图，我们把一个矩形称作一个基本图形，把矩形的顶点及其对称中心称作基本图形的特征点，显然这样的基本图形共有个特征点，将此基本图形不断地复制并平移，使得相邻两个基本图形的两个特征点重合，这样得到第个图；第个图；．

观察以上图形并完成下表：基本图形的个数特征点的个数______ 猜想：在第“”个图中特征点的个数为______；用含的代数式表示
在平面直角坐标系中，点、点是坐标轴上的两点，且，以、为边作一个矩形，其一条对角线所在直线的解析式为，将此矩形作为基本图形不断复制和平移，如图所示，若各矩形的对称中心分别为、、、，则的坐标为______．
 19.  本小题分年月日是第个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．如图，当张角时，顶部边缘处离桌面的高度的长为，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角时点是的对应点，用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘处离桌面的高度的长．结果精确到；参考数据：，，20.  本小题分
如图，是的直径四边形内接于，，对角线与交于点，在的延长线上取一点，使，连接．
求证：是的切线．
若，，求的半径．
21.  本小题分
某中学持续开展了“：青年大学习；：青年学党史；：中国梦宣传教育；：社会主义核心价值观培育践行”等一系列活动，学生可以任选一项参加为了解学生参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图．

请根据图中提供的信息，解答下列问题：
在这次调查中，一共抽取了        名学生；
补全条形统计图；
若该校共有学生名，请估计参加项活动的学生数；
小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率．22.  本小题分
网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗已知板栗的成本价为元，每日销售量与销售单价元满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于元设公司销售板栗的日获利为元． 元直接写出日销售量与销售单价之间的函数关系式为        ；不用写自变量的取值范围
当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
当销售单价在什么范围内时，日获利不低于元？23.  本小题分
如图，在菱形中，，点在边上，点在的延长线上，，相交于点，连接，．
求证：；
求证：∽；
如图，连接，若，点是的中点，求长．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
的倒数为．
故选C．
直接根据倒数的定义即可得出结论．
本题考查的是倒数的定义，熟知乘积是的两数互为倒数是解答此题的关键．
 2.【答案】 【解析】解：，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项符合题意；
D.，故此选项不合题意；
故选：．
直接利用同底数幂的乘法、积的乘方法则、单项式除以单项式运算法则和平方差公式分别判断即可得出答案．
此题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握同底数幂的乘法、积的乘方法则、单项式除以单项式运算法则和平方差公式是解题关键．
 3.【答案】 【解析】解：第一个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
第二个图形是轴对称图形，是中心对称图形；
第三个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
第四个图形不是轴对称图形，是中心对称图形；
既是中心对称图形又是轴对称图形的有个，
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图形重合．
 4.【答案】 【解析】解：米米．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 5.【答案】 【解析】解：设这两次平均降价的百分比是，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去，
这两次平均降价的百分比是．
故选：．
设这两次平均降价的百分比是，利用经过两次降价后的价格原价这两次平均降价的百分比，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：点是中优弧的中点，
，
，
，
，
，
故选：．
根据弧、弦、圆心角的关系得到，根据等边对等角求出，再根据圆内接四边形对角互补得到．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了圆内接四边形的性质．
 7.【答案】 【解析】解：，
根据三角形三边关系，得，．
．
该方程没有实数根．
故选：．
由于这个方程是一个一元二次方程，所以利用根的判别式可以判断其根的情况．
能够根据三角形的三边关系，得到关于，，的式子的符号．
本题是方程与几何的综合题．
主要考查了三角形三边关系、一元二次方程的根的判别式等知识点．重点是对进行因式分解．
 8.【答案】 【解析】解：设点坐标为，
点在第一象限且在函数的图象上，
，
，即．
一次函数的解析式为：，
一次函数的图象经过点，的直线．
故选A．
先根据反比例函数系数的几何意义，求出的值等于，然后求出一次函数的解析式，再确定一次函数的图象经过点，即可确定选项．
考查了反比例函数的比例系数的几何意义，解答此题的关键是根据反比例函数系数的几何意义求出的值，再根据一次函数解析式确定与坐标轴的交点．
 9.【答案】 【解析】解：抛物线的对称轴为直线，
为抛物线的顶点，
，
，
抛物线开口向下，
，，
当点和在直线的左侧，；
当点和在直线的两侧，则，解得；
综上所述，的范围为．
故选：．
先求出抛物线的对称轴方程，再根据二次函数的性质，当点和在直线的右侧时；当点和在直线的两侧时，然分别解两个不等式即可得到的范围．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：熟练掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
 10.【答案】 【解析】解：过作于，作关于的对称点，连接交于，此时的值最小，
，，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
和关于对称，
，
，
∽，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
设的边上的高是，
由三角形的面积公式得：，
即，
解得：，
故选：．
过作于，作关于的对称点，连接交于，此时的值最小，求出矩形，求出，求出、，根据相似求出，根据勾股定理求出，在中，根据三角形的面积公式求出即可．
本题考查了矩形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理，直角梯形等知识点的应用，解此题的关键是正确找出点，并进一步求出各个线段的长，通过做此题培养了学生综合运用性质进行计算的能力．
 11.【答案】 【解析】解：

．
故答案为：．
先提取公因式，然后再运用平方差公式分解因式即可．
本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的步骤与方法．
 12.【答案】 【解析】解：在中，
，
，
，
由作图方法可得：平分，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
的周长．
故答案为：．
直接利用尺规作图作一个角的平分线结合全等三角形的判定与性质进而得出，即可得出答案．
此题主要考查了尺规作图作一个角的平分线以及全等三角形的判定与性质，正确理解基本作图方法是解题关键．
 13.【答案】 【解析】解：点是的黄金分割点，线段的长为，
，
，
．
故答案为：
根据黄金分割的定义进行计算即可解答．
本题考查了黄金分割的比例线段，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
 14.【答案】  【解析】解：由翻折可得，，
，
，
，
即．
故答案为：．
四边形为菱形，
，
，
由翻折可得，，，，
点是的中点，
，
，
即点与点重合．
，
点，，三点在同一条直线上．
过点作，交的延长线于点．

，，
，，
，，
由翻折可得，，
设，
则，，
由勾股定理可得，
解得，
．
故答案为：．
由翻折可得，，则，根据，可得，即．
根据题意可得点与点重合，且点，，三点在同一条直线上．过点作，交的延长线于点由，，可得，，则，，由翻折可得，，设，则，，由勾股定理可得，解得，进而可得出答案．
本题考查翻折变换折叠问题、菱形的性质、勾股定理，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键．
 15.【答案】解：原式
． 【解析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
 16.【答案】解：设有个客人，
则，
解得，，
答：有个客人． 【解析】设共有客人人，根据“人同吃一碗饭，人同吃一碗羹，人同吃一碗肉，共用个碗”列出方程即可．
本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程．
 17.【答案】解：如图，即为所作．

如图，即为所作． 【解析】分别作出点、、绕点顺时针旋转后的对应点、、，顺次连接即可；
分别连接、、并分别延长到点、、，使得、、，顺次连接、、即可．
此题考查了旋转和位似图形的作图，熟练掌握作图方法是解题的关键．
 18.【答案】     【解析】解：由题意，第一个图形：．
第二个图形：，
第三个图形：，
第四个图形，，
，
第个图形，，
故答案为：，；

由题意，，
，
，
，
，即
故答案为：
探究规律后，利用规律解决问题即可；
分别求出，的坐标，探究规律后解决问题．
本题考查规律型点的坐标，利用平移设计图案，正比例函数的性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
 19.【答案】解：，
，
在中，，
，
由题意得：，
，
，
在中，，
此时顶部边缘处离桌面的高度的长约为． 【解析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
利用平角定义先求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再利用平角定义求出的度数，最后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
 20.【答案】解：证明：是的直径，
，
，，
又，
，
．
，
，
，
是的切线．
如图，连接交于，

，
，
，，
，
在中，．
设的半径为，则，
，
，
．
的半径即． 【解析】由圆周角定理得出，由等腰三角形的性质得出证得，则可得出结论；
连接交于，求出，由勾股定理可得出答案．
本题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定是解题关键．
 21.【答案】 【解析】解：在这次调查中，一共抽取了学生名，
故答案为：；
参加项活动的人数为名，补全条形统计图如下：

名，故估计参加项活动的学生为名；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小杰和小慧参加同一项活动的结果有种，
小杰和小慧参加同一项活动的概率为．
由的人数除以所占的比例即可；
求出的人数，补全条形统计图即可；
由该校共有学生乘以参加项活动的学生所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中小杰和小慧参加同一项活动的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了条形统计图和扇形统计图综合，以及用树状图法或列表法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．掌握公式：概率所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
 22.【答案】 【解析】解：设与之间的函数关系式为，
把，和，代入得：，
解得：，
；
故答案为：；
由题意得：，
，对称轴为直线．
，
当时，有最大值为元，
当销售单价定为元时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为元；
当元时，
有：，
解得：或，
，
当时，，
又，
当时，日获利不低于元．
用待定系数法求解即可；
由题意可得关于的二次函数，将其写成顶点式，然后根据二次函数的性质可得答案；
由题意可得关于的一元二次方程，求得方程的根，再结合的取值范围，可得答案．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握待定系数法、二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
 23.【答案】证明：在菱形中，，
，，为等边三角形，
，
，
，
≌，
；

证明：由知，≌，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
∽；

如图，过点作，交的延长线于，
在菱形中，，，
点是的中点，
，
在中，，
，根据勾股定理得，，
在中，，
，
由知，是等边三角形，
，
由知，≌，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
根据勾股定理得，． 【解析】判断出，即可得出结论；
先判断出是等边三角形，得出，进而用等式的性质得出，即可得出结论；
先求出，进而求出，进而得出，，再借助的结论求出，进而判断出，最后用勾股定理求解即可得出结论．
此题是相似形综合题，主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，作出辅助线构造出直角三角形是解的关键．