2022年安徽省马鞍山市中加双语学校 中考数学一模试卷(含答案)
展开安徽省马鞍山市中加双语学校2022年中考数学一模试卷(解析版)
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)每小题都给出A、B、C、D四个选项,其中只有一个是符合题目要求的.
1.在﹣1,﹣2,0,0.1这四个数中,最小的数是( )
A.﹣1 B.﹣2 C.0 D.0.1
2.计算(﹣x)3÷x的结果是( )
A.﹣x2 B.x2 C.﹣x3 D.x3
3.今年我省夏粮总产量近1700万吨,居全国第三位.其中1700万用科学记数法表示为( )
A.17×106 B.1.7×107 C.1.7×108 D.1.7×109
4.如图,该几何体的左视图是( )
A. B. C. D.
5.下列因式分解正确的是( )
A.y2﹣x2=(y+x)(x﹣y) B.x2﹣4x+2=(x﹣2)2
C.9xy2+6xy+x=x(3y+1)2 D.x2y﹣xy2=x(x+y)(x﹣y)
6.下列命题是真命题的是( )
A.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
B.一组邻边相等的平行四边形是正方形
C.对角线相等的平行四边形是正方形
D.对角线平分内角的平行四边形是正方形
7.如图,在1×3的正方形网格上确定了两个格点(网格线的交点),从其余的格点中随机选取第三个格点,与这两个格点组成的三角形是等腰三角形的概率是( )
A. B. C. D.
8.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O.已知:∠BAD=∠AOD,AB=2,则AC的长为( )
A. B. C. D.
9.如图,已知正比例函数y=mx的图象与反比例函数的图象交于A(a,b),B(c,d)两点,ad+bc的值为( )
A.﹣2m B.2m C.﹣2n D.2n
10.点M为正方形ABCD的边AD的中点,分别连接AC,CM,EA⊥AC交CM的延长线于E,DF⊥CM于F,交AC于G.设△ADG、△CDF、△AEM和△CDG的面积分别为S△ADG、S△CDF、S△AEM和S△CDG,则下列结论错误的是( )
A.AE=AG B.DG=2EM
C.S△AEM=S△ADG D.S△AEM=S△CDG
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
11.(5分)计算:﹣(﹣1)= .
12.(5分)如图,△ABC内接于⊙O,连接OB,已知∠OBA=20°,则∠ACB= .
13.(5分)在平面直角坐标系xOy中,两条直线y=2x+2和y=﹣x﹣4分别交x轴于点A和点B.已知直线l:y=kx+b与x轴的交点在线段AB上,且y随x增大时而减小,请你写出一个符合条件的直线l的函数解析式 (写出一个即可).
14.(5分)在数学探究活动中,小明进行了如下操作:如图,在三角形纸片ABC(∠C=90°)中剪下以C点为一个顶点,另3个顶点分别在AC、AB、BC上的一个正方形CDEF,量得BE=10cm,AE=20cm.
(1)正方形CDEF的面积为 .
(2)设△ADE和△BEF的面积分别为S1、S2,S1+S2的值为 .
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
15.(8分)解不等式.
16.(8分)如图,在每个小正方形的边长为1个单位的网格中,△ABC的顶点均在格点(网格线的交点)上.
(1)将△ABC向上平移2个单位,再向右平移3个单位得到△DEF,画出△DEF(点D,E,F分别为A,B,C的对应点);
(2)将△ABC绕点F顺时针旋转90°得到△GHI,画出△GHI.
四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
17.(8分)如图,兰兰在山坡A处放风筝,在A点观察风筝P的仰角为37°,风筝线PA的长为20米.已知山坡的坡角∠ABC=32°,AB=40米,求风筝P距离地面BC的高度.(精确到0.1米,参考数据sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,sin32°≈0.53,cos32°≈0.85.)
18.(8分)观察下列由黑点组成的图形
图1中黑点个数为1,
图2中黑点个数为2+3+4=9,
图3中黑点个数为3+4+5+6+7=25,
图4中黑点个数为4+5+6+7+8+9+10=49
…
按照以上规律,解决下列问题:
(1)图5中黑点个数对应的等式为: ;
(2)写出你猜想图n中黑点个数对应的等式: .(用含n的等式表示,y=x2﹣2x+m2+2,且y=x2﹣2x+m2+2为整数);
(3)我们知道y=x2﹣2x+m2+2.利用其证明(2)的结论.
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19.(10分)某项工程,甲工程队单独施工10天后,为加快进度,乙工程队也加入一起施工,这样共用30天完成了任务.已知乙工程队单独施工需要40天完成.
(1)求甲工程队单独完成此项工程所需的天数;
(2)如果两队一开始就合作完成此项工程,需要多少天?
20.(10分)如图,△ABC内接于⊙O,CD⊥AB于D,交⊙O于E,OF⊥BC于F.
(1)若AD=1,CD=3,BC=5,求OF的长;
(2)连接AE,求证AE=2OF.
六、(本题满分24分)
21.(12分)某中学为了加强劳动教育,学校在2000名学生中随机调查了100名学生暑假期间每周参与家务劳动的时间(以整分钟计算,由学生家长提供数据),根据调查数据制成了频率分布表和频数分布直方图,部分信息如下:
(1)补全频率分布表中的数据,并补充完整频数分布直方图;
(2)本次调查中,该校学生暑假期间每周参与家务劳动时间的中位数在哪一组(直接写出结果);
(3)学校准备对参与家务劳动时间不多于150分钟的学生家庭发出“热爱劳动,孝敬父母”倡议书,大约应准备多少份倡议书?
分组
频数
频率
0.5~50.5
10
0.10
50.5~100.5
20
0.20
100.5~150.5
30
0.30
150.5~200.5
200.5~250.5
10
0.10
250.5~300.5
5
0.05
合计
100
1.00
22.(12分)已知二次函数y=x2﹣2x+m2+2,其中m为实数.
(1)试判断二次函数y=x2﹣2x+m2+2的图象与x轴的交点个数;
(2)与x轴平行的直线与这条抛物线相交于M,N两点(点M在点N的左侧),若点M的横坐标为p,用含p的代数式表示点N的横坐标;
(3)设二次函数y=x2﹣2x+m2+2图象的顶点为A,与y轴的交点为B.点P为线段AB上一动点,PQ垂直于x轴,且PQ交二次函数y=x2﹣2x+m2+2的图象于Q,求线段PQ的最大值.
八、(本题满分14分)】
23.(14分)如图1,△ABC和△CDE都是等边三角形,且A,C,E在同一条直线上,分别连接AD,BE.
(1)求证:AD=BE;
(2)如图2,连接BD,若M,N,Q分别为AB,DE,BD的中点,过N作NP⊥MN与MQ的延长线交于P,求证:MP=AD;
(3)如图3,设AD与BE交于F点,点M在AB上,MG∥AD,交BE于H,交CF的延长线于G,试判断△FGH的形状.
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)每小题都给出A、B、C、D四个选项,其中只有一个是符合题目要求的.
1.在﹣1,﹣2,0,0.1这四个数中,最小的数是( )
A.﹣1 B.﹣2 C.0 D.0.1
【分析】把各数在数轴上表示出来,根据数轴的特点即可得出结论.
【解答】解:如图,
所以最小的数是﹣2.
故选:B.
【点评】本题考查的是有理数的大小比较,熟知数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键.
2.计算(﹣x)3÷x的结果是( )
A.﹣x2 B.x2 C.﹣x3 D.x3
【分析】根据同底数的幂的除法运算即可求出答案.
【解答】解:原式=﹣x3÷x
=﹣x2,
故选:A.
【点评】本题考查同底数幂的除法运算,解题的关键是熟练运用同底数幂的除法运算法则,本题属于基础题型.
3.今年我省夏粮总产量近1700万吨,居全国第三位.其中1700万用科学记数法表示为( )
A.17×106 B.1.7×107 C.1.7×108 D.1.7×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于1时,n是正数;当原数的绝对值小于1时,n是负数.
【解答】解:1700万=17000000=1.7×107.
故选:B.
【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
4.如图,该几何体的左视图是( )
A. B. C. D.
【分析】根据左视图是从左边看,得出结论即可.
【解答】解:由题意知,原几何体的左视图为,
故选:D.
【点评】本题主要考查简单组合体的三视图,熟练掌握三视图的知识是解题的关键.
5.下列因式分解正确的是( )
A.y2﹣x2=(y+x)(x﹣y) B.x2﹣4x+2=(x﹣2)2
C.9xy2+6xy+x=x(3y+1)2 D.x2y﹣xy2=x(x+y)(x﹣y)
【分析】各式分解得到结果,即可作出判断.
【解答】解:A、原式=(y+x)(y﹣x),不符合题意;
B、原式不能分解,不符合题意;
C、原式=x(9y2+6y+1)=x(3y+1)2,符合题意;
D、原式=xy(x﹣y),不符合题意.
故选:C.
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
6.下列命题是真命题的是( )
A.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
B.一组邻边相等的平行四边形是正方形
C.对角线相等的平行四边形是正方形
D.对角线平分内角的平行四边形是正方形
【分析】分别根据平行四边形的性质及正方形的性质对各选项进行逐一分析即可.
【解答】解:A、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形是真命题,符合题意;
B、一组邻边相等的平行四边形是正方形是假命题,不符合题意;
C、对角线相等的平行四边形是正方形是假命题,不符合题意;
D、对角线平分内角的平行四边形是正方形假命题,不符合题意.
故选:A.
【点评】本题考查的是命题与定理,熟知平行四边形与正方形的判定定理是解题的关键.
7.如图,在1×3的正方形网格上确定了两个格点(网格线的交点),从其余的格点中随机选取第三个格点,与这两个格点组成的三角形是等腰三角形的概率是( )
A. B. C. D.
【分析】直接由概率公式求解即可.
【解答】解:∵在1×3的正方形网格中共有8个格点,确定了两个格点,
∴从其余的格点中随机选取第三个格点,与这两个格点组成的三角形是等腰三角形的概率为=,
故选:B.
【点评】本题考查了概率公式以及等腰三角形的判定,熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键.
8.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O.已知:∠BAD=∠AOD,AB=2,则AC的长为( )
A. B. C. D.
【分析】通过证明△ABO∽△ACB,可得,即可求解.
【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AO=CO=AC,
∴∠ABC+∠BAD=180°,
∵∠AOD+∠BOA=180°,∠BAD=∠AOD,
∴∠ABC=∠AOB,
又∵∠BAC=∠BAO,
∴△ABO∽△ACB,
∴,
∴,
∴AC=2,
故选:A.
【点评】本题考查了平行四边形的性质,相似三角形的判定和性质,证明三角形相似是解题的关键.
9.如图,已知正比例函数y=mx的图象与反比例函数的图象交于A(a,b),B(c,d)两点,ad+bc的值为( )
A.﹣2m B.2m C.﹣2n D.2n
【分析】先根据图象过点,坐标满足函数解析式,再根据对称性求解.
【解答】解:∵反比例函数的图象过点A(a,b),
∴ab=n,
∵正比例函数y=mx的图象与反比例函数的图象都是关于原点成中心对称,
∴A(a,b),B(c,d)关于原点成中心对称,
∴a=﹣c,b=﹣d,
∴ad+bc=﹣ab﹣ab=﹣2ab=﹣2n,
故选:C.
【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点,图象的对称性是解题的关键.
10.点M为正方形ABCD的边AD的中点,分别连接AC,CM,EA⊥AC交CM的延长线于E,DF⊥CM于F,交AC于G.设△ADG、△CDF、△AEM和△CDG的面积分别为S△ADG、S△CDF、S△AEM和S△CDG,则下列结论错误的是( )
A.AE=AG B.DG=2EM
C.S△AEM=S△ADG D.S△AEM=S△CDG
【分析】连接BD交AC于交CM于P,易证△AEM≌△DPM,所以AE=DP;利用ASA易证△CDP≌△DAG.所以AG=DP=AE,即A正确;易证△DMP∽△BCP,所以MP:CP=DM:BC=1:2,因为EM=MP,所以CP=2EM,又因为△CDP≌△DAG,所以CP=DG,所以DG=2EM,即B正确,C正确;易证△AEM≌△AGH,△AGH∽△CGD,所以AM=AH=AD,△AEM∽△CGD,因为AH:CD=1:2,所以S△AEM=S△AGM=S△CDG,即D错误.
【解答】解:如图,连接BD交AC于交CM于P,交AC于点O,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AC⊥BD,
∵EA⊥AC,
∴BD∥EA,
∴∠PDM=∠EAM,
∵点M为AD的中点,
∴DM=AM,
∴△AEM≌△DPM(ASA),
∴AE=DP;
∵DF⊥CM,
∴∠CFD=90°,
∴∠CDF+∠DCF=90°,
∵∠CDF+∠ADH=90°,
∴∠ADH=∠DCF,
∵∠CDP=∠DAC=45°,AD=DC,
∴△CDP≌△DAG(AAS),
∴AG=DP=AE,即A正确;
∵AD∥BC,
∴△DMP∽△BCP,
∴MP:CP=DM:BC=1:2,
∵EM=MP,
∴CP=2EM,
∵△CDP≌△DAG,
∴CP=DG,
∴DG=2EM,即B正确;
∴S△AEM=S△ADG,故C正确;
∵∠DFP=∠COP=90°,∠DPF=∠CPO,
∴∠DMP=∠DAC+∠MCA=45°+∠MCA,
∠AHD=∠ABD+∠BDH=45°+∠BDH,
∴∠DMP=∠AHD=∠AME,
∵AE=DP=AG,∠GAH=∠EAM=45°,
∴△AEM≌△AGH(AAS),
∴AM=AH,
∵AB∥CD,
∴△AGH∽△CGD,
∴AM=AH=AD,
∴△AEM∽△CGD,
∵AH:CD=1:2,
∴S△AEM=S△AGM=S△CDG,即D错误.
故选:D.
【点评】本题主要考查正方形的性质,全等三角形的性质与判定,相似三角形的性质与判定等,得出△CDP≌△DAG是解题关键.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
11.(5分)计算:﹣(﹣1)= ﹣2 .
【分析】先计算开立方,再计算减法进行求解.
【解答】解:﹣(﹣1)
=﹣3+1
=﹣2,
故答案为:﹣2.
【点评】此题考查了实数的混合运算能力,关键是能准确确定运算顺序和方法.
12.(5分)如图,△ABC内接于⊙O,连接OB,已知∠OBA=20°,则∠ACB= 70° .
【分析】根据三角形的内角和定理求得∠AOB的度数,再进一步根据圆周角定理求解.
【解答】解:连接OA,
∵OA=OB,∠OBA=20°,
∴∠OAB=20°,
∴∠AOB=180°﹣20°×2=140°,
∴∠C=∠AOB=×140°=70°.
故答案为:70°.
【点评】此题综合运用了三角形的内角和定理以及圆周角定理,掌握一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解答本题的关键.
13.(5分)在平面直角坐标系xOy中,两条直线y=2x+2和y=﹣x﹣4分别交x轴于点A和点B.已知直线l:y=kx+b与x轴的交点在线段AB上,且y随x增大时而减小,请你写出一个符合条件的直线l的函数解析式 y=﹣x﹣2 (写出一个即可).
【分析】先确定A、B的坐标,从而确定交点横坐标的取值范围,即可求解.
【解答】解:∵直线y=2x+2和直线y=﹣x﹣4分别交x轴于点A和点B,
∴令y=0,由0=2x+2得x=﹣1,由0=﹣x﹣4得x=﹣3,
∴A(﹣1,0),B(﹣3,0),
∴﹣3≤x≤﹣1,
∵直线l:y=kx+b与x轴的交点在线段AB上,且y随x增大时而减小,
∴直线l的函数解析式可以是y=﹣x﹣2.
故选答案为:y=﹣x﹣2.
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质,掌握求函数与x轴交点坐标的方法进而求出x的取值范围是解题的关键.
14.(5分)在数学探究活动中,小明进行了如下操作:如图,在三角形纸片ABC(∠C=90°)中剪下以C点为一个顶点,另3个顶点分别在AC、AB、BC上的一个正方形CDEF,量得BE=10cm,AE=20cm.
(1)正方形CDEF的面积为 80 .
(2)设△ADE和△BEF的面积分别为S1、S2,S1+S2的值为 100 .
【分析】(1)设BF=x,证明Rt△ADE∽Rt△EFB,利用相似比表示出DE=2x,AD=4x,则CD=CF=2x,AC=6x,BC=3x,接着利用勾股定理计算出AB=3x,所以3x=30,然后解出x,从而可计算出正方形CDEF的面积;
(2)利用三角形的面积公式分别计算出S1和S2,从而得到S1+S2的值.
【解答】解:(1)设BF=x,
∵四边形CDEF为正方形,
∴CD=DE=EF=CF,∠CDE=∠EFC=90°,DE∥BC,
∴∠AED=∠B,
∴Rt△ADE∽Rt△EFB,
∴==,即==,
解得DE=2x,AD=4x,
∴CD=CF=2x,
∴AC=6x,BC=3x,
在Rt△ABC中,AB==3x,
∴3x=30,
解得x=2,
∴正方形CDEF的面积=(2x)2=(4)2=80;
故答案为:80;
(2)∵S1=AD•DE=•4x•2x=4×(2)2=80,
S2=•EF•BF=•2x•x=(2)2=20,
∴S1+S2=80+20=100.
故答案为:100.
【点评】本题考查了正方形的性质:正方形的四条边都相等,四个角都是直角.也考查了三角形面积和相似三角形的判定与性质.
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
15.(8分)解不等式.
【分析】利用①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤化系数为1,进而得出答案.
【解答】解:去分母得:
3x﹣5(x﹣1)<15,
去括号得:
3x﹣5x+5<15,
移项合并同类项得:
﹣2x<10,
解得:x>﹣5.
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式,正确掌握解题方法是解题关键.
16.(8分)如图,在每个小正方形的边长为1个单位的网格中,△ABC的顶点均在格点(网格线的交点)上.
(1)将△ABC向上平移2个单位,再向右平移3个单位得到△DEF,画出△DEF(点D,E,F分别为A,B,C的对应点);
(2)将△ABC绕点F顺时针旋转90°得到△GHI,画出△GHI.
【分析】(1)利用网格特点和平移的性质画出点A、B、C的对应点D、E、F即可;
(2)利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点G、H、I即可.
【解答】解:(1)如图,△DEF为所作;
(2)如图,△GHI为所作.
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换:根据旋转的性质可知,对应角都相等都等于旋转角,对应线段也相等,由此可以通过作相等的角,在角的边上截取相等的线段的方法,找到对应点,顺次连接得出旋转后的图形.也考查了平移变换.
四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
17.(8分)如图,兰兰在山坡A处放风筝,在A点观察风筝P的仰角为37°,风筝线PA的长为20米.已知山坡的坡角∠ABC=32°,AB=40米,求风筝P距离地面BC的高度.(精确到0.1米,参考数据sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,sin32°≈0.53,cos32°≈0.85.)
【分析】过点P作PD⊥AD,垂足为点D,过点A作AE⊥BC,垂足为点E,在Rt△APD中利用三角函数的定义求得PD的长,在Rt△ABE中利用三角函数的定义求得AE的长,进而求得PD+AE的长.
【解答】解:过点P作PD⊥AD,垂足为点D,过点A作AE⊥BC,垂足为点E,
在Rt△APD中,sin37°=,
∴PD=AP•sin37°≈20×0.60≈12(米),
在Rt△ABE中,sin32°=,
∴AE=AB•sin32°≈40×0.53≈21.2(米),
∴风筝P距离地面BC的高度=PD+AE=12+21.2=33.2(米),
答:风筝P距离地面BC的高度约为33.2米.
【点评】本题考查了解直角三角形的应用,关键是根据仰角构造直角三角形,利用三角函数求解是解答此类题型的常用方法.
18.(8分)观察下列由黑点组成的图形
图1中黑点个数为1,
图2中黑点个数为2+3+4=9,
图3中黑点个数为3+4+5+6+7=25,
图4中黑点个数为4+5+6+7+8+9+10=49
…
按照以上规律,解决下列问题:
(1)图5中黑点个数对应的等式为: 5+6+7+8+9+10+11+12+13=81 ;
(2)写出你猜想图n中黑点个数对应的等式: n+(n+1)+(n+2)+……+[n+(2n﹣1)﹣1]=(2n﹣1)2 .(用含n的等式表示,y=x2﹣2x+m2+2,且y=x2﹣2x+m2+2为整数);
(3)我们知道y=x2﹣2x+m2+2.利用其证明(2)的结论.
【分析】(1)根据题中的式子找规律,代入求解;
(2)根据题中的式子,猜想结论;
(3)把左边求值,化为右边的结论.
【解答】解:(1)图5中黑点个数对应的等式为:5+6+7+8+9+10+11+12+13=81,
故答案为:5+6+7+8+9+10+11+12+13=81;
(2)图n中黑点个数对应的等式为:n+(n+1)+(n+2)+……+[n+(2n﹣1)﹣1]=(2n﹣1)2,
故答案为:n+(n+1)+(n+2)+……+[n+(2n﹣1)﹣1]=(2n﹣1)2;
(3)左边=n+(n+1)+(n+2)+……+(3n﹣2)
=(2n﹣1)(n+3n﹣2)
=(2n﹣1)2
=右边,
所以n+(n+1)+(n+2)+……+[n+(2n﹣1)﹣1]=(2n﹣1)2.
【点评】本题考查了图形的变化类,找到变化规律是解题的关键.
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19.(10分)某项工程,甲工程队单独施工10天后,为加快进度,乙工程队也加入一起施工,这样共用30天完成了任务.已知乙工程队单独施工需要40天完成.
(1)求甲工程队单独完成此项工程所需的天数;
(2)如果两队一开始就合作完成此项工程,需要多少天?
【分析】(1)设甲工程队单独完成此项工程需要x天,利用甲工程队完成的工程量+乙工程队完成的工程款=总工程量,可得出关于x的分式方程,解之经检验后,即可得出结论;
(2)利用工作时间=工作总量÷两队的工作效率之和,即可求出结论.
【解答】解:(1)设甲工程队单独完成此项工程需要x天,
根据题意得:+=1,
解得:x=60,
经检验,x=60是所列方程的解,且符合题意.
答:甲工程队单独完成此项工程需要60天;
(2)====24(天).
答:如果两队一开始就合作完成此项工程,需要24天.
【点评】本题考查了分式方程的应用,找准等量关系,正确列出分式方程是解题的关键.
20.(10分)如图,△ABC内接于⊙O,CD⊥AB于D,交⊙O于E,OF⊥BC于F.
(1)若AD=1,CD=3,BC=5,求OF的长;
(2)连接AE,求证AE=2OF.
【分析】(1)连接OC,OB,根据垂径定理可得∠COF=∠BOF=BOC,BF=CF=BC=,证明△OFC∽△ADC,可得=,即可解决问题;
(2)连接BE,先证明△AED∽△CBD,可得=,再证明△BDE∽△CFO,可得=,所以=,进而可以解决问题.
【解答】(1)解:如图,连接OC,OB,
∵OF⊥BC,
∴∠COF=∠BOF=BOC,BF=CF=BC=,
∵∠BAC=BOC,
∴∠COF=∠CAD,
∵CD⊥AB,OF⊥BC,
∴∠ADC=∠OFC=90°,
∴△OFC∽△ADC,
∴=,
∴=,
∴OF=;
(2)证明:如图,连接BE,
∵∠ADE=∠CDB,∠EAD=∠BCD,
∴△AED∽△CBD,
∴=,
∵∠EDB=∠OFC=90°,∠BED=∠FOC,
∴△BDE∽△CFO,
∴=,
∴===,
∴=,
∴AE=2OF.
【点评】本题考查了垂径定理,圆周角定理,全等三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形.
六、(本题满分24分)
21.(12分)某中学为了加强劳动教育,学校在2000名学生中随机调查了100名学生暑假期间每周参与家务劳动的时间(以整分钟计算,由学生家长提供数据),根据调查数据制成了频率分布表和频数分布直方图,部分信息如下:
(1)补全频率分布表中的数据,并补充完整频数分布直方图;
(2)本次调查中,该校学生暑假期间每周参与家务劳动时间的中位数在哪一组(直接写出结果);
(3)学校准备对参与家务劳动时间不多于150分钟的学生家庭发出“热爱劳动,孝敬父母”倡议书,大约应准备多少份倡议书?
分组
频数
频率
0.5~50.5
10
0.10
50.5~100.5
20
0.20
100.5~150.5
30
0.30
150.5~200.5
25
0.25
200.5~250.5
10
0.10
250.5~300.5
5
0.05
合计
100
1.00
【分析】(1)根据各组频数之和等于样本容量,各组频率之和为100%,进行计算即可;
(2)根据中位数的定义,进行解答即可;
(3)求出样本中家务劳动时间不多于150分钟的学生所占的百分比,进而估计总体中家务劳动时间不多于150分钟的学生所占的百分比,进而求出相应的人数.
【解答】解:(1)“100.5﹣150.5”的频数为:100﹣10﹣20﹣30﹣10﹣5=25,频率为:1﹣0.10﹣0.20﹣0.30﹣0.10﹣0.05=0.25,
故答案为:25,0.25;
补全的频数分布表、频率分布直方图如下:
(2)将这100名学生的家务劳动时间从小到大排列,处在中间位置的两个数都在“100.5﹣150.5”组,
即中位数落在“100.5﹣150.5”这组;
(3)2000×=900(份),
答:对参与家务劳动时间不多于150分钟的学生家庭发出“热爱劳动,孝敬父母”倡议书,大约应准备900份倡议书.
【点评】本题考查频数分布直方图、频数分布表,理解各组频数之和等于样本容量,各组频率之和为100%是解决问题的关键.
22.(12分)已知二次函数y=x2﹣2x+m2+2,其中m为实数.
(1)试判断二次函数y=x2﹣2x+m2+2的图象与x轴的交点个数;
(2)与x轴平行的直线与这条抛物线相交于M,N两点(点M在点N的左侧),若点M的横坐标为p,用含p的代数式表示点N的横坐标;
(3)设二次函数y=x2﹣2x+m2+2图象的顶点为A,与y轴的交点为B.点P为线段AB上一动点,PQ垂直于x轴,且PQ交二次函数y=x2﹣2x+m2+2的图象于Q,求线段PQ的最大值.
【分析】(1)利用Δ<0可判断函数y=x2﹣2x+m2+2的图象与x轴没有交点;
(2)根据M、N关于对称轴对称,可求N点横坐标;
(3)求出直线AB的解析式为y=﹣x+m2+2,设P(t,﹣t+m2+2),则Q(t,t2﹣2t+m2+2),则PQ=﹣(t﹣)2+,当t=时,PQ的最大值为.
【解答】解:(1)∵Δ=4﹣4(m2+2)=﹣4m2﹣4=﹣4(m2+1)<0,
∴二次函数y=x2﹣2x+m2+2的图象与x轴没有交点;
(2)∵y=x2﹣2x+m2+2=(x﹣1)2+m2+1,
∴抛物线的对称轴为直线x=1,
∵M、N关于对称轴对称,
∴N点横坐标为2﹣p;
(3)∵y=x2﹣2x+m2+2=(x﹣1)2+m2+1,
∴A(1,m2+1),
令x=0,则y=m2+2,
∴B(0,m2+2),
设直线AB的解析式为y=kx+b,
∴,
解得,
∴y=﹣x+m2+2,
设P(t,﹣t+m2+2),则Q(t,t2﹣2t+m2+2),
∴PQ=|t2﹣2t+m2+2+t﹣m2﹣2|=|t2﹣t|,
∵点P为线段AB上一动点,
∴0≤t≤1,
∴PQ=t﹣t2=﹣(t﹣)2+,
∴当t=时,PQ的最大值为.
【点评】本题考查二次函数的图象及性质,熟练掌握二次函数的图象及性质,利用判别式判断二次函数图象与x轴交点的情况是解题的关键.
八、(本题满分14分)】
23.(14分)如图1,△ABC和△CDE都是等边三角形,且A,C,E在同一条直线上,分别连接AD,BE.
(1)求证:AD=BE;
(2)如图2,连接BD,若M,N,Q分别为AB,DE,BD的中点,过N作NP⊥MN与MQ的延长线交于P,求证:MP=AD;
(3)如图3,设AD与BE交于F点,点M在AB上,MG∥AD,交BE于H,交CF的延长线于G,试判断△FGH的形状.
【分析】(1)证明△ACD≌△BCE,从而得出结论;
(2)连接QN,根据三角形中位线定理得:MQ===QN,进而推出PQ=QN,进一步得出结论;
(3)作CR⊥AD于R,作CT⊥BE于T,可证得△DRC≌△ETC,从而CR=CT,故FC平分∠AFE,又可求得∠AFE=180°﹣(∠DAC+∠BEC)=120°,从而∠AFC=∠EFC=60°,从而得出结论.
【解答】(1)证明:∵△ABC和△CDE都是等边三角形,
∴∠ACB=∠DCE=60°,AC=BC,CD=CE,
∴180°﹣∠ACB=180°﹣∠DCE,
∴∠BCE=∠ACD,
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴AD=BE;
(2)证明:如图1,
连接QN,
∵点M,Q,N分别是AB,BD,DE的中点,
∴MQ=AD,QN=,
由(1)知:AD=BE,
∴MQ=QN,
∴∠MQN=∠QNM,
∵NP⊥MN,
∴∠MNP=90°,
∴∠MNQ+∠PNQ=90°,∠QMN+∠P=90°,
∴∠P=∠QNP,
∴QP=QN,
∴QP=MQ=AD,
∴MP=AD;
(3)解:如图2,
作CR⊥AD于R,作CT⊥BE于T,
∴∠DRC=∠CTE=90°,
由(1)得,
△ACD≌△BCE,
∴∠ADC=∠CEB,
∵CD=CE,
∴△DRC≌△ETC(AAS),
∴CR=CT,
∴FC平分∠AFE,
∵∠DAC+∠ADC=∠DCE=60°,
∴∠DAC+∠BEC=60°,
∴∠AFE=180°﹣(∠DAC+∠BEC)=120°,
∴∠AFC=∠EFC=60°,
∴∠GFH=∠AFC=60°,
∵MG∥AD,
∴∠G=∠AFC=60°,
∴△FGH是等边三角形.
【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,角平分线的判定,三角形中位线定理等知识,解决问题的关键是作辅助线,构造三角形的中位线.
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