2023年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明

这是一份2023年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明，共34页。
2023年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明
1．如图，是的直径，点C是劣弧中点，与相交于点E．连接，，与的延长线相交于点F．

(1)求证：是的切线；
(2)求证：．
2．如图，AB是的直径，点C是上一点（与点A，B不重合），过点C作直线PQ，使得∠ACQ＝∠ABC．

(1)求证：直线PQ是的切线．
(2)过点A作AD⊥PQ于点D，交于点E，若的半径为4，，求图中阴影部分的面积．
3．如图，△ABC的三个顶点在⊙O上，且AB =AC，过点A作ADBC交BO的反向延长线于点D．

(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若∠D =∠C，BC =12，求图中阴影部分的面积．
4．如图，是的直径，，是的弦，为的中点，与交于点，过点作，交的延长线于点，且平分．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
5．如图，AB是的直径，弦，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使，连接AF交于点D，连接BD，BF．

(1)求证：直线BF是的切线；
(2)若AF长为，求BD的长．
6．如图，已知⊙O中，，AC、BD交于点E，连接CD．

(1)若，，求CA的长；
(2)延长AD到点F，使得，连接CF．求证：CF是⊙O的切线．
7．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的两点（不与A，B重合），连接AC，BC，AD，BD，CD．过点C作CE⊥AD交DA的延长线于点E，BA的延长线与CE的延长线相交于点F，且∠BAD＝2∠ABC．

(1)求证：CF是⊙O的切线．
(2)若BD＝6，CF＝5，求AF的长．
8．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点（与点A，B不重合），过点C作直线PQ，使得∠ACQ＝∠ABC．

(1)求证：直线PQ是⊙O的切线．
(2)过点A作AD⊥PQ于点D，交⊙O于点E，若⊙O的半径为2，∠DAC＝30°，求图中阴影部分的面积．
9．如图，在中，，，已知的外接圆圆心为点，过点作，交延长线于点．

(1)求证：是的切线；
(2)点是上一点，如图所示，连接交于点，若，，求的长．
10．如图，在 Rt△ABC 中,∠C＝90°，BD是角平分线。点O 在AB上，以点O为圆心， OB为半径的圆经过点 D,交BC于E.

(1)求证：AC 是⊙O 的切线.
(2)若 OB＝10，CD＝8，求 AD 的长.
11．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点D作DG∥BC，DG交线段AC于点G，交AB于点E，交⊙O于点F，连接DB，CF，∠A＝∠D．

(1)求证：BD与⊙O相切；
(2)若AE＝OE，CF平分∠ACB，BD＝6，求DE的长．
12．如图，已知⊙O的半径OC垂直于弦AB，点P在OC的延长线上，AC平分∠PAB．

(1)求证：PA是⊙O的切线；
(2)若PA＝20，，求PC．
13．如图，已知ABCD是⊙O的内接四边形，对角线BD是⊙O的直径，AE⊥CD于E，DA平分∠BDE．

(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)若∠ABC=60°，AB=2时，求⊙O的半径．
14．如图，⊙O的直径AB的长为10，直线EF经过点B且∠CBF＝∠CDB．连接AD．

(1)求证：直线EF是⊙O的切线；
(2)若点C是弧AB的中点，，求△CBD的面积．
15．如图，已知AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，连接OD，BD，C为AB延长线上一点，连接CD，且∠BDC=∠BOD．

(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为2，CD，求BC和BD的长．
16．如图，已知ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作∠BEF＝∠CAE，交AB的延长线于点F．

(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若BF＝10，EF＝20，求⊙O的半径和AD的长．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E．过点D作DF⊥AC，垂足为F．

(1)求证：DF为⊙O的切线；
(2)若AB＝4，∠C＝30°，求劣弧的长．
18．如图，△ABC内接于⊙O，AD与BC是⊙O的直径，延长线段AC至点G，使CG=AC，连接DG，点E在DG边上，并且∠ADG=2∠GCE．

(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)若AG=8，OA=5，求EG的长．

参考答案：
1．(1)见解析
(2)见解析

【分析】(1)连接OC，由圆周角定理得∠ACO+∠OCB= 90°，再由等腰三角形性质及切线的判定定理可得结论；
(2)根据同圆中等弧对等角、等角对等弧可得答案；
（1）
证明：连接，

是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线．
（2）
证明：点C是中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点评】此题考查的是圆周角定理、切线的判定与性质，平行线的性质与判定，弧，弦，圆心角的性质，正确作出辅助线是解决此题关键．
2．(1)见解析；
(2)

【分析】（1）连接OC，由∠ACQ＝∠ABC，得到∠CAB+∠ABC=∠ACO+∠ACQ=∠OCQ=90°，即OC⊥PQ，由此得到结论；
（2）连接OE，由，AD⊥PQ，可得∠DAC=30°，从而得到∠ACD=60°，进而判定△AEO为等边三角形，得到∠AOE=60°，利用可求得答案．
(1)
解：连接OC，

∵AB是的直径，
∴∠ACB=90°，
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠ACO，
∵∠ACQ＝∠ABC，
∴∠CAB+∠ABC=∠ACO+∠ACQ=∠OCQ=90°，即OC⊥PQ，
∴直线PQ是的切线．
(2)
连接OE，

∵，AD⊥PQ，
∴∠DAC=30°，∠ACD=60°，
∴∠ABC=60°，
∴∠CAB=30°，
∴∠EAO=60°，
又∵OA=OE，
∴△AEO为等边三角形，
∴∠AOE=60°，
∴
=

=．
【点评】此题考查了求不规则图形面积的基础思想：将不规则图形的面积转化为规则的图形面积的和或差来解，另外还考查了证明圆的切线的过程．
3．(1)见解析
(2)

【分析】（1）如图，连接OA，根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，由切线的性质即可得到结论；
（2）如图，设OA与BC交于E，根据平行线的判定得到，根据平行线的性质得到，由等腰三角形的性质得到，求得，推出是等边三角形，根据三角函数的定义和扇形的面积公式即可得到答案．
（1）
解：如图，连接OA交BC于点E，

∵AB =AC，
∴，
∵，
∴，
∵OA是的半径，
∴AD是的切线；
（2）
解：∵，
∴∠D =∠CBO =∠C．
∵AB =AC，
∴∠ABC =∠C，
∴∠ABC =∠CBO．
∵OA⊥BC，
∴BA =OB =OA，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠AOB =60°，∠OBE =∠D =30°．
∵BC =12，
∴BE =CE =6，
∴在中，，
∴，
∴在中，，
∴．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形和三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
4．(1)见解析
(2)5

【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义得到，根据直角三角形的性质得到，进而得到，根据切线的判定定理证明即可；
（2）连接，根据圆周角定理得到，根据正切的定义分别求出、，进而求出，根据垂径定理计算即可．
(1)
证明：连接，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，即，
为半径，
是的切线；
(2)
解：连接，
是的切线，
，
由圆周角定理得：，
，
在中，，，
，
，
在中，，，
，
，
，
为的中点，
，
．

【点评】本题考查的是切线的判定、垂径定理、正切的定义，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
5．(1)见解析；
(2)

【分析】（1）连接OC、OF，证明四边形OFBC是平行四边形，则BF∥OC，根据AC=BC，得到OC⊥AB，∠ABF=∠BOC=90°，可证明BF是⊙O的切线；
（2）由AB是⊙O的直径得∠ADB=∠ACB=90°，则∠CAB=∠CBA=45°，可证明FB=OB=OA=AB，根据勾股定理求出AB、BF的长，再根据三角形的面积公式即可求出BD的长．
【解析】（1）证明：如图，连接OC、OF，

∵EF=CE，OE=BE，
∴四边形OFBC是平行四边形，
∴BF∥OC，
∵AC=BC，OA=OB，
∴OC⊥AB，
∴∠ABF=∠BOC=90°，
∵OB是⊙O的半径，且BF⊥OB，
∴直线BF是⊙O的切线；
（2）如图，∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∴∠BFO=∠OCB=45°，
∵OF∥BC，
∴∠BOF=∠OBC=45°，
∴∠BFO=∠BOF，
∴FB=OB=OA=AB，
∵FB2+AB2=AF2，且AF=5，
∴（AB）2+AB2=（5）2，
∴AB=2，
∴FB=AB=，
∴⊙O的半径为，
∵S△ABF=AB•BF=AF•BD，
∴2×=5×BD，
∴BD=2．
【点评】此题考查圆的切线的判定、圆的弦与弧及圆心角的关系、圆周角定理、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，根据题意正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
6．(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）证，利用相似三角形的性质即可求解；
（2）连接OC，先利用垂径定理的推论求得，则∠ADC=2∠ADB，再利用等腰三角形的性质和三角形外角性质求得∠ADC =2∠F，所以∠ADB=∠F，所以，从而得证，由切线的判定即可得出结论．
(1)
解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴．
(2)
证明：如图，连接OC，

∵，
∴，
∴∠ADC=
∵，O是⊙O的圆心，
∴，
∵，
∴，
∵=2∠F，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴CF是⊙O的切线．
【点评】本题考查垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，切线的判定，熟练掌握相关定理是解题的关键．
7．(1)见解析；
(2)

【分析】（1）利用圆周角定理推出角的相等关系，再根据平行线的性质与判定求证；
（2）利用相似三角形的性质，对应边成比例以及勾股定理求解．
（1）
证明：如图，连接OC．

∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB．
∴∠AOC＝2∠ABC．
∵∠BAD=2∠ABC，
∴∠AOC=∠BAD．
∴OCDE．
∵CE⊥DE，
∴∠CED＝90°
∴∠OCE＝180°－∠CED＝90°
∴CF⊥OC．
∵OC是⊙O的半径，
∴CF是⊙O的切线．
（2）
解：由（1）可知∠AOC=∠BAD
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°
∴∠OCF=∠ADB
∴△FOC∽△BAD．
∴
∴AD=OC
设OA=r，则AB=2r．
在Rt△ABD中，
∵AD2=AB2-BD2=4r2-36．
∴
∵r＝或r＝﹣（舍去）．
∴OA=，AB=
∵ ，
∴AF＝．
【点评】本题考查了切线的判定以及相似三角形的相关运用，其突破口在于找到边的等量关系．
8．(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接OC，由直径所对的圆周角为直角，可得∠ACB＝90°；利用等腰三角形的性质及已知条件∠ACQ＝∠ABC，可求得∠OCQ＝90°，按照切线的判定定理可得结论．
（2）由∠DAC＝30°，从而可得∠ACD的度数，进而判定△AEO为等边三角形，则∠AOE的度数可得；利用S阴影＝S扇形﹣S△AEO，可求得答案．
(1)
解：（1）证明：如图，连接OC，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠CAB＝∠ACO．
∵∠ACQ＝∠ABC，
∴∠CAB+∠ABC＝∠ACO+∠ACQ＝∠OCQ＝90°，即OC⊥PQ，
∴直线PQ是⊙O的切线．
(2)
解：连接OE，
∵∠DAC＝30°，AD⊥PQ，
∴∠ACD＝∠ABC=60°．
∴∠BAC=30°，
∴∠BAD=∠DAC+∠BAC=60°，
又∵OA＝OE，
∴△AEO为等边三角形，
∴∠AOE＝60°．
∴S阴影＝S扇形﹣S△AEO
＝S扇形﹣OA•OE•sin60°
＝
＝．
∴图中阴影部分的面积为﹣．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，求弓形的面积和扇形的面积，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，以及三角函数，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题．
9．(1)证明见解析；
(2)6

【分析】（1）连接OA、OC，先求得∠FAC＝30°，证明△AOC是等边三角形，即可得证；
（2）证明△BCE∽△DCB得到，即可求出BC的长．
（1）
证明：连接AO、CO，

∵ ∠ACB＝120°
∴∠ACF＝180°－∠ACB＝60°
∵AF⊥BC
∴∠FAC＝90°－∠ACF＝30°
∵ ∠ACB＝120°，AB=AC
∴∠CAB＝∠ABC＝（180°－∠ACB）＝30°
∴∠AOC＝2∠ABC＝60°
∵OA=OC
∴△AOC是等边三角形
∴∠OAC＝60°
∴∠OAF＝∠OAC＋∠FAC＝90°
∴OA⊥AF
∵OA是半径
∴是的切线
（2）
解：∵∠CEB=∠CAB＝30°，
∴∠CEB＝∠CBD
∵∠BCE＝∠DCB
∴△BCE∽△DCB
∴
∵，，
∴CE=9
∴
∴
∴BC=6
【点评】本题考查了切线的判定、等边三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、圆周角定理等知识，证明△BCE∽△DCB是解题的关键．
10．(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接OD，由BD为角平分线得到一对角相等，再根据等腰三角形的性质得出一对内错角相等，进而确定出OD与BC平行，利用两直线平行同位角相等得到∠ODA为直角，即可得证；
（2）过O作OG垂直于BE，可得出四边形ODCG为矩形，利用勾股定理求出BG的长，根据相似三角形的性质即可得到结论．
(1)
证明：连接OD，如图，

∵BD为∠ABC平分线，
∴∠1＝∠2，
∵OB＝OD，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴，
∵，
∴，
∴AC是⊙O的切线；
(2)
过O作，连接OE，
则四边形ODCG为矩形，
∴，
在中，利用勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴．
【点评】点评：此题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．
11．(1)见解析
(2)

【分析】（1）如图1，延长DB至H，证明∠ABD=90°，根据切线的判定可得BD与⊙O相切；
（2）如图2，连接OF，先证得半径为OA=OF=2OE，计算∠OEF的正切可得BE的长，根据勾股定理可得DE的长．
（1）
证明：如图1，延长DB至H，

∵DGBC，
∴∠CBH=∠D，
∵∠A=∠D，
∴∠A=∠CBH，
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∴∠CBH+∠ABC=90°，
∴∠ABD=90°，
∴BD与⊙O相切；
（2）
解：如图2，连接OF，

∵AE=OE，
∴OA=OF=2OE，
∵CF平分∠ACB，
∴∠ACF=∠BCF，
∵∠AOF=2∠ACB，∠BOF=2∠BCF，
∴∠AOF=∠BOF，
∵∠AOF+∠BOF=180°
∴∠AOF=90°，
在Rt△OEF中，tan∠OEF==2，
由（1）知：∠ABD=90°，
在Rt△BED中，tan∠OEF===2，
∴BE=3，
由勾股定理得：DE=．
【点评】此题考查了切线的判定，圆周角定理及其推论，解直角三角形等知识，解答本题需要我们熟练掌握切线的判定．
12．(1)见解析；
(2)

【分析】（1）连接OP，利用角平分线的性质以及等腰三角形的性质得到，即可求证；
（2）根据三角函数的定义可得：sinP＝，设OP＝5x，OA＝3x，根据勾股定理求解即可．
(1)
解：连接OA，

∵OA＝OC
∴∠OCA＝∠OAC
∵AC平分∠PAB
∴∠PAC＝∠BAC
∵OC垂直于弦AB
∴∠BAC+∠OCA＝90°
∴∠PAC+∠OAC＝90°
∴OA⊥PA，且OA是半径
∴PA是⊙O的切线
(2)
∵sinP＝
∴设OP＝5x，OA＝3x
∵OP2﹣OA2＝AP2＝400
∴x＝5
∴OA＝OC＝15，OP＝25
∴PC＝OP﹣OC＝10
【点评】此题考查了切线的判定，勾股定理，三角函数的定义，角平分线的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是掌握并灵活运用相关性质进行求解．
13．(1)见解析
(2)⊙O的半径长为2．

【分析】（1）连接OA，由OA=OD得∠OAD=∠ODA，由DA平分∠BDE得∠ODA=∠ADE，于是∠OAD=∠ADE，得OA∥CD，则∠OAE=180°-∠E=90°，即可证明AE是⊙O的切线；
（2）连接并延长AO交BC于点F，设⊙O的半径为r，则OA=OB=r，先证明四边形AECF是矩形，然后在Rt△ABF和Rt△OBF中根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半及勾股定理可求出r的值．
(1)
证明：如图1，连接OA，则OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，
∵DA平分∠BDE，
∴∠ODA=∠ADE，
∴∠OAD=∠ADE，
∴OA∥CD，
∵AE⊥CD于E，
∴∠E=90°，
∴∠OAE=180°-∠E=90°，
∵OA是⊙O的半径，且AE⊥OA，
∴AE是⊙O的切线；
(2)
解：如图2，连接并延长AO交BC于点F，

设⊙O的半径为r，则OA=OB=r，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∵∠FAE=∠E=∠C=90°，
∴四边形AECF是矩形，
∴∠AFC=90°，
∴∠AFB=180°-∠AFC=90°，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAF=30°，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴∠OBF=60°-30°=30°，
∴OF=OB=r，
∴AF=OA+OF=r+r=r，BF2=OB2-OF2=r2-（r）2=r2，
∵AF2+BF2=AB2，且AB=2，
∴（r）2+r2=（2）2，
解得r=2或r=-2（不符合题意，舍去），
∴⊙O的半径长为2．
【点评】此题重点考查圆的切线的判定、圆周角定理、角平分线的定义、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
14．(1)见解析；
(2)

【分析】（1）由AB是⊙O的直径，知∠ADB＝90°，得到∠ADC＋∠CDB＝90°，∠ADC＝∠ABC，∠CBF＝∠CDB，推出∠ABC＋∠CBF＝90°，∠ABF＝90°，得到AB⊥EF，推出EF是⊙O的切线；
（2）作BG⊥CD，垂足是G，根据AB＝10，，推出BD＝6，根据C是弧AB的中点，得到∠ADC＝∠CDB＝45°，推出，根据∠DAB＝∠DCB，得到，推出，得到，推出．
（1）
证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
即∠ADC＋∠CDB＝90°，
∵∠ADC＝∠ABC，∠CBF＝∠CDB，
∴∠ABC＋∠CBF＝90°即∠ABF＝90°，
∴AB⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）
作BG⊥CD，垂足是G，
在Rt△ABD中，
∵AB＝10，，
又∵，
∴BD＝6，
∵C是弧AB的中点，
∴∠ADC＝∠CDB＝45°，
∴，
∵∠DAB＝∠DCB，
∴，
∴，
∴，
∴．

【点评】本题主要考查了圆的切线判定定理，圆周角定理及推论，解直角三角形，解决问题的关键是熟练掌握经过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线，同圆或等圆中同弧对的圆周角相等，直径对的圆周角是直角，锐角三角函数的正弦正切的定义．
15．(1)见解析
(2)，

【分析】（1）根据，可得，根据已知条件即可证明，即可证明是⊙O的切线；
（2）根据题意证明，根据相似三角形的性质求解可得的长，进而根据勾股定理求得的关系，利用相似三角形的性质求解可得的长．
【解析】（1）
（2）

是的直径

即



又


⊙O的半径为2，



解得（负值舍去）
在中，
，

解得（负值舍去）
，
【点评】本题考查了切线的性质与判定，直径所对的，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
16．(1)见解析
(2)15，

【分析】(1)连接OE，根据AE平分∠CAB，OA=OE，∠BEF＝∠CAE，证明∠BEF+∠OEB=90°即可．
(2)证明△FEB∽△FAE，列比例式计算AB，计算AE：BE，利用勾股定理确定AE，BE的长；证明△EBD∽△EAB，计算DE的长，利用AD=AE-DE计算即可．
（1）
连接OE，
∵AE平分∠CAB，
∴∠OAE＝∠CAE，
∵OA=OE，

∴∠OAE＝∠OEA，
∵∠BEF＝∠CAE，
∴∠BEF＝∠CAE=∠OAE＝∠OEA，
∵AB是圆的直径，
∴∠OEA+∠OEB=90°，
∴∠BEF+∠OEB=90°，
∴EO⊥EF，
∴EF是⊙O的切线．
（2）
∵AE平分∠CAB，
∴∠OAE＝∠CAE，
∵OA=OE，
∴∠EAF＝∠OEA，
∵∠BEF＝∠CAE，
∴∠BEF＝∠EAF，
∵∠F＝∠F，
∴△FEB∽△FAE，
∴，
∵BF＝10，EF＝20，
∴，
解得AB=30，
∴圆的半径为15；
∵△FEB∽△FAE，
∴，
设BE=x，则AE=2x，
∵AB是圆的直径，
∴∠AEB=90°，
∴，
解得x=，
则AE=；
∵AE平分∠CAB，
∴∠OAE＝∠CAE，
∵∠CBE＝∠CAE，
∴∠EBD＝∠EAB，
∵∠DEB＝∠BEA，
∴△EBD∽△EAB，
∴，
∴，
∴=，
∴AD=AE-DE=-=．
【点评】本题考查了圆的切线，三角形相似的判定和性质，勾股定理，圆的性质，熟练掌握圆的切线的判定，灵活运用三角形相似的判定定理是解题的关键．
17．(1)见解析
(2)

【分析】（1）证明OD//AC，可得OD⊥DF，即可证得结论；
（2）根据外角的性质可得：∠EAB=∠B+∠C= 60°，可得圆心角∠EOB= 2∠EAB= 120°，然后根据弧长公式可求得结果．
【解析】（1）解：证明：如图，连接OD，

∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∴∠C=∠ODB，
∴OD// AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
DF为⊙O的切线；
（2）解：如图，连接OE，

∵∠B=∠C=30°，
∴∠EAB=∠B+∠C=60°，
∴∠EOB=2∠EAB=120°，
∴的长=．
【点评】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、弧长公式的计算等知识点，属于基础题，难度中等．
18．(1)见解析
(2)

【分析】（1）由等边对等角和三角形外角的定义可得∠AOC=2∠B，由等量代换得∠B=∠GCE，由直径所对的角是90°得∠B+∠ACB=90°，等量代换∠GCE+∠ACB=90°，由此∠BCE=90°，即可得证；
（2）先证△GCE∽△CBA，由相似三角形对应边成比例即可求解.
【解析】（1）证明：∵OA=OB，
∴∠B=∠BAD，
∴∠AOC=2∠B，
又∵OA=OD，AC=CG，
∴OC∥DG，
∴∠ADG=∠AOC，
又∵∠ADG=2∠GCE，
∴2∠B=2∠GCE，
∴∠B=∠GCE，
∵BC是直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠B+∠ACB=90°，
∴∠GCE+∠ACB=90°，
∴∠BCE=90°，
即BC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线
（2）解：由（1）可知：OC∥DG，∠BCE=90°，
∴∠CEG=90°，
∴∠CEG=∠BAC，
∵∠GCE=∠B，
∴△GCE∽△CBA，
∴，
∵AG=8，CG=AC，
∴CG=AC=4，
∴，
∴.
【点评】此题考查圆的性质，切线的判定，相似三角形的性质和判定等知识点，掌握相应的性质和判定是解答此题的关键.