2024年九年级中考数学专题复习：圆的切线的证明

这是一份2024年九年级中考数学专题复习：圆的切线的证明，共41页。
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为5，，求线段的长．
2．如图，在中，，以为直径的与相交于点，过点作，交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若的直径为5，，求的长．
3．如图，是的直径，相交于点，过点作与的延长线相交于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
4．如图，已知直线交于A、B两点，是的直径，且平分，过C作．

(1)求证：为的切线；
(2)若，的直径为10，求的长度．
5．如图，在中，，以为直径的分别与，交于点，过点作于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为，，求阴影部分的面积．
6．如图，，分别是的直径和弦，半径于点D，过点作的切线与的延长线交于点，，的延长线交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
7．如图，四边形内接于，是的直径，点D在的延长线上，延长交的延长线于点F，点C是的中点，．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：是等腰三角形；
(3)若，，求的长．
8．如图，是的直径，是的弦，是延长线上一点，过点作交于，交于，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，的半径为5，求的长．
9．如图，是的直径，射线交于点D，点E是劣弧的中点，连接，，，过点E作于点F，延长交的延长线交于点G．
(1)证明：是的切线；
(2)若，，求的半径；
(3)在（2）的基础上，求图中阴影部分的面积．
10．如图，已知为的直径，将绕点旋转一定的角度后得到，交于点，连接，交于点，过点作，垂足为点．
(1)求证：为的切线；
(2)连接、，若，，求的面积．
11．如图1，为的直径，弦垂直平分，在的延长线上取一点，使得．
(1)求证：是的切线；
(2)如图2，若，点在上，且的内心是上的点，求线段的长度．
12．如图，在中，，延长到点，使，在以为圆心、为直径的半圆上取一点，使，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
13．如图，已知是的直径，射线交于点，的平分线交于点，过点作于点，延长与的延长线交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
14．如图，中，，以为直径的交边于点，是边的中点，连接、．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，求的半径．
15．如图，为的直径，是上两点，延长至C，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
16．如图，直线交于A、B两点，是的直径，点为上一点，且平分，过作，垂足为D．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的长．
17．如图，点D在的直径的延长线上，点C在上，平分于点E．
(1)求证：是的切线．
(2)是的切线，F为切点，若，求的长．
18．如图，内接于，为直径，平分交于点.
(1)过点作，求证：为的切线；
(2)若，，求的长和阴影部分的面积.
19．如图，在中，，O为边上一点，过点C且经过边上的点D，．
(1)求证：为的切线；
(2)延长交于点E，连接，若且，求的半径．
20．是的外接圆，，过点A作，交射线于点E，过点C作于点H，交直线于点D．
(1)求证：是的切线．
(2)已知，，求的长度．
参考答案：
1．
【分析】本题考查了切线的判定和性质、圆周角定理及推论、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
（1）首先证明，根据平行线的性质得到，再根据切线的判定定理证明结论即可；
（2）连接，根据勾股定理可求出，证明，再根据相似三角形的性质计算，即可求得线段的长．
【详解】（1）证明：由圆周角定理得：，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：如图，连接，
是的直径，，
，
，
是的直径，
，，
，
，，
，
，即，
解得：，
．
2．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的判定，等腰三角形性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握切线相关知识．
（1）连接，通过角的转换，可证明，进而得证；
（2）连接，可得，根据勾股定理求得，在中，根据面积法求得．
【详解】（1）证明：如图1，
，
，
，
，
，
，
，
半径，
是的切线；
（2）解：如图2，
连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
的长是．
3．(1)见解析；
(2)6.8．
【分析】（1）连接，连接交于，根据，可得，则，进而可得，由，即可得出结论；
（2）设，则，根据勾股定理可得，进而根据中位线的性质即可求解．
【详解】（1）证明：连接，连接交于，
，
，
，
，
，，
，
半径，
是的切线；
（2）解：设，
，
，
，
，
，
，，
是的中位线，
．
【点睛】本题考查了切线的判定，垂径定理，勾股定理，中位线的性质与判定，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键．
4．(1)见解析
(2)6
【分析】（1）本题根据等腰三角形性质得到，由题意得到，由角平分线的性质得到，再进行等量代换得到，即可证明为的切线．
（2）本题过点O作于G，证明四边形是矩形，根据，设，则，，在中，由勾股定理得出、、再根据垂径定理即可解题．
【详解】（1）证明：连接，

点C在上，，
，
，
，有，
平分，
，
，
．
点C在上，
为的切线．
（2）解：过点O作于G，

，
，，
四边形是矩形，
，，
的直径为10，
，
，
，
设，则，
，
在中，由勾股定理知，
，
解得，（舍去），
．
【点睛】本题考查了切线的判定、角平分线的性质、等腰三角形性质，锐角三角函数、勾股定理、矩形的判定和性质、垂径定理、熟练掌握相关性质并灵活运用即可解题．
5．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的判定、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，学会用分割法求阴影部分面积，属于中考常考题型．
（1）连接、，则，为中点．为中位线，则，根据可得得证；
（2）连接，利用的结论得，易得，过点作于，利用勾股定理得到的长，利用三角形的面积公式得出结论．
【详解】（1）证明：连接，连接；
是的直径，
，
．
又，是的中点，
．
，
，
又，
．
是半径，
是的切线；
（2）解：，，
，
，
，
，
过点作于，

，
，
，
，
阴影部分的面积．
6．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆的切线证明以及不规则图形面积的求解，涉及了垂径定理、勾股定理以及线段垂直平分线的性质等知识点，熟记相关结论是解题关键．
（1）连接，可得是线段的垂直平分线；根据、，即可求证；
（2）根据阴影部分的面积，求出即可求解．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
∵，，
∴，是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）解：∵，
由（1）可得：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
图中阴影部分的面积为：．
7．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题为圆中几何问题的综合计算与证明，主要考查切线的判定，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定和相似三角形的判定是解题的关键，（1）连接，根据中位线的性质可得到，再通过等量代换即可得到，从而得到是的切线；（2）利用圆的内接四边形对角相等，得到，从而得到，即可证明是等腰三角形；（3）连接，易证，则，即可得到的长度；再利用勾股定理可得的长，同时可得的长，再利用解直角三角形即可得到的长．
【详解】（1）证明：连接，如下图，
C是的中点，O是的中点，
，
，
，
，
为的直径，
∴，
即，
，
，
是的切线；
（2）证明：点C是的中点，，即，
，
∴，
四边形内接于，
，
，
是等腰三角形；
（3）解：连接，
，，
，
，即，
，，
；
在中，由勾股定理可得，
即，
解得，则，
是圆O的直径，
，
，即．
解得．
8．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形：
（1）连接，根据圆周角定理可得，从而得到，进而得到，即可求证；
（2）根据题意可得，从而得到，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
∵的半径为5，即，
∴，
∴．
9．(1)见解析
(2)的半径为4；
(3)．
【分析】（1）根据角平分线的定义和等边对等角证明，推出，再由，得到，即可证明是的切线；
（2）过点作于，证明四边形是矩形，得到，可由垂径定理和勾股定理求解即可；
（3）先解直角三角形得到，求出，再根据进行求解即可．
【详解】（1）证明：如图，
∵点E是劣弧的中点，
，
，
，
∴，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：过点作于，
，
，
，
四边形是矩形，
，
∵，
∴，
∴，
∴的半径为4；
（3）解：，
，
，
，
，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，矩形的性质与判定，解直角三角形，求不规则图形的面积，垂径定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．
10．(1)见解析；
(2)．
【分析】此题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理和中位线的性质，
（１）连接、，由圆周角定理得，通过则垂直平分，再根据中位线性质即可求证；
（）由，垂直平分，可得，则，故有垂直平分，且，再通过勾股定理即可求解；
解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．
【详解】（1）证明：如图，连接、，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴为的切线；
（2）∵，垂直平分，
∴，
∴，
∴垂直平分，且，
∴，
设与相交于点，则，
即，解得，
∴，，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴的面积为．
11．(1)见解析
(2)2
【分析】（1）连接，根据弦垂直平分，可得，再证为等边三角形，推出，结合和三角形外角的性质可得，进而推出，即可证明是的切线；
（2）先证点、、共线，推出为的直径，，再根据直角三角形内切圆半径公式计算出的半径，进而根据含30度角的直角三角形的性质求出，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵弦垂直平分，
∴，
∴为等边三角形，则，
∵，
∴，
∴，
∴是的切线．
（2）解：如图，是的内切圆，切点为K，N，H，与交于点M，
由（1）知为等边三角形，则，
∵，，
∴，，
∵上的点为的内心，
∴平分，
又∵平分，
∴点、、共线，
∴为的直径，，
∴，，
∴的内切圆的半径为，
即，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查切线的判定，等边三角形的判定的性质，三角形外角的定义和性质，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形的内切圆，圆周角定理等，涉及知识点较多，第2问有一定难度，解题的关键是求出内切圆的半径．
12．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据题意连接，利用全等三角形判定及性质得，继而得到本题答案；
（2）先判定，利用相似三角形性质可得，再用勾股定理即可得到本题答案．
【详解】（1）解：证明：连接，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：连接，
，
是的直径，
，
，
又，
，
，即：，
解得：，
在中，．
【点睛】本题考查切线的判定，全等三角形判定及性质，平行线性质，相似三角形判定及性质，勾股定理．
13．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了切线的判定，勾股定理，等边对等角，平行线的性质与判断等等：
（1）连接，先证明，再证明，，进而证明，即可证明是的切线；
（2）设的半径为r，根据勾股定理得到，解方程即可得到的半径即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵的平分线交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：设的半径为r，则，
∵在中，，
∴，
解得，
即的半径为．
14．(1)见解析；
(2)3．
【分析】（1）连接，由圆周角定理得到，由直角三角形斜边中线的性质结合等腰三角形的性质证得，由等腰三角形的性质得到，根据，得到，由切线的判定即可证得与相切；
（2）由直角三角形斜边中线的性质求出，根据相似三角形的判定得，进而求得，，，再利用勾股定理即可得解．
【详解】（1）证明：连接，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴与相切；
（2）解：由（）知，，，
∵是的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴即，
解得，
∴，，
∴，
∴的半径为．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定及性质以及切线的判定，解题的关键是：（）熟练掌握切线的判定方法；（）熟练掌握勾股定理及相似三角形的判定及性质．
15．(1)证明见解析
(2)的半径为
【分析】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键；
（1）连接，由圆周角定理得出，证出，由切线的判定可得出结论；
（2）证明，由相似三角形的性质得出，由比例线段求出和的长，可求出的长，则可得出答案．
【详解】（1）证明：连接，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴的半径为．
16．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的判定，直径所对圆周角为直角，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
（1）连接，由等边对等角及角平分线定义可证得与平行，进而可证明；
（2）由直径所对圆周角为直角，结合，结合证明，解直角三角形求出即可．
【详解】（1）证明：连接．
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴为的切线；
（2）解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
17．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查的是切线的判定和性质、弧长的计算：
（1）连接，证明，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理证明结论；
（2）连接，根据切线的性质得到，根据含30度角的直角三角形的性质求出，根据弧长公式计算，得到答案．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
，
∵平分，
∴，
，
∴，
，
∴，
为的半径，
∴是的切线；
（2）解：连接，
∵是的切线，是的切线，，
∴，
，
∴，
，
，
∴的长为：．
18．(1)见解析
(2)，
【分析】此题重点考查切线的判定、圆周角定理、勾股定理、三角形的面积公式、扇形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
（1）连接，得，即可得出，而，则，由，得，则，即可证明是的切线；
（2）由为的直径，得，则，所以，则．
【详解】（1）证明：连接，
平分，
，
，
，
又，
，
，
又是半径，
为的切线.
（2）解：为直径，
，
，
，
，
19．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据题意连接，利用全等三角形判定及性质即可判定切线；
（2）根据题意判定为等腰直角三角形，利用勾股定理即可得到本题答案．
【详解】（1）解：连接，
，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
又∵为半径，
∴为的切线；
（2）解：∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，，
则，，，
在和中，和，
即，
解得：，
∴的半径为．
【点睛】本题考查切线的判定，全等三角形判定及性质，等腰直角三角形判定及性质，勾股定理．
20．(1)见详解
(2)
【分析】（1）过点A作，垂足为F，则是的垂直平分线，且过圆心O，由平行得到，即可判定为切线；
（2）连接，由平行得，由垂直得，设，得，利用勾股定理求得和，以及的半径，即可得到，进一步得到，利用正切值求得，则有和，再次利用正切值即可求得．
【详解】（1）证明：过点A作，垂足为F，如图，
∵，，
∴是的垂直平分线，
∴过圆心O，
∵，
∴，
∵是圆O的半径，
∴是的切线；
（2）连接，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴设，则，
∵，
∴，
∴或（舍去），
∴，，
设的半径为r，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴．
【点睛】本题主要考查圆和三角形的有关知识，涉及等腰三角形的性质、平行线的性质、圆的切线判定、解直角三角形和勾股定理，解题的关键是熟练利用正切值和作辅助线．