中考数学一轮复习考点过关练习考点05 一元二次方程 (含答案)

这是一份中考数学一轮复习考点过关练习考点05 一元二次方程 (含答案)，共36页。试卷主要包含了一元二次方程的概念，一元二次方程的解法，利用一元二次方程解决实际问题等内容，欢迎下载使用。
考点05 一元二次方程

一、一元二次方程的概念
1．一元二次方程
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
2．一般形式
（其中为常数，），其中分别叫做二次项、一次项和常数项，分别称为二次项系数和一次项系数．
注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意，因为当时，不含有二次项，即不是一元二次方程；
（2）一元二次方程必须具备三个条件：
①必须是整式方程；
②必须只含有一个未知数；
③所含未知数的最高次数是2．
二、一元二次方程的解法
1．直接开平方法
适合于或形式的方程．
2．配方法
（1）化二次项系数为1；
（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项；
（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
（4）把方程整理成的形式；
（5）运用直接开平方法解方程．
3．公式法
（1）把方程化为一般形式，即；
（2）确定的值；
（3）求出的值；
（4）将的值代入即可．
4．因式分解法
基本思想是把方程化成的形式，可得或．
三、一元二次方程根的判别式及根与系数关系
1．根的判别式
一元二次方程是否有实数根，由的符号来确定，我们把叫做一元二次方程根的判别式．
2．一元二次方程根的情况与判别式的关系
（1）当时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当时，方程有1个（两个相等的）实数根；
（3）当时，方程没有实数根．
3．根与系数关系
对于一元二次方程（其中为常数，），设其两根分别为，，则，．
四、利用一元二次方程解决实际问题
列一元二次方程解应用题步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、设、列、解、验、答六步．列一元二次方程解应用题，经济类和面积类问题是常考内容．
1．增长率等量关系
（1）增长率＝增长量÷基础量．
（2）设为原来量，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量，则；当为平均下降率时，则有．
2．利润等量关系
（1）利润＝售价－成本．
（2）利润率＝×100％．
3．面积问题
（1）类型1：如图1所示的矩形长为，宽为，空白“回形”道路的宽为，则阴影部分的面积为．
（2）类型2：如图2所示的矩形长为，宽为，阴影道路的宽为，则空白部分的面积为．
（3）类型3：如图3所示的矩形长为，宽为，阴影道路的宽为，则4块空白部分的面积之和可转化为．

图1 图2 图3

考向一 一元二次方程的概念
一元二次方程必须具备三个条件：
①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2．

典例1 下列方程中是关于x的一元二次方程的是
A． B．ax2+bx+c=0
C．x2+x+1=0 D．x(x+1)=x2+7
【答案】C

【名师点睛】本题主要考查一元二次方程的定义.根据一元二次方程的定义对每个选项进行判断即可.注意D选项需要化简后进行观察.

1．若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是
A．m≠−1 B．m=−1
C．m≥−1 D．m≠0
考向二 解一元二次方程
一元二次方程的常见解法及适用情形：
一般形式：
直接开平方法
形如的方程，可直接开方求解，则，
因式分解法
可化为的方程，用因式分解法求解，则，
配方法
若不易于使用分解因式法求解，可考虑配方为，再直接开方求解
公式法
利用求根公式：

典例2 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为_______________．
【答案】或
【解析】因为是关于的一元二次方程的一个根，
所以，即，整理得，
解得，．故的值是或．
典例3 用配方法解方程时，配方结果正确的是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，即．
故选B．

2．一元二次方程的解是_______________．
3．方程的根是_______________．
考向三 一元二次方程根的判别式
对于方程，，
①若，方程有两个不相等的实数根；
②若，方程有两个相等的实数根；
③若，方程没有实数根．

典例4 已知关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是_______________．
【答案】
【解析】因为关于的一元二次方程无实数根，所以，且，解得．故的取值范围是．学-科网
典例5 有两个一元二次方程：①，②，其中，以下四个结论中，错误的是
A．如果方程①有两个相等的实数根，那么方程②也有两个相等的实数根
B．如果方程①和方程②有一个相同的实数根，那么这个根必定是
C．如果4是方程①的一个根，那么是方程②的一个根
D．方程①的两个根的符号相异，方程②的两个根的符号也相异
【答案】B
【解析】选项A，，，，所以A正确；
选项B，因为将分别代入方程，值相等，结合，可知B不正确；
选项C，因为，，即，故C正确；
选项D，由根与系数关系可知D正确．
故选B．

4．一元二次方程的根的情况是
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
5．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为
A． B．
C． D．
考向四 根与系数关系
设一元二次方程的两根分别为，，则，．

典例6 若是方程的一个根，则的值为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由根与系数的关系可得另一个根为，所以.
故选A．
典例7 如果，是一元二次方程的两个实根，那么_______________．
【答案】
【解析】由根与系数关系，可得，，则．

6．若方程的两根是，，则的值为_______________．
7．关于的方程的两个根是和，则的值为
A．　　　　　 B．
C．　　　　　　 D．
考向五 一元二次方程在实际问题中的应用
列一元二次方程解实际问题的关键是找出题中的等量关系，利用等量关系列出方程．其中分析实际问题是解决问题的前提和基础，解一元二次方程是重要方法和手段，并注意解出的方程的解是否符合实际问题．

典例8 某药品原价每盒元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒元，则该药品平均每次降价的百分率是_______________．
【答案】
【解析】设药品平均每次降价的百分率是a，则由题意可得，
解得，所以每次降价百分率是．
典例9 经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为，根据题意可列方程是_______________．
【答案】
【解析】由题意可得．

8．某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是
A．20% B．25%
C．50% D．62.5%
9．如图，在一块长为22米、宽为17米的长方形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与长方形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为x米，则根据题意可列出方程为

A． B．
C． D．


1．下列方程为一元二次方程的是
A． B．
C． D．
2．设，是方程的两个根，则
A． B．
C． D．
3．如果是方程的一个根，则常数k的值为
A．　　　　　　 B．
C．　　　　　　 D．
4．用公式法解﹣x2+3x=1时，先求出a、b、c的值，则a、b、c依次为
A．﹣1，3，﹣1 B．1，﹣3，﹣1
C．﹣1，﹣3，﹣1 D．﹣1，3，1
5．方程的解是
A． B．，
C．， D．，
6．方程的解是
A． B．
C．， D．，
7．若关于的一元二次方程的常数项为，则的值为
A．1 B．2
C．0或2 D．0
8．一元二次方程的根的情况为
A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
9．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是
A． B．
C． D．
10．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是
A． B．
C． D．
11．已知为常数，点在第二象限，则关于的方程根的情况是
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
12．关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则的值为
A． B．
C． D．或
13．如果是方程的一个根，则此方程的另一根为
A． B．
C． D．
14．设，是方程的两根，则代数式的值是
A． B．
C． D．
15．若关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则
A． B．
C． D．
16．已知一元二次方程的两根分别为，，则的值为
A． B．
C． D．
17．2018年某市人民政府投入1000万元用于改造乡村小学班班通工程建设，计划到2020年再追加投资210万元，如果每年的平均增长率相同，那么该市这两年该项投入的平均增长率为
A．10% B．8%
C．1.21% D．12.1%
18．已知一次函数y=kx+b的大致图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0的根的情况是

A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．有一个根是0
19．用配方法解方程x2+6x﹣5=0时，应该变形为_______________．
20．若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_______________．
21．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是_______________．
22．在一次聚会中，参加聚会的人每两位都相互握一次手，一共握手28次，设参加聚会有人，则可列方程_______________．
23．若是一元二次方程的两个根，则的值是_______________．
24．已知直角三角形两边的长是方程的两个根，则第三边的长为_______________．
25．设，是方程的两实数根，则_______________．
26．解下列方程：
（1）；



（2）；



（3）．



27．关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一根小于1，求的取值范围．




28．已知关于的方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）当取满足条件的最小整数时，求出方程的解．





29．根据要求，解答下列问题．
（1）根据要求，解答下列问题．
①方程的解为________________________；
②方程的解为________________________；
③方程的解为________________________；
……
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程的解为________________________；
②关于的方程________________________的解为，．
（3）请用配方法解方程，以验证猜想结论的正确性．





30．如图，要在长、宽分别为50米、40米的矩形草坪内建一个正方形的观赏亭．为方便行人，分别从东、南、西、北四个方向修四条宽度相同的矩形小路与亭子相连，若小路的宽是正方形观赏亭边长的，小路与观赏亭的面积之和占草坪面积的，求小路的宽．







31．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6 cm2？
（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于8 cm2？说明理由．








32．某商店经销一种成本为每千克元的水产品，据市场分析，若按每千克元销售，一个月能售出，销售单价每涨（或跌）元，月销售量就减少（或增加），解答以下问题：
（1）当销售单价定为每千克元时，计算月销售量和月销售利润；
（2）商店想在月销售成本不超过元的情况下，使得月销售利润达到元，销售单价应为多少？
（3）商店要使得月销售利润达到最大，销售单价应为多少？此时利润为多少？









1．（2018贵州省铜仁）关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为
A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3
C．x1=1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3
2．（2018湖南省湘西州）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为
A．1 B．﹣3
C．3 D．4
3．（2018甘肃省陇南）关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个实数根，则k的取值范围是
A．k≤﹣4 B．k＜﹣4
C．k≤4 D．k＜4
4．（2018辽宁省锦州）一元二次方程2x2−x+1=0的根的情况是
A．两个不相等的实数根 B．两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
5．（2018四川省泸州）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是
A．k≥1 B．k＞1
C．k＜1 D．k≤1
6．（2018福建）已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，下列判断正确的是
A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根
B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根
C．1和﹣1都是关于x的方程x2+bx+a=0的根
D．1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根
7．（2018河南）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是
A．x2+6x+9=0 B．x2=x
C．x2+3=2x D．（x﹣1）2+1=0
8．（2018湖北省咸宁）已知一元二次方程2x2+2x﹣1=0的两个根为x1，x2，且x1＜x2，下列结论正确的是
A．x1+x2=1 B．x1•x2=﹣1
C．|x1|＜|x2| D．x12+x1=
9．（2018广西壮族自治区贵港）已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是
A．3 B．1
C．﹣1 D．﹣3
10．（2018山东省潍坊）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+=0有两个不相等的实数根x1，x2．若+=4m，则m的值是
A．2 B．﹣1
C．2或﹣1 D．不存在
11．（2018黑龙江省龙东地区）某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？
A．4 B．5
C．6 D．7
12．（2018浙江省舟山）欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取.则该方程的一个正根是

A．的长 B．的长
C．的长 D．的长
13．（2018四川省资阳）已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，则m=_____．
14．（2018云南省曲靖）关于x的方程ax2+4x﹣2=0（a≠0）有实数根，那么负整数a=_____（一个即可）．
15．（2018贵州省毕节）已知关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是_____．
16．（2018湖南省益阳）规定：，如：，若，则＝_____．
17．（2018湖北省荆州）关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=4，则x12﹣x1x2+x22的值是_____．
18．（2018四川省达州）已知：m2﹣2m﹣1=0，n2+2n﹣1=0且mn≠1，则的值为_____．
19．（2018甘肃省兰州）解方程：．




20．（2018湖北省十堰）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=11，求k的值．








21．（2018湖北省孝感）已知关于的一元二次方程.
（1）试证明：无论取何值此方程总有两个实数根；
（2）若原方程的两根，满足，求的值.










22．（2018黑龙江省绥化）已知关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当时，方程的两根分别是矩形的长和宽，求该矩形外接圆的直径．






23．（2018重庆）在美丽乡村建设中，某县政府投入专项资金，用于乡村沼气池和垃圾集中处理点建设．该县政府计划：2018年前5个月，新建沼气池和垃圾集中处理点共计50个，且沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍．
（1）按计划，2018年前5个月至少要修建多少个沼气池？
（2）到2018年5月底，该县按原计划刚好完成了任务，共花费资金78万元，且修建的沼气池个数恰好是原计划的最小值．据核算，前5个月，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用之比为1：2．为加大美丽乡村建设的力度，政府计划加大投入，今年后7个月，在前5个月花费资金的基础上增加投入10a%，全部用于沼气池和垃圾集中处理点建设．经测算：从今年6月起，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用在2018年前5个月的基础上分别增加a%，5a%，新建沼气池与垃圾集中处理点的个数将会在2018年前5个月的基础上分别增加5a%，8a%，求a的值．











变式拓展

1．【答案】A
【解析】根据一元二次方程的定义可得：m+1≠0，解得：m≠−1.
故选A．
【名师点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程必须满足三个条件：
（1）必须是整式方程；（2）未知数的最高次数是2；（3）二次项系数不为0．根据一元二次方程的定义求解即可．
2．【答案】，

3．【答案】，
【解析】，即，即，即或，解得，．
4．【答案】B
【解析】由可得，所以方程有两个不相等的实数根.
故选B．
5．【答案】A
【解析】由题可得.
故选A．
6．【答案】5
【解析】根据题意得，，所以．
7．【答案】C
【解析】因为关于的方程的两个根是和，所以，，所以，，所以．
故选C．

9．【答案】D
【解析】设道路的宽应为x米，
由题意得（22−x）（17−x）=300，
故选D．
【名师点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．
考点冲关

1．【答案】B
【解析】A、是二元二次方程，故不是一元二次方程，故此选项错误；
B、是一元二次方程，故此选项正确；
C、原方程化简整理后是一元一次方程，故此选项错误；
D、是分式方程，不是一元二次方程，故此选项错误；
故选B．
【名师点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．利用一元二次方程的定义：含有一个未知数，未知数的最高次数为2次，这样的整式方程称为一元二次方程，判断即可．
2．【答案】B
【解析】由根与系数的关系可得.
故选B．
3．【答案】B
【解析】因为是方程的一个根，所以，解得．
故选B．
4．【答案】A
【解析】方程﹣x2+3x=1整理得：﹣x2+3x﹣1=0，
则a，b，c依次为﹣1，3，﹣1．
故选A．
【名师点睛】将一元二次方程整理成一般形式后即可判断出a，b，c的值.
5．【答案】B
【解析】由，可得，则，.
故选B．
6．【答案】D
【解析】，即，即，即或，
所以，，
故选D.
【名师点睛】本题是个易错题，因为不知道是否为0，所以不能直接利用等式的性质2两边除以．
7．【答案】D
【解析】由题意可得，解得.
故选D．
【名师点睛】本题主要考查一元二次方程的概念，一元二次方程的解和解方程的应用，关键是得出且．
8．【答案】B
【解析】因为，所以方程有2个不相等的实数根．
故选B．
9．【答案】C
【解析】由题意得，即，解得.
故选C．
10．【答案】A
【解析】由题可得，解得．
故选A．
11．【答案】B
【解析】因为点在第二象限，所以，，所以，所以，所以方程有两个不相等的实数根．
故选B．

13．【答案】B
【解析】由根与系数关系，可得，有一个根是，则另一个根是．故选B．
【名师点睛】一元二次方程根与系数的关系：，．
故选B．
14．【答案】A
【解析】由根与系数关系，可得，，则．
故选A．
15．【答案】A
【解析】由根与系数关系可得，，解得，．所以 ．
故选A．
16．【答案】D
【解析】由根与系数的关系可得，，所以.
故选D．
17．【答案】A
【解析】设该市这两年该项投入的平均增长率为x，
依题意可得，解得，(舍去)．
即该市这两年该项投入的平均增长率为10%．
故选A．
18．【答案】A
【解析】∵一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，∴k>0，b0，
∴方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不等的实数根.
故选A．
【名师点睛】判断根的情况，只要看根的判别式△=b2−4ac的值的符号就可以了．
19．【答案】（x+3）2=14
【解析】方程移项得：x2+6x=5，配方得：x2+6x+9=14，即（x+3）2=14.
【名师点睛】此题考查了解一元二次方程的方法：配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．方程中常数项移到右边，两边加上9，利用完全平方公式化简得到结果，即可作出判断．
20．【答案】
【解析】因为方程有两个不相等的实数根，所以，即，解得，故填．学=科网
21．【答案】
【解析】因为关于的一元二次方程有两个相等的实数根，所以，解得．
22．【答案】
【解析】参加聚会的有人，每个人都要握手次，可列方程：．
23．【答案】15
【解析】因为是一元二次方程的两个根，所以，，所以．

25．【答案】
【解析】方程可化为，因为，是方程的两实数根，所以，，所以，，所以．
26．【答案】（1）；（2）；（3），．
【解析】（1），开平方可得，即，
所以方程的解为．
（2）由，可得，，
所以，
所以方程的解为．
（3），即，即，
即，解得，，
所以方程的解为，．
【名师点睛】一元二次方程的解法：（1）直接开平方法，没有一次项的方程适用；（2）配方法，所有方程适用；（3）公式法，所有方程适用；（4）因式分解法，可因式分解的方程适用．
27．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）因为，
所以方程总有两个实数根．
（2）因为，
所以，，
因为方程总有一根小于1，
所以，即．
故的取值范围为．
【思路分析】（1）由方程根的判别式即可求证；（2）由因式分解法可将方程化为的形式，解出两根即可．
28．【答案】（1）；（2），．
【解析】（1）根据题意可得，解得．
（2）因为，所以最小的整数为，
所以，即，解得，．
【思路分析】（1）方程有两个不相等的实数根，判别式大于0，由此可求参数的取值范围；（2）利用（1）的结论求出a的值，代入原方程解方程即可．
29．【答案】（1）①，，②，，③，；
（2）①，，②；（3），，猜想结论正确．
【解析】（1）①，；②，；③，．
（2）①，；②．
（3），即，即，即，
所以，
所以，．
故猜想结论正确．
30．【答案】小路的宽为2米．
【解析】设小路的宽为x米，
由题意得，（5x）2+（40+50）x﹣2×x×5x=×40×50，
解得x=2或x=﹣8（不合题意，舍去）
答：小路的宽为2米．
【名师点睛】考查一元二次方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系列出方程是解题的关键.根据“小路与观赏亭的面积之和占草坪面积的”，建立方程求解即可得出结论．
31．【答案】（1）2或3秒；（2）不能.
【解析】（1）设经过x秒以后△PBQ的面积为6 cm2，
则×（5﹣x）×2x=6，
整理得：x2﹣5x+6=0，
解得：x=2或x=3．
答：2或3秒后△PBQ的面积等于6 cm2 ．
（2）设经过x秒以后△PBQ面积为8 cm2，则
×（5﹣x）×2x=8，
整理得：x2﹣5x+8=0，
因为△=25﹣32=﹣7＜0，
所以此方程无解，
故△PQB的面积不能等于8 cm2．
【名师点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语“△PBQ的面积等于6 cm2”，得出等量关系是解决问题的关键．
（1）设经过x秒钟，△PBQ的面积等于6 cm2，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解．
（2）通过判定得到的方程的根的判别式即可判定能否达到8 cm2．
32．【答案】（1）月销售量为450千克，月销售利润为6750元；（2）销售单价应为元；（3）销售单价应为元，此时利润为元．
【解析】（1）月销售量为500−10×（35−30）=450（千克），
月销售利润为（35−20）×450= 6750（元）.

（3）设应涨价x元，
∵月销售利润
，
∴当时，，
答：商店要使得月销售利润达到最大，销售单价应为元，此时利润为元．
【名师点睛】本题考查的是一元二次方程的应用和二次函数的应用，解答本题的关键是读懂题意，找到合适的等量关系，然后设出未知数正确列出方程．注意熟记等量关系：销售利润=每件利润×数量.
（1）销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．那么涨价5元，月销售量就减少50千克．根据月销售利润=每件利润×数量即可求出题目的结果；
（2）等量关系为：销售利润=每件利润×数量，设单价应定为x元，根据这个等式即可列出方程求解，再结合销售成本不超过元进行取舍即可；
（3）根据（2）中的相等关系列出函数解析式，化为顶点式即可求出答案.
直通中考

1．【答案】C
【解析】x2−4x+3=0，分解因式得：（x−1）（x−3）=0，解得：x1=1，x2=3.
故选C．
【名师点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
2．【答案】C
【解析】设方程的另一个解为x1，根据题意得：﹣1+x1=2，解得：x1=3.
故选C．
【名师点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．设方程的另一个解为x1，根据两根之和等于﹣，即可得出关于x1的一元一次方程，解之即可得出结论．
3．【答案】C
【解析】根据题意得=42﹣4k≥0，解得k≤4．
故选C．
【名师点睛】本题考查了根的判别式，根据判别式的意义得=42﹣4k≥0，然后解不等式即可．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与=b2﹣4ac有如下关系：当＞0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当＜0时，方程无实数根．
4．【答案】C
【解析】∵=b 2 −4ac=1−8=−7＜0，∴一元二次方程2x 2 −x+1=0没有实数根．
故选C．
【名师点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式=b2−4ac，先计算=b2−4ac的值，再根据计算结果判断方程根的情况即可．当>0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，
∴x==，
，.
【名师点睛】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有提公因式法、公式法、因式分解法等，根据方程的系数特点灵活选择恰当的方法进行求解是解题的关键.先找出a，b，c，再求出b2−4ac=28，根据求根公式即可求出答案．
20．【答案】（1）k≤；（2）k=﹣1．
【解析】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根，
∴≥0，即[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+k﹣1）=﹣8k+5≥0，
解得k≤.
（2）由根与系数的关系可得x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2+k﹣1，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（2k﹣1）2﹣2（k2+k﹣1）=2k2﹣6k+3，
∵x12+x22=11，
∴2k2﹣6k+3=11，解得k=4，或k=﹣1，
∵k≤，
∴k=4（舍去），
∴k=﹣1．
【名师点睛】本题考查了根的别式、根与系数的关系，利用完全平方公式将根与系数的关系的代数式变形是解题中一种经常使用的解题方法.
（1）根据方程有实数根得出=[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+k﹣1）=﹣8k+5≥0，解之可得；
（2）利用根与系数的关系可用k表示出x1+x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍．
21．【答案】（1）证明见解析；（2）−2.
【解析】（1）原方程可变形为x2−5x+6−p2−p=0．
∵=（−5）2−4（6−p2−p）=25−24+4p2+4p=4p2+4p+1=（2p+1）2≥0，
∴无论p取何值此方程总有两个实数根.
（2）∵原方程的两根为x1、x2，
∴x1+x2=5，x1x2=6−p2−p．
又∵x12+x22−x1x2=3p2+1，
∴（x1+x2）2−3x1x2=3p2+1，
∴52−3（6−p2−p）=3p2+1，
∴25−18+3p2+3p=3p2+1，
∴3p=−6，
∴p=−2．
【名师点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：
（1）牢记“当≥0时，方程有两个实数根”；
（2）根据根与系数的关系结合x12+x22−x1x2=3p2+1，求出p值．
22．【答案】（1）；（2）该矩形外接圆的直径是
【解析】（1）方程有实数根，
，解得，
当时，原方程有实数根.
（2）当时，原方程可化为：，
设方程的两个根分别为、，则，，
该矩形外接圆的直径是矩形的对角线AC，如图所示，

，
该矩形外接圆的直径是
【名师点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、矩形与圆的关系，熟练掌握根与系数的关系和利用完全平方公式变形求值是解题的关键．
（1）由根的判别式列出不等式，解不等式可得m的取值范围；
（2）由根与系数的关系可得、，该矩形外接圆的直径是矩形的对角线AC，根据勾股定理可得结论．
23．【答案】（1）按计划，2018年前5个月至少要修建40个沼气池；（2）10.
【解析】（1）设2018年前5个月要修建x个沼气池，则2018年前5个月要修建（50﹣x）个垃圾集中处理点，
根据题意得：x≥4（50﹣x），
解得：x≥40．
答：按计划，2018年前5个月至少要修建40个沼气池．
（2）修建每个沼气池的平均费用为78÷[40+（50﹣40）×2]=1.3（万元），
修建每个垃圾处理点的平均费用为1.3×2=2.6（万元）．
根据题意得：1.3×（1+a%）×40×（1+5a%）+2.6×（1+5a%）×10×（1+8a%）=78×（1+10a%），
设y=a%，整理得：50y2﹣5y=0，
解得：y1=0（不合题意，舍去），y2=0.1，
∴a的值为10．
【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：根据沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍，列出关于x的一元一次不等式；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
（1）设2018年前5个月要修建x个沼气池，则2018年前5个月要修建（50−x）个垃圾集中处理点，根据沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论；
（2）根据单价=总价÷数量可求出修建每个沼气池的平均费用，进而可求出修建每个垃圾集中点的平均费用，设y=a%结合总价=单价×数量即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出y值，进而可得出a的值．