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2023届上海市松江区高三上学期期末数学试卷（一模）（解析版）
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这是一份2023届上海市松江区高三上学期期末数学试卷（一模）（解析版），共21页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
上海市松江区2022-2023学年高三上学期期末数学试卷（一模）解析版
一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题4分，12题第1空分，第2空3分，共54分）
1．已知集合A＝（﹣2，1]，B＝Z，则A∩B＝ ．
2．函数y＝sinxcosx的最小正周期是 ．
3．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2＝ ．
4．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2S3＝3S2+6，则公差d＝ ．
5．已知函数y＝a﹣为奇函数，则实数a＝ ．
6．已知圆锥的母线长为5，侧面积为20π，则此圆锥的体积为 ．
7．已知向量＝（5，3），＝（﹣1，2），则在上的投影向量的坐标为 ．
8．对任意x∈R，不等式|x﹣2|+|x﹣3|≥2a2+a恒成立，则实数a的取值范围为 ．
9．已知集合．设函数的值域为B，若B⊆A，则实数a的取值范围为 ．
10．已知F1，F2是双曲线Γ：的左、右焦点，点M是双曲线Γ上的任意一点（不是顶点），过F1作∠F1MF2的角一部分线的垂线，垂足为N，线段F1N的延长线交MF2于点Q，O是坐标原点，若，则双曲线Γ的渐近线方程为 ．
11．动点P的棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1表面上运动，且与点A的距离是，点P的集合形成一条曲线，这条曲线的长度为 ．
12．已知数列{an}的各项都是正数，an+12﹣an+1＝an（n∈N*，n≥1），若数列{an}为严格增数列，则首项a1的取值范围是 ，当a1＝时，记bn＝，若k＜b1+b2+…+b2022＜k+1，则整数k＝ ．
二、选择题（13-14每小题4分，15-16每小题4分，共18分）
13．下面四个条件中，使a＞b成立的充要条件是（ ）
A．a＞b+1 B．a＞b﹣1 C．a2＞b2 D．a3＞b3
14．函数y＝（x2﹣1）ex的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
15．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2﹣m1＝lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k＝1，2）．已知太阳的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）
A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10﹣10.1
16．已知函数，g（x）＝kx+1，若函数y＝f（x）﹣g（x）的图像经过四个象限，则实数k的取值范围为（ ）
A． B．
C．（﹣2，+∞） D．
三、解答题（共78分）
17．（14分）如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD
（1）求证：平面ACD⊥平面ABC；
（2）若AB＝1，CD＝BC＝2，求直线AD与平面ABC所成角的大小；
18．（14分）在三角形ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知；
（1）求角B的大小；
（2）若c＝2a，三角形ABC的面积为，求三角形ABC的周长．
19．（14分）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，OO'为铅垂线（O'在AB上），经测量，山谷左侧的轮廓曲线AO上任一点D到MN的距离h1（米）与D到OO'的距离a（米）之间满足关系式h1＝；山谷右侧的轮廓曲线BO上任一点F到MN的距离h2（米）与F到OO'的距离b（米）之间满足关系式h2＝﹣+6b；已知点B到OO'的距离为40米；
（1）求谷底O到桥面AB的距离和桥AB的长度；
（2）计划在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上（不包括端点），桥墩EF每米造价为k万元（k＞0）；问：O'E为多少米时，桥墩CD和EF的总造价最低？
20．（18分）已知椭圆Γ：的长轴长为2，离心率为，直线l与椭圆Γ有两个不同的交点A，B
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）若直线l的方程为：y＝x+t，椭圆上点关于直线l的对称点N（与M不重合）在椭圆Γ上，求t的值；
（3）设P（﹣2，0），直线PA与椭圆Γ的另一个交点为C，直线PB与椭圆Γ的另一个交点为D，若点C，D和点三点共线，求k的值．
21．（18分）已知定义在R上的函数f（x）＝ekx+b（e是自然对数的底数）满足f（x）＝f'（x），且f（﹣1）＝1，删除无穷数列f（1），f（2），f（3），…，f（n），…中的第3项，第6项，…，第3n项，…（n∈N，n≥1），余下的项按原来顺序组成一个新数列{tn}，记数列{tn}前n项和为Tn；
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知数列{tn}的通项公式是tn＝f（g（n）），n∈N，n≥1，求函数g（n）的解析式；
（3）设集合X是实数集R的非空子集，如果正实数a满足：对任意x1，x2∈X，都有|x1﹣x2|≤a，设称a为集合X的一个“阈度”；
记集合，试问集合H存在“阈度”吗？若存在，求出集合H“阈度”的取值范围；若不存在，请说明理由；
参考答案与试题解析
一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题4分，12题第1空分，第2空3分，共54分）
1．已知集合A＝（﹣2，1]，B＝Z，则A∩B＝ {﹣1，0，1} ．
【分析】直接利用集合的交集运算求解即可．
【解答】解：∵集合A＝（﹣2，1]，B＝Z，
∴A∩B＝{﹣1，0，1}．
故答案为：{﹣1，0，1}．
【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
2．函数y＝sinxcosx的最小正周期是 π ．
【分析】把函数y＝sinxcosx化为一个角的一个三角函数的形式，然后求出它的最小正周期．
【解答】解：函数y＝sinxcosx＝sin2x，
它的最小正周期是：＝π．
故答案为：π．
【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法，二倍角的正弦，考查计算能力，是基础题．
3．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2＝ 3+4i ．
【分析】直接利用复数是共轭复数，求出ab，即可求解（a+bi）2．
【解答】解：因为a，b∈R，i是虚数单位．若a﹣i与2+bi互为共轭复数，
所以a＝2，b＝1．
（a+bi）2＝（2+i）2＝3+4i．
故答案为：3+4i．
【点评】本题考查复数的基本概念的应用，复数的代数形式的混合运算，考查计算能力．
4．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2S3＝3S2+6，则公差d＝ 2 ．
【分析】根据已知条件，可得2（a1+a2+a3）＝3（a1+a2）+6，再结合等差中项的性质，即可求解．
【解答】解：∵2S3＝3S2+6，
∴2（a1+a2+a3）＝3（a1+a2）+6，
∵{an}为等差数列，
∴6a2＝3a1+3a2+6，
∴3（a2﹣a1）＝3d＝6，解得d＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查等差数列的前n项和，考查转化能力，属于基础题．
5．已知函数y＝a﹣为奇函数，则实数a＝ 1 ．
【分析】由题意可得f（0）＝0，解出a再验证即可．
【解答】解：∵函数f（x）＝a﹣为奇函数，
∴f（0）＝a﹣＝0，
解得，a＝1，
经验证，函数f（x）＝1﹣为奇函数．
故答案为：1．
【点评】本题考查了函数的奇偶性的应用，属于基础题．
6．已知圆锥的母线长为5，侧面积为20π，则此圆锥的体积为 16π ．
【分析】根据侧面积公式计算底面半径，再计算圆锥的高，代入体积公式计算体积．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则S侧＝πr×5＝20π，
∴r＝4，
∴圆锥的高h＝＝3，
∴圆锥的体积V＝＝＝16π．
故答案为：16π．
【点评】本题考查了圆锥的侧面积和体积公式，属于基础题．
7．已知向量＝（5，3），＝（﹣1，2），则在上的投影向量的坐标为 ．
【分析】利用向量的投影向量公式，代入坐标进行计算即可．
【解答】解：向量＝（5，3），＝（﹣1，2），
∴在上的投影向量的坐标为：＝＝（﹣1，2）＝．
故答案为：（，）．
【点评】本题考查了投影和投影向量的定义及求法，向量坐标的数量积的运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．
8．对任意x∈R，不等式|x﹣2|+|x﹣3|≥2a2+a恒成立，则实数a的取值范围为 [﹣1，] ．
【分析】由不等式性质可知，|x﹣2|+|x﹣3|≥|（x﹣2）+（3﹣x）|＝1，即2a2+a≤1，求解即可．
【解答】解：|x﹣2|+|x﹣3|＝|x﹣2|+|3﹣x|≥|（x﹣2）+（3﹣x）|＝1，
即2a2+a≤1，（2a﹣1）（a+1）≤0，
解得a∈[﹣1，]．
故答案为：[﹣1，]．
【点评】本题主要考查了函数恒成立问题的求解，是中档题．
9．已知集合．设函数的值域为B，若B⊆A，则实数a的取值范围为 （4，5] ．
【分析】先求出集合A，再结合对数函数的性质求出集合B，再利用集合间的包含关系列出不等式组，求出a的取值范围即可．
【解答】解：不等式，等价于，等价于（x﹣2）（x﹣4）≤0且x﹣2≠0，
解得2＜x≤4，
即A＝{x|2＜x≤4}，
函数y＝+a，x∈（2，4]，
∴y∈[﹣2+a，﹣1+a），即B＝[﹣2+a，﹣1+a），显然B≠∅，
∵B⊆A，
∴，解得4＜a≤5，
即实数a的取值范围为（4，5]．
故答案为：（4，5]．
【点评】本题主要考查了分式不等式的解法，考查了对数函数的性质，以及集合间的包含关系，属于中档题．
10．已知F1，F2是双曲线Γ：的左、右焦点，点M是双曲线Γ上的任意一点（不是顶点），过F1作∠F1MF2的角一部分线的垂线，垂足为N，线段F1N的延长线交MF2于点Q，O是坐标原点，若，则双曲线Γ的渐近线方程为 y＝±2x ．
【分析】延长F1N交MF2的延长线于Q，因为MN是∠F1MF2角平分线，F1N⊥MN，可得△F1MQ为等腰三角形，再由题意可得|F1F2|＝3|F2Q|，结合双曲线的定义可得a，c的关系，得到a，b的关系，求出双曲线的渐近线的方程．
【解答】解：延长F1N交MF2的延长线于Q，因为MN是∠F1MF2角平分线，F1N⊥MN，如图所示：
所以△F1MQ为等腰三角形，|F1M|＝|MQ|，
N为F1Q的中点，O为F1F2的中点，
所以ON是△F1F2Q的中位线，所以|ON|＝|F2Q|，
若，则|F1F2|＝3|F2Q|＝3（|MQ|﹣|MF2|）＝3（|MF1|﹣|MF2|）＝6a，
即c＝3a，可得b2＝c2﹣a2＝9a2﹣a2＝8a2，所以＝2，
所以双曲线的渐近线的方程为y＝±x＝±2x．
故答案为：y＝±2x．
【点评】本题考查双曲线的性质的应用，角平分线的性质的应用，属于中档题．
11．动点P的棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1表面上运动，且与点A的距离是，点P的集合形成一条曲线，这条曲线的长度为 ．
【分析】本题首先要弄清楚曲线的形状，再根据曲线的性质及解析几何知识即可求出长度．
【解答】解：由题意，此问题的实质是以A为球心、为半径的球在正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面上交线的长度计算，正方体的各个面根据与球心位置关系分成两类：ABCD、AA1DD1、AA1BB1为过球心的截面，截痕为大圆弧，各弧圆心角为、A1B1C1D1、B1BCC1、D1DCC1为与球心距离为1的截面，截痕为小圆弧，
由于截面圆半径为r＝，故各段弧圆心角为．
∴这条曲线长度为3••+3••＝
故答案为：．
【点评】本题以正方体为载体，考查轨迹，考查曲线的周长，有一定的难度．
12．已知数列{an}的各项都是正数，an+12﹣an+1＝an（n∈N*，n≥1），若数列{an}为严格增数列，则首项a1的取值范围是 （0，2） ，当a1＝时，记bn＝，若k＜b1+b2+…+b2022＜k+1，则整数k＝ ﹣6 ．
【分析】本题根据正数数列{an}是单调递增数列，可列出an﹣an+1＝﹣2an+1＜0，通过求出an+1的取值范围，得到a2的取值范围，逆推出a1的取值范围；第二空采用裂项相消法求出b1+b2+…+b2022的表达式，然后进行不等式范围计算，即可得到结果．
【解答】解：因为正数数列{an}是单调递增数列，且an+12﹣an+1＝an（n∈N*），
所以an﹣an+1＝﹣2an+1＜0，解得an+1∈（1，2），
所以a2∈（1，2）．
所以a1＝﹣a2∈[﹣，2），
又因为a1＞0，
所以0＜a1＜2，
由﹣an+1＝an，可得：＝＝﹣，
所以＝+，
因为bn＝，
所以b1+b2+...+b2022＝﹣+﹣...+﹣
＝﹣（+）+（+）﹣...﹣（+）+（+）﹣（）
＝﹣﹣++﹣...﹣﹣++﹣﹣
＝﹣﹣
＝﹣3﹣﹣
＝﹣﹣．
又因为a1＝，且数列{an}是递增数列，
所以a2022∈（，2），即∈（，），
所以﹣6＜﹣﹣＜﹣5．
所以整数k＝﹣6．
故答案为：（0，2）；﹣6．
【点评】本题考查了数列递推关系、裂项相消法的应用，数列的周期性，考查了推理能力与不等式的计算能力，是难题．
二、选择题（13-14每小题4分，15-16每小题4分，共18分）
13．下面四个条件中，使a＞b成立的充要条件是（ ）
A．a＞b+1 B．a＞b﹣1 C．a2＞b2 D．a3＞b3
【分析】分别判断四个选项与a＞b的关系．
【解答】解：A．若a＞b，则a＞b+1不一定成立．
B．若a＞b，则a＞b﹣1一定成立，但若a＞﹣1b，则a＞b不一定成立．
C．若a＞b，则a2＞b2不一定成立，反之也不成立．
D．因为函数f（x）＝x3在R上是单调递增函数，所以若a＞b，则一定有a3＞b3，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查充分条件和必要条件的判断，要求掌握判断充分条件和必要条件的方法：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．
14．函数y＝（x2﹣1）ex的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】由函数值f（±1）＝0的可排除选项A，B，再由x→∞排除D．
【解答】解：函数y＝（x2﹣1）ex，
当x＝±1时，y＝0，故可排除A，B，
当x→﹣∞时，y＝（x2﹣1）ex＞0，故可排除D，
故选项C正确．
故选：C．
【点评】本题考查了函数图象的识别，解题的关键是掌握识别图象的方法：可以从定义域、值域、函数值的正负、特殊点、特殊值、函数的性质等方面进行判断，考查了直观想象能力与逻辑推理能力，属于基础题．
15．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2﹣m1＝lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k＝1，2）．已知太阳的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）
A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10﹣10.1
【分析】把已知数据代入m2﹣m1＝lg，化简后利用对数的运算性质求解．
【解答】解：设太阳的星等是m1＝﹣26.7，天狼星的星等是m2＝﹣1.45，
由题意可得：，
∴，则．
故选：A．
【点评】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．
16．已知函数，g（x）＝kx+1，若函数y＝f（x）﹣g（x）的图像经过四个象限，则实数k的取值范围为（ ）
A． B．
C．（﹣2，+∞） D．
【分析】问题转化为函数y＝f（x）与y＝g（x）在x轴的正负半轴都有两个交点，作出函数y＝f（x）的图象，而直线g（x）＝kx+1，过定点P（0，1），利用导数的几何意义求出直线y＝kx+1与函数y＝x2﹣4x+2（x≥0）相切时的切线斜率，再求出直线y＝kx+1过点（﹣2，0）的斜率，数形结合即可求出k的取值范围．
【解答】解：直线g（x）＝kx+1，过定点P（0，1），
函数y＝f（x）﹣g（x）的图像经过四个象限，等价于函数y＝f（x）与y＝g（x）在x轴的正负半轴都有两个交点，
过点P（0，1）作y＝x2﹣4x+2（x≥0）的切线，切点设为M（x0，），
∵y'＝2x﹣4，∴k＝2x0﹣4，
∴切线方程为y﹣（）＝（2x0﹣4）（x﹣x0），
把点P（0，1）代入上述切线方程得，1﹣+4x0﹣2＝﹣x0（2x0﹣4），
解得x0＝1，∴k＝﹣2，
易知f（x）＝|x+2|（x＜0）与x轴交于点N（﹣2，0），∴kPN＝，
∴﹣2＜k＜，
∴实数k的取值范围为（﹣2，）．
故选：A．
【点评】本题主要考查了分段函数的图象和零点个数问题，考查了数形结合的数学思想，属于中档题．
三、解答题（共78分）
17．（14分）如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD
（1）求证：平面ACD⊥平面ABC；
（2）若AB＝1，CD＝BC＝2，求直线AD与平面ABC所成角的大小；
【分析】（1）由已知结合线线，线面与面面垂直的相互转化即可证明；
（2）先作出直线AD与平面ABC所成的角，然后解三角形可求．
【解答】（1）证明：因为AB⊥平面BCD，BC⊥CD，
由三垂线定理可知，CD⊥AC，
因为BC⊥CD且AB∩BC＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，
所以CD⊥平面ABC，
因为CD⊂平面ACD，
所以平面ACD⊥平面ABC；
（2）因为CD⊥平面ABC，
所以∠CAD为直线AD与平面ABC所成的角，
因为BC＝CD＝2，∠BCD＝90°，
所以BD＝2，
因为AB＝1，所以AD＝3，
Rt△ACD中，sin∠CAD＝＝，
即直线AD与平面ABC所成的角为arcsin．
【点评】本题主要考查了面面垂直的判定及线面角的求解，属于中档题．
18．（14分）在三角形ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知；
（1）求角B的大小；
（2）若c＝2a，三角形ABC的面积为，求三角形ABC的周长．
【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求tanB，进而可求B；
（2）由已知结合三角形面积公式可求a，c，然后结合余弦定理可求b，进而可求三角形的周长．
【解答】解：（1）因为，
由正弦定理可得，asinB＝bsinA，
所以acos（B﹣）＝asinB，即sinB＝cos（B﹣）＝，
化简得tanB＝，
由B为三角形内角得B＝60°；
（2）因为c＝2a，三角形ABC的面积为，
所以＝＝，
所以a＝，c＝，
由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB＝（）2+（）2﹣2×＝4，
所以b＝2，
故三角形的周长为2+2．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
19．（14分）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，OO'为铅垂线（O'在AB上），经测量，山谷左侧的轮廓曲线AO上任一点D到MN的距离h1（米）与D到OO'的距离a（米）之间满足关系式h1＝；山谷右侧的轮廓曲线BO上任一点F到MN的距离h2（米）与F到OO'的距离b（米）之间满足关系式h2＝﹣+6b；已知点B到OO'的距离为40米；
（1）求谷底O到桥面AB的距离和桥AB的长度；
（2）计划在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上（不包括端点），桥墩EF每米造价为k万元（k＞0）；问：O'E为多少米时，桥墩CD和EF的总造价最低？
【分析】（1）设AA1，BB1，CD1，EF1都与MN垂直，A1，B1，D1，F1是相应垂足．结合已知条件，转化求解AB即可．
（2）以O为原点，OO'为y轴建立平面直角坐标系xOy（如图所示）．设F（x，y2），x∈（0，40），推出EF，CD，CD和EF的总造价为f（x），得到函数的解析式，利用函数的导数转化求解最小值即可．
【解答】解：（1）设AA1，BB1，CD1，EF1都与MN垂直，A1，B1，D1，F1是相应垂足．
由条件知，当O'B＝40时，，
则AA1＝160．
由，
得O'A＝80．
所以AB＝O'A+O'B＝80+40＝120（米）．
（2）以O为原点，OO'为y轴建立平面直角坐标系xOy（如图所示）．
设F（x，y2），x∈（0，40），则，．
因为CE＝80，所以O'C＝80﹣x．
设D（x﹣80，y1），则，
所以．
记桥墩CD和EF的总造价为f（x），
则＝．
，
令f'（x）＝0，得x＝20．
x
（0，20）
20
（20，40）
f'（x）
﹣
0
+
f（x）
↘
极小值
↗
所以当x＝20时，f（x）取得最小值．
∴当O'E为20米时，桥墩CD和EF的总造价最低．
【点评】本题考查函数与方程的综合应用，函数的导数求解函数的最值，是中档题．
20．（18分）已知椭圆Γ：的长轴长为2，离心率为，直线l与椭圆Γ有两个不同的交点A，B
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）若直线l的方程为：y＝x+t，椭圆上点关于直线l的对称点N（与M不重合）在椭圆Γ上，求t的值；
（3）设P（﹣2，0），直线PA与椭圆Γ的另一个交点为C，直线PB与椭圆Γ的另一个交点为D，若点C，D和点三点共线，求k的值．
【分析】（1）由椭圆的长轴长和离心率，可得a，c的值，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆的方程；
（2）联立直线l的方程与椭圆方程，运用判别式大于0，可得t的范围，再由点关于直线的对称的知识，求得N的坐标，代入椭圆方程求得t的值；
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），结合椭圆方程，求得直线PA的方程，与椭圆方程联立，解得C的坐标，同理可得D的坐标，由向量共线的坐标表示，化简整理，结合直线的斜率公式，可得所求值．
【解答】解：（1）由椭圆Γ：的长轴长为2，离心率为，可得2a＝2，即a＝，
又e＝＝，解得c＝，则b＝＝1，
则椭圆Γ的方程为+y2＝1：
（2）联立可得4x2+6tx+3t2﹣3＝0，
由Δ＝36t2﹣16（3t2﹣3）＞0，可得﹣2＜t＜2．
设N（x0，y0），则＝﹣1，（+y0）＝（x0﹣）+t，解得x0＝﹣t，y0＝t﹣，即N（﹣t，t﹣），
又N在椭圆上，可得（﹣t）2+（t﹣）2＝1，解得t＝2（舍去）或t＝，
则t＝；
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x12+3y12＝3，x22+3y22＝3，
又P（﹣2，0），
则直线PA的方程为y＝（x+2），与椭圆方程x2+3y2＝3联立，
可得（7+4x1）x2+（12﹣4x12）x﹣（7x12+12x1）＝0，
则x1xC＝﹣，即有xC＝﹣，yC＝（xC+2）＝，
即C（﹣，），
同理可得D（﹣，），
又Q（﹣，），所以＝（，），＝（，），
由题意可得∥，
则•＝•，
化简可得y1﹣y2＝2（x1﹣x2），
则k＝＝2，即有k的值为2．
【点评】本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于难题．
21．（18分）已知定义在R上的函数f（x）＝ekx+b（e是自然对数的底数）满足f（x）＝f'（x），且f（﹣1）＝1，删除无穷数列f（1），f（2），f（3），…，f（n），…中的第3项，第6项，…，第3n项，…（n∈N，n≥1），余下的项按原来顺序组成一个新数列{tn}，记数列{tn}前n项和为Tn；
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知数列{tn}的通项公式是tn＝f（g（n）），n∈N，n≥1，求函数g（n）的解析式；
（3）设集合X是实数集R的非空子集，如果正实数a满足：对任意x1，x2∈X，都有|x1﹣x2|≤a，设称a为集合X的一个“阈度”；
记集合，试问集合H存在“阈度”吗？若存在，求出集合H“阈度”的取值范围；若不存在，请说明理由；
【分析】（1）求出导函数，结合已知条件即可求解结论，
（2）分n为奇数和偶数分别求解数列{tn}的通项公式，进而求解结论，
（3）令w（n）＝，分n为奇数和偶数分别求解表达式，进而求解结论．
【解答】解：（1）由定义在R上的函数f（x）＝ekx+b（e是自然对数的底数）满足f（x）＝f'（x），且f（﹣1）＝1，
可得ekx+b＝kekx+b恒成立，可得k＝1，
又由f（﹣1）＝1，可得e﹣1+b＝1，解得b＝1，
故函数f（x）＝ex+1；
（2）由题可得数列{tn}的奇数项依次构成首项为e2，公比为e3的等比数列，偶数项依次构成首项为e3，公比为e3的等比数列，
所以：tn＝＝；
所以g（n）＝＝﹣；
（3）令w（n）＝，
当n为偶数时，Tn＝（e2+e3），所以w（n）＝＝（1﹣），
此时w（n）关于n是递增的，其函数值在区间[（1﹣），）内，即在区间[1+，）内，
当n为奇数时，Tn＝Tn+1﹣tn+1＝•（e﹣1）﹣e，所以w（n）＝＝（1﹣）﹣1，
此时w（n）关于n是递增的，其函数值在区间[（1﹣）﹣1，）内，即在区间[，）内，
所以，n∈N，n≥1时，w的取值在区间[，）内，
又﹣＝，
所以，集合H“阈度”的取值范围为：[，+∞）．
【点评】本题主要考查函数性质以及数列性质的应用，考查新定义的理解，考查学生的推理能力和计算能力，属于难题．
上海市松江区2022-2023学年高三上学期期末数学试卷（一模）解析版
一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题4分，12题第1空分，第2空3分，共54分）
1．已知集合A＝（﹣2，1]，B＝Z，则A∩B＝ ．
2．函数y＝sinxcosx的最小正周期是 ．
3．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2＝ ．
4．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2S3＝3S2+6，则公差d＝ ．
5．已知函数y＝a﹣为奇函数，则实数a＝ ．
6．已知圆锥的母线长为5，侧面积为20π，则此圆锥的体积为 ．
7．已知向量＝（5，3），＝（﹣1，2），则在上的投影向量的坐标为 ．
8．对任意x∈R，不等式|x﹣2|+|x﹣3|≥2a2+a恒成立，则实数a的取值范围为 ．
9．已知集合．设函数的值域为B，若B⊆A，则实数a的取值范围为 ．
10．已知F1，F2是双曲线Γ：的左、右焦点，点M是双曲线Γ上的任意一点（不是顶点），过F1作∠F1MF2的角一部分线的垂线，垂足为N，线段F1N的延长线交MF2于点Q，O是坐标原点，若，则双曲线Γ的渐近线方程为 ．
11．动点P的棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1表面上运动，且与点A的距离是，点P的集合形成一条曲线，这条曲线的长度为 ．
12．已知数列{an}的各项都是正数，an+12﹣an+1＝an（n∈N*，n≥1），若数列{an}为严格增数列，则首项a1的取值范围是 ，当a1＝时，记bn＝，若k＜b1+b2+…+b2022＜k+1，则整数k＝ ．
二、选择题（13-14每小题4分，15-16每小题4分，共18分）
13．下面四个条件中，使a＞b成立的充要条件是（ ）
A．a＞b+1 B．a＞b﹣1 C．a2＞b2 D．a3＞b3
14．函数y＝（x2﹣1）ex的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
15．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2﹣m1＝lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k＝1，2）．已知太阳的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）
A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10﹣10.1
16．已知函数，g（x）＝kx+1，若函数y＝f（x）﹣g（x）的图像经过四个象限，则实数k的取值范围为（ ）
A． B．
C．（﹣2，+∞） D．
三、解答题（共78分）
17．（14分）如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD
（1）求证：平面ACD⊥平面ABC；
（2）若AB＝1，CD＝BC＝2，求直线AD与平面ABC所成角的大小；
18．（14分）在三角形ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知；
（1）求角B的大小；
（2）若c＝2a，三角形ABC的面积为，求三角形ABC的周长．
19．（14分）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，OO'为铅垂线（O'在AB上），经测量，山谷左侧的轮廓曲线AO上任一点D到MN的距离h1（米）与D到OO'的距离a（米）之间满足关系式h1＝；山谷右侧的轮廓曲线BO上任一点F到MN的距离h2（米）与F到OO'的距离b（米）之间满足关系式h2＝﹣+6b；已知点B到OO'的距离为40米；
（1）求谷底O到桥面AB的距离和桥AB的长度；
（2）计划在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上（不包括端点），桥墩EF每米造价为k万元（k＞0）；问：O'E为多少米时，桥墩CD和EF的总造价最低？
20．（18分）已知椭圆Γ：的长轴长为2，离心率为，直线l与椭圆Γ有两个不同的交点A，B
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）若直线l的方程为：y＝x+t，椭圆上点关于直线l的对称点N（与M不重合）在椭圆Γ上，求t的值；
（3）设P（﹣2，0），直线PA与椭圆Γ的另一个交点为C，直线PB与椭圆Γ的另一个交点为D，若点C，D和点三点共线，求k的值．
21．（18分）已知定义在R上的函数f（x）＝ekx+b（e是自然对数的底数）满足f（x）＝f'（x），且f（﹣1）＝1，删除无穷数列f（1），f（2），f（3），…，f（n），…中的第3项，第6项，…，第3n项，…（n∈N，n≥1），余下的项按原来顺序组成一个新数列{tn}，记数列{tn}前n项和为Tn；
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知数列{tn}的通项公式是tn＝f（g（n）），n∈N，n≥1，求函数g（n）的解析式；
（3）设集合X是实数集R的非空子集，如果正实数a满足：对任意x1，x2∈X，都有|x1﹣x2|≤a，设称a为集合X的一个“阈度”；
记集合，试问集合H存在“阈度”吗？若存在，求出集合H“阈度”的取值范围；若不存在，请说明理由；
参考答案与试题解析
一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题4分，12题第1空分，第2空3分，共54分）
1．已知集合A＝（﹣2，1]，B＝Z，则A∩B＝ {﹣1，0，1} ．
【分析】直接利用集合的交集运算求解即可．
【解答】解：∵集合A＝（﹣2，1]，B＝Z，
∴A∩B＝{﹣1，0，1}．
故答案为：{﹣1，0，1}．
【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
2．函数y＝sinxcosx的最小正周期是 π ．
【分析】把函数y＝sinxcosx化为一个角的一个三角函数的形式，然后求出它的最小正周期．
【解答】解：函数y＝sinxcosx＝sin2x，
它的最小正周期是：＝π．
故答案为：π．
【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法，二倍角的正弦，考查计算能力，是基础题．
3．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2＝ 3+4i ．
【分析】直接利用复数是共轭复数，求出ab，即可求解（a+bi）2．
【解答】解：因为a，b∈R，i是虚数单位．若a﹣i与2+bi互为共轭复数，
所以a＝2，b＝1．
（a+bi）2＝（2+i）2＝3+4i．
故答案为：3+4i．
【点评】本题考查复数的基本概念的应用，复数的代数形式的混合运算，考查计算能力．
4．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2S3＝3S2+6，则公差d＝ 2 ．
【分析】根据已知条件，可得2（a1+a2+a3）＝3（a1+a2）+6，再结合等差中项的性质，即可求解．
【解答】解：∵2S3＝3S2+6，
∴2（a1+a2+a3）＝3（a1+a2）+6，
∵{an}为等差数列，
∴6a2＝3a1+3a2+6，
∴3（a2﹣a1）＝3d＝6，解得d＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查等差数列的前n项和，考查转化能力，属于基础题．
5．已知函数y＝a﹣为奇函数，则实数a＝ 1 ．
【分析】由题意可得f（0）＝0，解出a再验证即可．
【解答】解：∵函数f（x）＝a﹣为奇函数，
∴f（0）＝a﹣＝0，
解得，a＝1，
经验证，函数f（x）＝1﹣为奇函数．
故答案为：1．
【点评】本题考查了函数的奇偶性的应用，属于基础题．
6．已知圆锥的母线长为5，侧面积为20π，则此圆锥的体积为 16π ．
【分析】根据侧面积公式计算底面半径，再计算圆锥的高，代入体积公式计算体积．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则S侧＝πr×5＝20π，
∴r＝4，
∴圆锥的高h＝＝3，
∴圆锥的体积V＝＝＝16π．
故答案为：16π．
【点评】本题考查了圆锥的侧面积和体积公式，属于基础题．
7．已知向量＝（5，3），＝（﹣1，2），则在上的投影向量的坐标为 ．
【分析】利用向量的投影向量公式，代入坐标进行计算即可．
【解答】解：向量＝（5，3），＝（﹣1，2），
∴在上的投影向量的坐标为：＝＝（﹣1，2）＝．
故答案为：（，）．
【点评】本题考查了投影和投影向量的定义及求法，向量坐标的数量积的运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．
8．对任意x∈R，不等式|x﹣2|+|x﹣3|≥2a2+a恒成立，则实数a的取值范围为 [﹣1，] ．
【分析】由不等式性质可知，|x﹣2|+|x﹣3|≥|（x﹣2）+（3﹣x）|＝1，即2a2+a≤1，求解即可．
【解答】解：|x﹣2|+|x﹣3|＝|x﹣2|+|3﹣x|≥|（x﹣2）+（3﹣x）|＝1，
即2a2+a≤1，（2a﹣1）（a+1）≤0，
解得a∈[﹣1，]．
故答案为：[﹣1，]．
【点评】本题主要考查了函数恒成立问题的求解，是中档题．
9．已知集合．设函数的值域为B，若B⊆A，则实数a的取值范围为 （4，5] ．
【分析】先求出集合A，再结合对数函数的性质求出集合B，再利用集合间的包含关系列出不等式组，求出a的取值范围即可．
【解答】解：不等式，等价于，等价于（x﹣2）（x﹣4）≤0且x﹣2≠0，
解得2＜x≤4，
即A＝{x|2＜x≤4}，
函数y＝+a，x∈（2，4]，
∴y∈[﹣2+a，﹣1+a），即B＝[﹣2+a，﹣1+a），显然B≠∅，
∵B⊆A，
∴，解得4＜a≤5，
即实数a的取值范围为（4，5]．
故答案为：（4，5]．
【点评】本题主要考查了分式不等式的解法，考查了对数函数的性质，以及集合间的包含关系，属于中档题．
10．已知F1，F2是双曲线Γ：的左、右焦点，点M是双曲线Γ上的任意一点（不是顶点），过F1作∠F1MF2的角一部分线的垂线，垂足为N，线段F1N的延长线交MF2于点Q，O是坐标原点，若，则双曲线Γ的渐近线方程为 y＝±2x ．
【分析】延长F1N交MF2的延长线于Q，因为MN是∠F1MF2角平分线，F1N⊥MN，可得△F1MQ为等腰三角形，再由题意可得|F1F2|＝3|F2Q|，结合双曲线的定义可得a，c的关系，得到a，b的关系，求出双曲线的渐近线的方程．
【解答】解：延长F1N交MF2的延长线于Q，因为MN是∠F1MF2角平分线，F1N⊥MN，如图所示：
所以△F1MQ为等腰三角形，|F1M|＝|MQ|，
N为F1Q的中点，O为F1F2的中点，
所以ON是△F1F2Q的中位线，所以|ON|＝|F2Q|，
若，则|F1F2|＝3|F2Q|＝3（|MQ|﹣|MF2|）＝3（|MF1|﹣|MF2|）＝6a，
即c＝3a，可得b2＝c2﹣a2＝9a2﹣a2＝8a2，所以＝2，
所以双曲线的渐近线的方程为y＝±x＝±2x．
故答案为：y＝±2x．
【点评】本题考查双曲线的性质的应用，角平分线的性质的应用，属于中档题．
11．动点P的棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1表面上运动，且与点A的距离是，点P的集合形成一条曲线，这条曲线的长度为 ．
【分析】本题首先要弄清楚曲线的形状，再根据曲线的性质及解析几何知识即可求出长度．
【解答】解：由题意，此问题的实质是以A为球心、为半径的球在正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面上交线的长度计算，正方体的各个面根据与球心位置关系分成两类：ABCD、AA1DD1、AA1BB1为过球心的截面，截痕为大圆弧，各弧圆心角为、A1B1C1D1、B1BCC1、D1DCC1为与球心距离为1的截面，截痕为小圆弧，
由于截面圆半径为r＝，故各段弧圆心角为．
∴这条曲线长度为3••+3••＝
故答案为：．
【点评】本题以正方体为载体，考查轨迹，考查曲线的周长，有一定的难度．
12．已知数列{an}的各项都是正数，an+12﹣an+1＝an（n∈N*，n≥1），若数列{an}为严格增数列，则首项a1的取值范围是 （0，2） ，当a1＝时，记bn＝，若k＜b1+b2+…+b2022＜k+1，则整数k＝ ﹣6 ．
【分析】本题根据正数数列{an}是单调递增数列，可列出an﹣an+1＝﹣2an+1＜0，通过求出an+1的取值范围，得到a2的取值范围，逆推出a1的取值范围；第二空采用裂项相消法求出b1+b2+…+b2022的表达式，然后进行不等式范围计算，即可得到结果．
【解答】解：因为正数数列{an}是单调递增数列，且an+12﹣an+1＝an（n∈N*），
所以an﹣an+1＝﹣2an+1＜0，解得an+1∈（1，2），
所以a2∈（1，2）．
所以a1＝﹣a2∈[﹣，2），
又因为a1＞0，
所以0＜a1＜2，
由﹣an+1＝an，可得：＝＝﹣，
所以＝+，
因为bn＝，
所以b1+b2+...+b2022＝﹣+﹣...+﹣
＝﹣（+）+（+）﹣...﹣（+）+（+）﹣（）
＝﹣﹣++﹣...﹣﹣++﹣﹣
＝﹣﹣
＝﹣3﹣﹣
＝﹣﹣．
又因为a1＝，且数列{an}是递增数列，
所以a2022∈（，2），即∈（，），
所以﹣6＜﹣﹣＜﹣5．
所以整数k＝﹣6．
故答案为：（0，2）；﹣6．
【点评】本题考查了数列递推关系、裂项相消法的应用，数列的周期性，考查了推理能力与不等式的计算能力，是难题．
二、选择题（13-14每小题4分，15-16每小题4分，共18分）
13．下面四个条件中，使a＞b成立的充要条件是（ ）
A．a＞b+1 B．a＞b﹣1 C．a2＞b2 D．a3＞b3
【分析】分别判断四个选项与a＞b的关系．
【解答】解：A．若a＞b，则a＞b+1不一定成立．
B．若a＞b，则a＞b﹣1一定成立，但若a＞﹣1b，则a＞b不一定成立．
C．若a＞b，则a2＞b2不一定成立，反之也不成立．
D．因为函数f（x）＝x3在R上是单调递增函数，所以若a＞b，则一定有a3＞b3，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查充分条件和必要条件的判断，要求掌握判断充分条件和必要条件的方法：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．
14．函数y＝（x2﹣1）ex的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】由函数值f（±1）＝0的可排除选项A，B，再由x→∞排除D．
【解答】解：函数y＝（x2﹣1）ex，
当x＝±1时，y＝0，故可排除A，B，
当x→﹣∞时，y＝（x2﹣1）ex＞0，故可排除D，
故选项C正确．
故选：C．
【点评】本题考查了函数图象的识别，解题的关键是掌握识别图象的方法：可以从定义域、值域、函数值的正负、特殊点、特殊值、函数的性质等方面进行判断，考查了直观想象能力与逻辑推理能力，属于基础题．
15．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2﹣m1＝lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k＝1，2）．已知太阳的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）
A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10﹣10.1
【分析】把已知数据代入m2﹣m1＝lg，化简后利用对数的运算性质求解．
【解答】解：设太阳的星等是m1＝﹣26.7，天狼星的星等是m2＝﹣1.45，
由题意可得：，
∴，则．
故选：A．
【点评】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．
16．已知函数，g（x）＝kx+1，若函数y＝f（x）﹣g（x）的图像经过四个象限，则实数k的取值范围为（ ）
A． B．
C．（﹣2，+∞） D．
【分析】问题转化为函数y＝f（x）与y＝g（x）在x轴的正负半轴都有两个交点，作出函数y＝f（x）的图象，而直线g（x）＝kx+1，过定点P（0，1），利用导数的几何意义求出直线y＝kx+1与函数y＝x2﹣4x+2（x≥0）相切时的切线斜率，再求出直线y＝kx+1过点（﹣2，0）的斜率，数形结合即可求出k的取值范围．
【解答】解：直线g（x）＝kx+1，过定点P（0，1），
函数y＝f（x）﹣g（x）的图像经过四个象限，等价于函数y＝f（x）与y＝g（x）在x轴的正负半轴都有两个交点，
过点P（0，1）作y＝x2﹣4x+2（x≥0）的切线，切点设为M（x0，），
∵y'＝2x﹣4，∴k＝2x0﹣4，
∴切线方程为y﹣（）＝（2x0﹣4）（x﹣x0），
把点P（0，1）代入上述切线方程得，1﹣+4x0﹣2＝﹣x0（2x0﹣4），
解得x0＝1，∴k＝﹣2，
易知f（x）＝|x+2|（x＜0）与x轴交于点N（﹣2，0），∴kPN＝，
∴﹣2＜k＜，
∴实数k的取值范围为（﹣2，）．
故选：A．
【点评】本题主要考查了分段函数的图象和零点个数问题，考查了数形结合的数学思想，属于中档题．
三、解答题（共78分）
17．（14分）如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD
（1）求证：平面ACD⊥平面ABC；
（2）若AB＝1，CD＝BC＝2，求直线AD与平面ABC所成角的大小；
【分析】（1）由已知结合线线，线面与面面垂直的相互转化即可证明；
（2）先作出直线AD与平面ABC所成的角，然后解三角形可求．
【解答】（1）证明：因为AB⊥平面BCD，BC⊥CD，
由三垂线定理可知，CD⊥AC，
因为BC⊥CD且AB∩BC＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，
所以CD⊥平面ABC，
因为CD⊂平面ACD，
所以平面ACD⊥平面ABC；
（2）因为CD⊥平面ABC，
所以∠CAD为直线AD与平面ABC所成的角，
因为BC＝CD＝2，∠BCD＝90°，
所以BD＝2，
因为AB＝1，所以AD＝3，
Rt△ACD中，sin∠CAD＝＝，
即直线AD与平面ABC所成的角为arcsin．
【点评】本题主要考查了面面垂直的判定及线面角的求解，属于中档题．
18．（14分）在三角形ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知；
（1）求角B的大小；
（2）若c＝2a，三角形ABC的面积为，求三角形ABC的周长．
【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求tanB，进而可求B；
（2）由已知结合三角形面积公式可求a，c，然后结合余弦定理可求b，进而可求三角形的周长．
【解答】解：（1）因为，
由正弦定理可得，asinB＝bsinA，
所以acos（B﹣）＝asinB，即sinB＝cos（B﹣）＝，
化简得tanB＝，
由B为三角形内角得B＝60°；
（2）因为c＝2a，三角形ABC的面积为，
所以＝＝，
所以a＝，c＝，
由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB＝（）2+（）2﹣2×＝4，
所以b＝2，
故三角形的周长为2+2．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
19．（14分）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，OO'为铅垂线（O'在AB上），经测量，山谷左侧的轮廓曲线AO上任一点D到MN的距离h1（米）与D到OO'的距离a（米）之间满足关系式h1＝；山谷右侧的轮廓曲线BO上任一点F到MN的距离h2（米）与F到OO'的距离b（米）之间满足关系式h2＝﹣+6b；已知点B到OO'的距离为40米；
（1）求谷底O到桥面AB的距离和桥AB的长度；
（2）计划在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上（不包括端点），桥墩EF每米造价为k万元（k＞0）；问：O'E为多少米时，桥墩CD和EF的总造价最低？
【分析】（1）设AA1，BB1，CD1，EF1都与MN垂直，A1，B1，D1，F1是相应垂足．结合已知条件，转化求解AB即可．
（2）以O为原点，OO'为y轴建立平面直角坐标系xOy（如图所示）．设F（x，y2），x∈（0，40），推出EF，CD，CD和EF的总造价为f（x），得到函数的解析式，利用函数的导数转化求解最小值即可．
【解答】解：（1）设AA1，BB1，CD1，EF1都与MN垂直，A1，B1，D1，F1是相应垂足．
由条件知，当O'B＝40时，，
则AA1＝160．
由，
得O'A＝80．
所以AB＝O'A+O'B＝80+40＝120（米）．
（2）以O为原点，OO'为y轴建立平面直角坐标系xOy（如图所示）．
设F（x，y2），x∈（0，40），则，．
因为CE＝80，所以O'C＝80﹣x．
设D（x﹣80，y1），则，
所以．
记桥墩CD和EF的总造价为f（x），
则＝．
，
令f'（x）＝0，得x＝20．
x
（0，20）
20
（20，40）
f'（x）
﹣
0
+
f（x）
↘
极小值
↗
所以当x＝20时，f（x）取得最小值．
∴当O'E为20米时，桥墩CD和EF的总造价最低．
【点评】本题考查函数与方程的综合应用，函数的导数求解函数的最值，是中档题．
20．（18分）已知椭圆Γ：的长轴长为2，离心率为，直线l与椭圆Γ有两个不同的交点A，B
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）若直线l的方程为：y＝x+t，椭圆上点关于直线l的对称点N（与M不重合）在椭圆Γ上，求t的值；
（3）设P（﹣2，0），直线PA与椭圆Γ的另一个交点为C，直线PB与椭圆Γ的另一个交点为D，若点C，D和点三点共线，求k的值．
【分析】（1）由椭圆的长轴长和离心率，可得a，c的值，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆的方程；
（2）联立直线l的方程与椭圆方程，运用判别式大于0，可得t的范围，再由点关于直线的对称的知识，求得N的坐标，代入椭圆方程求得t的值；
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），结合椭圆方程，求得直线PA的方程，与椭圆方程联立，解得C的坐标，同理可得D的坐标，由向量共线的坐标表示，化简整理，结合直线的斜率公式，可得所求值．
【解答】解：（1）由椭圆Γ：的长轴长为2，离心率为，可得2a＝2，即a＝，
又e＝＝，解得c＝，则b＝＝1，
则椭圆Γ的方程为+y2＝1：
（2）联立可得4x2+6tx+3t2﹣3＝0，
由Δ＝36t2﹣16（3t2﹣3）＞0，可得﹣2＜t＜2．
设N（x0，y0），则＝﹣1，（+y0）＝（x0﹣）+t，解得x0＝﹣t，y0＝t﹣，即N（﹣t，t﹣），
又N在椭圆上，可得（﹣t）2+（t﹣）2＝1，解得t＝2（舍去）或t＝，
则t＝；
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x12+3y12＝3，x22+3y22＝3，
又P（﹣2，0），
则直线PA的方程为y＝（x+2），与椭圆方程x2+3y2＝3联立，
可得（7+4x1）x2+（12﹣4x12）x﹣（7x12+12x1）＝0，
则x1xC＝﹣，即有xC＝﹣，yC＝（xC+2）＝，
即C（﹣，），
同理可得D（﹣，），
又Q（﹣，），所以＝（，），＝（，），
由题意可得∥，
则•＝•，
化简可得y1﹣y2＝2（x1﹣x2），
则k＝＝2，即有k的值为2．
【点评】本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于难题．
21．（18分）已知定义在R上的函数f（x）＝ekx+b（e是自然对数的底数）满足f（x）＝f'（x），且f（﹣1）＝1，删除无穷数列f（1），f（2），f（3），…，f（n），…中的第3项，第6项，…，第3n项，…（n∈N，n≥1），余下的项按原来顺序组成一个新数列{tn}，记数列{tn}前n项和为Tn；
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知数列{tn}的通项公式是tn＝f（g（n）），n∈N，n≥1，求函数g（n）的解析式；
（3）设集合X是实数集R的非空子集，如果正实数a满足：对任意x1，x2∈X，都有|x1﹣x2|≤a，设称a为集合X的一个“阈度”；
记集合，试问集合H存在“阈度”吗？若存在，求出集合H“阈度”的取值范围；若不存在，请说明理由；
【分析】（1）求出导函数，结合已知条件即可求解结论，
（2）分n为奇数和偶数分别求解数列{tn}的通项公式，进而求解结论，
（3）令w（n）＝，分n为奇数和偶数分别求解表达式，进而求解结论．
【解答】解：（1）由定义在R上的函数f（x）＝ekx+b（e是自然对数的底数）满足f（x）＝f'（x），且f（﹣1）＝1，
可得ekx+b＝kekx+b恒成立，可得k＝1，
又由f（﹣1）＝1，可得e﹣1+b＝1，解得b＝1，
故函数f（x）＝ex+1；
（2）由题可得数列{tn}的奇数项依次构成首项为e2，公比为e3的等比数列，偶数项依次构成首项为e3，公比为e3的等比数列，
所以：tn＝＝；
所以g（n）＝＝﹣；
（3）令w（n）＝，
当n为偶数时，Tn＝（e2+e3），所以w（n）＝＝（1﹣），
此时w（n）关于n是递增的，其函数值在区间[（1﹣），）内，即在区间[1+，）内，
当n为奇数时，Tn＝Tn+1﹣tn+1＝•（e﹣1）﹣e，所以w（n）＝＝（1﹣）﹣1，
此时w（n）关于n是递增的，其函数值在区间[（1﹣）﹣1，）内，即在区间[，）内，
所以，n∈N，n≥1时，w的取值在区间[，）内，
又﹣＝，
所以，集合H“阈度”的取值范围为：[，+∞）．
【点评】本题主要考查函数性质以及数列性质的应用，考查新定义的理解，考查学生的推理能力和计算能力，属于难题．
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