2023年江苏省南通市海安高级中学高考数学一模试卷(含答案解析)
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这是一份2023年江苏省南通市海安高级中学高考数学一模试卷(含答案解析),共20页。试卷主要包含了 已知p, 双曲线C, 李明每天7等内容,欢迎下载使用。
2023年江苏省南通市海安高级中学高考数学一模试卷1. 已知集合,,则的元素个数为( )A. 0 B. 1 C. 2 D. 32. 若复数z满足,则z的虚部为( )A. B. C. D. 3. 设向量,,当数m与n满足下列哪种关系时,向量与x轴垂直( )A. B. C. D. 4. 如图,一个棱长1分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水,若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形,则V的取值范围是( )A.
B.
C.
D. 5. 已知p:,q:,则p是q的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件6. 将一个顶角为的等腰三角形含边界和内部的底边三等分,挖去由两个等分点和上顶点构成的等边三角形,得到与原三角形相似的两个全等三角形,再对余下的所有三角形重复这一操作.如果这个操作过程无限继续下去…,最后挖剩下的就是一条“雪花”状的Koch曲线,如图所示已知最初等腰三角形的面积为1,则经过4次操作之后所得图形的面积是( )
A. B. C. D. 7. 已知等边的边长为2,D为BC的中点,P为线段AD上一点,,垂足为E,当时,( )A. B. C. D. 8. 双曲线C:的左,右焦点分别为,,过作垂直于x轴的直线交双曲线于A,B两点,,,的内切圆圆心分别为,,,则的面积是( )A. B. C. D. 9. 李明每天7:00从家里出发去学校,有时坐公交车,有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间,经数据分析得到:坐公交车平均用时30分钟,样本方差为36;自行车平均用时34分钟,样本方差为假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布,则( )A. B.
C. 李明计划7:34前到校,应选择坐公交车 D. 李明计划7:40前到校,应选择骑自行车10. 如图的六面体中,,,则( )A. 平面ABC
B. AC与BE所成角的大小为
C.
D. 该六面体外接球的表面积为11. 已知函数,其中e是自然对数的底数,下列说法中,正确的是( )A. 在是增函数
B. 是奇函数
C. 在上有两个极值点
D. 设,则满足的正整数n的最小值是212. 已知函数的部分图象如图所示,其中,且的面积为2,则下列函数值恰好等于a的是( )A.
B.
C.
D. 13. 展开式中含项的系数为______ .14. 定义在R上的函数,,满足为偶函数,为奇函数,若,则______ .15. 如图是数学家GerminalDandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球,使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切,设图中球,球的半径分别为4和2,球心距离,截面分别与球,球相切于点E,是截口椭圆的焦点,则此椭圆的离心率等于______ .
16. 在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中,立德中学高三某小组的学生表现优异,发现的正确结论得到老师和同学的一致好评.设随机变量,记,,1,2,…,在研究的最大值时,小组同学发现:若为正整数,则时,,此时这两项概率均为最大值;若为非整数,当k取的整数部分,则是唯一的最大值.以此为理论基础,有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数.当投掷到第20次时,记录到此时点数1出现5次,若继续再进行80次投掷试验,则当投掷到第100次时,点数1总共出现的次数为______ 的概率最大.17. 中,D是线段BC上的点,::3,的面积是面积的2倍.
求;
若,,求DC和AB的长.18. 已知数列满足,且,
求的通项公式;
设,求数列的前15项和用具体数值作答19. 如图,四棱锥,底面ABCD为矩形,平面ABCD,E为PD的中点.
证明:平面AEC;
设二面角为,,,求直线AC与平面ECD所成角的正弦值.
20. 某城市决定在夹角为的两条道路EB、EF之间建造一个半椭圆形状的主题公园,如图所示,千米,O为AB的中点,OD为椭圆的长半轴,在半椭圆形区域内再建造一个三角形游乐区域OMN,其中M,N在椭圆上,且MN的倾斜角为,交OD于
若千米,为了不破坏道路EF,求椭圆长半轴长的最大值;
若椭圆的离心率为,当线段OG长为何值时,游乐区域的面积最大?
21. 已知抛物线C:的焦点F到准线的距离为2,圆M与y轴相切,且圆心M与抛物线C的焦点重合.
求抛物线C和圆M的方程;
设为圆M外一点,过点P作圆M的两条切线,分别交抛物线C于两个不同的点,和点,且,证明:点P在一条定曲线上.22. 已知函数,且
设,讨论的单调性;
若且存在三个零点,,
①求实数a的取值范围;
②设,求证:
答案和解析 1.【答案】C 【解析】解:由题意可得,,
根据交集运算可得,
所以的元素个数为
故选:
解出集合B,再根据交集运算求出,即可得出结果.
本题主要考查了集合交集运算,属于基础题.
2.【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查考查的运算,以及复数虚部的概念.
根据已知条件,结合复数的四则运算和复数模的公式,对z化简,再结合复数虚部的概念,即可求解.【解答】解:,
,
,
的虚部为
故选: 3.【答案】A 【解析】解:,,
,
取x轴的方向向量为,
若向量与x轴垂直,
则,解得:,
故选:
根据向量的坐标运算得到关于m,n的关系即可.
本题考查了向量的坐标运算,考查向量的垂直关系,是基础题.
4.【答案】A 【解析】解:如图,正方体,若要使液面形状不可能为三角形,
则平面EHD平行于水平面放置时,液面必须高于平面EHD,且低于平面AFC,
若满足上述条件,则任意转动正方体,液面形状都不可能为三角形,
设液面的体积为V,而,
而,
,
所以V的取值范围是
故选:
如图,正方体,若要使液面形状不可能为三角形,则平面EHD平行于水平面放置时,液面必须高于平面EHD,且低于平面AFC,计算即可.
本题考查正方体截面的性质,考查空间想象能力,属中档题.
5.【答案】C 【解析】解:令,,
且,
故为奇函数,时,递增,则也递增,
又为奇函数,则在R上递增,,若,则,
则,即
即;,若,
则等价于,即,
由在R上递增,则,即,
故p是q的充要条件,
故选:
令,结合该函数的奇偶性,单调性判断不等式是否成立.
本题主要考查了对数函数的性质,考查了充分条件和必要条件的定义,属于基础题.
6.【答案】A 【解析】解:根据题意可知,每次挖去的三角形面积是被挖三角形面积的,
所以每一次操作之后所得图形的面积是上一次三角形面积的,
由此可得,第n次操作之后所得图形的面积是,
即经过4次操作之后所得图形的面积是
故选:
根据题意可知,每一次操作之后面积是上一次面积的,按照等比数列即可求得结果.
本题考查等比数列的通项公式,归纳推理,属于基础题.
7.【答案】B 【解析】解:设,则,,
,
,或舍去,
为的重心,,为AC的中点,
,
故选:
设,由求出,得到P为的重心,E为AC的中点,再利用平面向量基本定理求解即可.
本题考查平面向量的线性运算,平面向量基本定理,属于中档题.
8.【答案】A 【解析】解:由题意如图所示:由双曲线C:,知,
所以,
所以,
所以过作垂直于x轴的直线为,
代入C中,解出,
由题知,的内切圆的半径相等,
且,,的内切圆圆心,的连线垂直于x轴于点P,
设为r,在中,由等面积法得:,
由双曲线的定义可知:,
由,所以,
所以,
解得:,
因为为的的角平分线,
所以一定在上,即x轴上,令圆半径为R,
在中,由等面积法得:,
又,
所以,
所以,
所以,,
所以,
故选:
由题意画出图,由已知求出c的值,找出A,B的坐标,由,,的内切圆圆心分别为,,,进行分析,由等面积法求出内切圆的半径,从而求出的底和高,利用三角形的面积公式计算即可.
本题主要考查了双曲线性质,定义的综合应用,考查了一定的运算能力,属于中档题.
9.【答案】BCD 【解析】解:由条件可知,,根据对称性可知,故A错误;
B.,,所以,故B正确;
C.,所以,故C正确;
D.,,所以,故D正确.
故选:
首先利用正态分布,确定和,再结合正态分布的对称性,和的原则,即可求解.
本题主要考查正态分布曲线的性质,考查运算求解能力,属于中档题.
10.【答案】ACD 【解析】解:,,
,,
即,,又,
平面ABC,故A正确;
以点C为坐标原点,分别以,,为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示:
,四面体是正三棱锥,
,四面体是正四面体,
在正三棱锥中过点C作底面的垂线,垂足为正三角形ABD的中心,
同理,在正四面体中,过顶点E作底面的垂线,垂足为正三角形ABD的中心,
、G、E三点共线,
,,,,且G是正三角形ABD的中心,
,
设,
在正四面体中,,在正三棱锥中,,
,解得,
,,又,
,
故AC与BE所成角的大小为,故B错误;
,,故C正确;
显然,该六面体外接球的球心位于线段CE的中点,
,六面体外接球的半径,
该六面体外接球的表面积为,故D正确.
故选:
利用线面垂直的判定定理、空间向量以及球的表面积公式进行计算求解.
本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理,考查了利用空间向量求异面直线所成的角,以及多面体的外接球问题,属于中档题.
11.【答案】ABD 【解析】【分析】本题考查的知识要点:函数的求导问题,函数的导数和单调性的关系,函数的导数和极值点的关系,三角函数的值,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于难题.
①,,从而确定A的结论;
②设,直接利用函数和函数的关系确定B的结论;
③分段讨论,时,;时,存在;时,,从而确定C的结论;
④当时,时,比较出函数值的大小,从而确定D的结论.【解答】解:对于函数,其中e是自然对数的底数,
所以,
对于A:由于时,,,所以,所以函数为增函数,故A正确;
对于B:设,
所以,所以是奇函数,故B正确;
对于C:由,
在时,,,
所以,函数为增函数,
所以函数在上无极值点,
由时,,
下面考虑上,设,
由,
当时,,,
所以,函数为单调递减函数,
由,,
故明显存在;
在上,,
由,而,,
所以,所以,
而,则,
即,
所以不存在零点,
故在只有一个零点,即函数只有一个极值点.故C错误;
对于D:设,
当时,,
所以,明显不成立,
当时,,
,
由,,
所以,
所以正整数n的最小值为2,故D正确.
故选: 12.【答案】AC 【解析】解:根据函数的部分图象,
,
的面积为,,
,函数
,,
,,
故选:
由题意,由周期求出,由的面积求出,可得函数的解析式,再利用诱导公式求出各个选项中的函数值,从而得出结论.
本题主要考查由函数的部分图象求函数的解析式,由周期求出,由的面积求出,诱导公式,属于中档题.
13.【答案】 【解析】解:的展开式中含项为,
故答案为:
根据二项式定理逐步展开,分析即可.
本题考查了二项式定理,属于基础题.
14.【答案】1 【解析】解:由于为偶函数,则,令,则,
由于为奇函数,则,即,令,则,
于是,由于,则
故答案为:
由奇偶函数的定义,可得,满足的关系,赋值计算即可.
本题考查抽象函数赋值计算,以及奇偶函数的性质,属于基础题.
15.【答案】 【解析】解:设,
由,
解得,
,
,
所以,
设直线EF与圆锥的母线相交于点A,圆锥的母线与球相切于B,C两点,如图所示,
则,,
两式相加得,即,
过作,垂直为G,
则四边形为矩形,所以,,
所以椭圆的离心率为
故答案为:
根据已知条件求得a,c,从而求得椭圆的离心率.
求解椭圆离心率的问题,思考方向有两个,一个求得a,c,从而求得椭圆的离心率;一个是求得关于a,c的关系式,可以是一次式,也可以是二次式,但必须是齐次式,由此化简求得椭圆的离心率.
16.【答案】18 【解析】【分析】
由随机变量,结合取整数部分可得后面80次出现点数1的次数为13的概率最大,由此得解.
本题考查了古典概型的概率计算公式,涉及到随机变量服从二项分布的性质,考查了学生分析问题的能力,属于基础题.
【解答】
解:继续再进行80次投掷实验,出现点数为1次数X服从二项分布,
由,
结合题中的结论可知,当时概率最大,
即后面80次中出现13次点数1的概率最大,加上前面20次中的5次,
所以出现18次的概率最大,
故答案为: 17.【答案】解:设,则由::3,的面积是面积的2倍,
可得,求得
在中,由正弦定理可得 ①,中,由正弦定理可得 ②.
由于和互补,故,
由①②求得
的面积是面积的2倍,,,
,
设,则 ,中,由余弦定理可得
①,
中,由余弦定理可得 ②,
由①②求得,, 【解析】由题意可得,再利用正弦定理求得求得的值.
由条件求得,设,则,中、中,分别利用余弦定理求得k的值,可得AB的值.
本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,注意边角互换,属于中档题.
18.【答案】解:由,知数列是等差数列,
因为,所以,
又,所以公差,
所以数列的通项公式为
,
由于,
所以当时,;当时,,
故……
……
【解析】根据等差中项公式,可判断数列是等差数列,进而求得公差d,再由等差数列的通项公式,得解;
,根据,知当时,;当时,,再利用等比数列的前n项和公式,得解.
本题考查数列的求和,熟练掌握等差、等比数列的通项公式与前n项和公式是解题的关键,考查逻辑推理能力和运算能力,属于中档题.
19.【答案】证明:连接BD交AC于O点,连接EO,则O为BD中点,
为PD中点,,
平面AEC,平面AEC,
平面AEC;
解:由,,可得
延长AE,过D作AE的延长线的垂线,垂直为F,连接CF,
由平面ABCD,可得,
又,可得平面PAD,则,
又,平面CDF,则为二面角的平面角,
在中,由,,可得
在中,由,,可得,则
取PE中点G,连接AG,则,
平面平面PCD,且平面平面,
平面PCD,连接CG,则为直线AC与平面ECD所成角,
即直线AC与平面ECD所成角的正弦值为 【解析】连接BD交AC于O点,连接EO,则O为BD中点,由已知结合三角形中位线定理可得,再由线面平行的判定可得平面AEC;
首先找出二面角平面角,结合已知求得CD,然后找出直线AC与平面ECD所成角,求解三角形得答案.
本题考查直线与平面平行的判定,考查线面角的求法,关键是找出线面角,是中档题.
20.【答案】解:以O为坐标原点,以OD所在的坐标为x轴,以OA所在的直线为y轴建立平面直角坐标系,
由题意,,由,所以,
所以,,
所以直线EF的方程为:,
设,则,
所以椭圆,当a最大时直线EF与椭圆相切,
整理可得:,
,解得舍
所以椭圆的长半轴长为;
因为,,,
所以,
所以椭圆的方程为:;
设,则,直线MN的方程为:,
联立,整理可得:,
,
设,则,,
,
,
要保证MN与半椭圆有交点,当N位于B时,
所以,当,即,
有最大值为1,
综上所述,当时,三角形OMN的面积最大. 【解析】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合,椭圆中三角形的面积,二次函数的最值的求法.
由题意可得E,F的坐标,进而求出直线EF 的直线方程,设出椭圆的方程,由题意可得直线EF 与椭圆相切时,椭圆的长半轴最大,由判别式为0可得参数a的值,求出椭圆的长半轴的值;
由离心率及b的值可得a的值,进而求出椭圆的方程,设出直线MN的方程,由直线MN与椭圆联立,求出两根之和及两根之积,进而求出三角形OMN的面积的表达式,当N与B重合时,可得t的范围,由面积的最大值可得t的值,进而求出的大小及三角形的面积.
21.【答案】解:由题设得,
所以抛物线C的方程为,
因此,抛物线的焦点为,即圆M的圆心为,
由圆M与y轴相切,所以圆M半径为1,
所以圆M的方程为;
证明:由于,每条切线都与抛物线有两个不同的交点,则,
故设过点P且与圆M相切的切线方程为,即,
依题意得,整理得①,
设直线PA,PQ的斜率分别为,,,则,是方程①的两个实根,
故,②,
由得③,
因为点,,,,
则④,⑤,
由②,④,⑤三式得:,
即,
则,即,
所以点P在圆 【解析】根据抛物线的焦点F到准线的距离可得p的值,即可得抛物线方程;根据圆的性质确定圆心与半径,即可得圆M的方程;
根据直线与圆相切,切线与抛物线相交联立,结合韦达定理,即可得,所满足的方程.
本题主要考查抛物线的性质,属于中档题.
22.【答案】解:,,
因为,,定义域为,
当时,,解,得,解,得,
当时,,解,得,解,得,
综上,当时,增区间为,减区间为,
当时,增区间为,减区间为,
①因为,且存在三个零点,,
所以有3个根,
当时,,,,在上是单调递增的,由零点存在定理,方程必有一个负根.
当,,即有两个根,
令,可转化为与有两个交点,,
可得,,是单调递增的,可得,,是单调递减的,
其中,当,,
所以可得,
即得
②证明:因为,且存在三个零点,,
设,,易知其中,,
因为,所以,,故可知;①
由可知,与有两个交点,,是单调递增的,,,,所以;②,
若,则
若,
构造函数,,,
设,,
因为,
又因为,
所以③,
因为,
又因为,
所以,
即得④,
由③④可知,在上单调递增,时,可得,,可知与同号,
所以,在上单调递增. ,,,
又由①可知,
所以,,,是单调递增的,
所以⑤,
由①②⑤可知 【解析】先求的导函数,再分类讨论即可.
①根据存在三个零点,,,转化为两个函数有三个交点,再根据最值可求.
②根据三个零点所在区间,把要证明的式子分解为三个部分,分别求解后可得.
本题考查利用导数证明不等式,解决问题的关键点是极值点偏移问题,属于难题.
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