2022-2023学年江苏省南通市海安高级中学高二上学期11月期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年江苏省南通市海安高级中学高二上学期11月期中数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省南通市海安高级中学高二上学期11月期中数学试题 一、单选题1．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则实数m等于（    ）A．2 B．8 C． D．【答案】B【解析】根据题意，由椭圆的标准方程分析可得，，则，进而由椭圆的离心率公式，解得的值.【详解】由题意，得，，则，所以椭圆的离心率，解得m=8.故选：B.【点睛】本题考查椭圆的几何性质，注意由椭圆的焦点位置，分析椭圆的方程的形式，属于基础题.2．已知均为的子集，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意利用集合的包含关系或者画出Venn图，结合Venn图即可确定集合的运算结果.【详解】解法一：,，据此可得.故选：B.解法二：如图所示，设矩形ABCD表示全集R，矩形区域ABHE表示集合M，则矩形区域CDEH表示集合，矩形区域CDFG表示集合N，满足，结合图形可得：.故选：B.3．已知i为虚数单位，复数z满足，则z的虚部为（    ）A．2 B．1 C．－2 D．－1【答案】A【分析】令，则，利用可得答案.【详解】令，则，，，∴，，∴，故选：A．4．若圆上恰有三点到直线的距离为2，则的值为A．或2 B．或 C．2 D．【答案】D【详解】把圆的方程化为标准方程得：（x-1）2+（y-3）2=9，得到圆心坐标为（1，3），半径r=3，若圆上恰有三点到直线的距离为2，则圆心到直线的距离为1，即，解得k=故选D5．已知抛物线的焦点为F，准线为l．点P在C上，直线PF交x轴于点Q，且，则点P到准线l的距离为（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根据抛物线的定义即可求解.【详解】设，，∵，,∴，∴，∴P到l的距离，故选：C．6．某校先后举办定点投篮比赛和定点射门比赛，高三（1）班的45名同学中，只参加了其中一项比赛的同学有20人，两项比赛都没参加的有19人，则两项比赛中参加人数最多的一项比赛人数不可能是（    ）A．15 B．17 C．21 D．26【答案】A【解析】设只参加一项比赛的20名同学中，参加定点投篮比赛的有人，参加定点射门比赛的有人，根据容斥原理得出，，从而得出答案.【详解】设只参加一项比赛的20名同学中，参加定点投篮比赛的有人，参加定点射门比赛的有人，则，且①由题设条件知，两项比赛均参加的有人故参加定点投篮比赛的一共有人，参加定点射门比赛的有人不妨设参加定点投篮比赛的人数更多(包含参加两种比赛的人数相等的情况)，则②由①②可得，故，又，所以故故参加定点投篮比赛的人数不可能为15人，即两项比赛中参加人数最多的一项比赛人数不可能是15.故选：A7．已知等差数列的公差为,前项和为,则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据等差数列前n项和公式化简可得d>0，由此即可判断求解.【详解】若，则，，，，则“”是“”的充要条件.故选：C.8．已知是定义域为R的偶函数，f(5.5)＝2，g(x)＝(x－1).若g(x＋1)是偶函数，则＝(    )A．－3 B．－2 C．2 D．3【答案】D【分析】根据g(x＋1)得到g(x)关于x＝1对称，得到，结合g(x)＝(x－1)和f(x)为偶函数即可得f(x)周期为4，故可求出f(2.5)＝2，则即可求值﹒【详解】为偶函数，则关于对称，即，即，即，关于对称，又f(x)是定义域为R的偶函数，∴，∴f(x－4)＝f[(x－2)－2]＝－f(x－2)＝－[－f(x)]＝f(x)，即f(x－4)＝f(x)，周期为，∴，.故选：D. 二、多选题9．已知直线l过点，点，到l的距离相等，则l的方程可能是(    )A． B．C． D．【答案】BC【分析】分直线l斜率存在和不存在进行讨论﹒当l斜率存在时，设其方程为，根据点到直线的距离公式列出关于k的方程，解方程即可求直线l的方程．【详解】当直线的斜率不存在时，直线l的方程为，此时点到直线的距离为5，点到直线的距离为1，此时不成立；当直线l的斜率存在时，设直线的方程为，即，∵点到直线的距离相等，，解得，或，当时，直线的方程为，整理得，当时，直线的方程为，整理得综上，直线的方程可能为或故选：BC．10．下列命题表述正确的是（    ）A．方程表示一个圆；B．若，则方程表示焦点在轴上的椭圆；C．已知点、，若，则动点的轨迹是双曲线的右支；D．以过抛物线焦点的弦为直径的圆与该抛物线的准线相切．【答案】BD【分析】由配方法整理方程，结合圆的标准方程，判断A；根据椭圆的标准方程，判断B；根据双曲线的定义，判断C；根据抛物线的定义，结合圆与直线的位置关系，判断D.【详解】对于A：方程可化为不表示圆，故A错；对于B：方程可化为，所以表示焦点在y轴上的椭圆，故B对；对于C：因为点、，所以，所以动点P的轨迹是一条射线，故C错；对于D：如图：建立平面直角坐标系，设过抛物线焦点的直线与抛物线的交点为A,B，线段AB的中点为M，直线为抛物线的准线，，，，由抛物线的定义可得，，所以，又，所以，故以AB为直径的圆的圆心到直线的距离等于该圆的半径，即以AB为直径的圆与准线相切，故D对；故选：BD.11．设函数，已知在有且仅有5个零点．下面论述正确的是（    ）．A．在有且仅有3个极大值点 B．在有且仅有2个极小值点C．在单调递增 D．的取值范围是【答案】ACD【分析】结合正弦函数的图像和性质可判断A，B选项，根据在有且仅有5个零点，可得，解出，可判断D，由，得，而要在单调递增，从而可得，进而可求出的范围，可判断C【详解】解：当时，，因为在有且仅有5个零点，所以在上有且仅有3个极大值点，而极小值点有2个或3 个，所以A正确，B错误；因为，所以，所以D正确；当时，，若在单调递增，则，得，而，所以C正确，故选：ACD【点睛】此题考查了三角函数的图像与性质，考查计算能力，属于中档题12．首项为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为，现有下列4个命题中正确的有（    ）A．若，则B．若，则使的最大的n为15C．若，，则中最大D．若，则【答案】BC【分析】根据等差数列的基本量运算计算可判断A，再由求和公式，利用下标性质可判断CD，再由可判断D.【详解】对于A,若，则，那么.故A不正确；对于B,中若，则，又因为，所以前8项为正，从第9项开始为负，因为，所以使的最大的为15.故B正确；对于C,中若，，则，，则中最大.故C正确；对于D，中若，则，而，不能判断正负情况.故D不正确.故选：BC 三、填空题13．已知直线与直线，在上任取一点A，在上任取一点B，连接AB，取AB的靠近点A的三等分点C，过C作的平行线，则与间的距离为______．【答案】##【分析】过A做于D，交于E，根据三角形相似及题干条件，可得，利用两平行线间距离公式，可得与间的距离AD，进而可求与间的距离AE.【详解】过A做于D，交于E，如图所示：因为，且由题意得，所以，所以，又直线与间的距离，所以与间的距离，故答案为：.14．写出一个同时具有下列性质（1）（2）（3）的数列 的通项公式：  __________．（1）数列是无穷等比数列；（2）数列不单调；（3）数列单调递减．【答案】（答案不唯一）【分析】根据数列需要满足的条件，可写出答案.【详解】由题意可得，满足（1）数列是无穷等比数列；（2）数列不单调；（3）数列单调递减，故答案为：15．已知双曲线）的左､右焦点分别是是双曲线右支上的两点，.记的周长分别为，若，则双曲线的右顶点到直线的距离为___________.【答案】【分析】根据题意，结合双曲线的定义爹【详解】解：根据双曲线的定义，.所以，故双曲线右顶点，因为，所以在上，在上，即直线方程为：，所以双曲线的右顶点到直线的距离为故答案为：16．是坐标原点，是双曲线右支上的一点，是的右焦点，延长分别交于两点，已知，且，则的离心率为______．【答案】【分析】作双曲线的左焦点为，由题意得四边形是矩形，设，根据双曲线定义，在直角中由勾股定理得，再在直角 中根据勾股定理即可解决.【详解】设双曲线的左焦点为 ，由对称性知是的中点，则四边形是平行四边形，因为，所以四边形是矩形，设，则，则，所以在直角 中，，所以 ，解得： 或（舍去），所以 ,因为在直角 中， 所以，得 ，解得.故答案为： 四、解答题17．在平面凸四边形ABCD中，已知，求sinA及AD．【答案】，【分析】在中，由余弦定理求得BD,从而求得，可得，再解，求得，即可求得答案.【详解】连接，在中，由余弦定理，得，且,又有，故,在中，由正弦定理，得,因为，所以，所以,因为，所以,故，在中，由正弦定理，得．18．已知数列{an}满足，且．(1)请你在①，②中选择一个证明：①若，则{bn}是等比数列；②若，则{bn}是等差数列．注：如果选择多个分别解答，按第一个解答计分．(2)求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn．【答案】(1)详见解析；(2)，. 【分析】（1）选择①，利用条件可得，即证；选择②，利用条件可得，即证；（2）由题可得，利用累加法可求，再利用由分组求和法即求.【详解】（1）选择①，由，可得，∴，又，∴数列{bn}是以2为首项，以为公比的等比数列；选择②，∵，，∴，又∴数列{bn}是等差数列.（2）由上可知，即，∴，∴.19．已知点M（1，0），N（1，3），圆C：，直线l过点N．(1)若直线l与圆C相切，求l的方程；(2)若直线l与圆C交于不同的两点A，B，设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，证明：为定值．【答案】(1)或(2)证明见解析 【分析】（1）先判断直线l不存在斜率时符合题意；再设直线l的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，列式求解即可．（2）设出直线l的方程，与圆的方程联立，得到关于的一元二次方程，再利用根与系数的关系及直线的斜率公式进行证明．【详解】（1）解：若直线l的斜率不存在，则l的方程为，此时直线l与圆C相切，故符合条件；若直线l的斜率存在，设斜率为k，其方程为，即，由直线l与圆C相切，圆心（0，0）到l的距离为1，得，解得，所以直线l的方程为，即，综上所述，直线l的方程为或；（2）证明：由（1）可知，l与圆C有两个交点时，斜率存在，此时设l的方程为，联立，得，则 ，解得，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，（1）所以，将（1）代入上式整理得，故为定值．20．已知等比数列的公比为q，前n项和为．(1)若成等差数列，求证：成等差数列；(2)若是和的等差中项，则成等差数列吗？【答案】(1)证明见解析；(2)当时，不是等差数列，当时，成等差数列. 【分析】(1)验证是否符合条件，当时，根据等比数列求和公式化简条件，再根据等差数列定义证明成等差数列；(2)根据等差中项定义化简条件，再根据等差数列定义判断是否为等差数列.【详解】（1）若，则，，，因为，所以，所以不成等差数列，与已知矛盾；所以，因为成等差数列，所以，所以，又，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以成等差数列；（2）因为是和的等差中项，所以，所以，又，，所以，所以或，当时，，，，因为，所以，当时，，所以，所以，所以成等差数列，综上所述，当时，不是等差数列，当时，成等差数列.21．已知圆:，一动圆与直线相切且与圆外切．(1)求动圆圆心的轨迹的方程；(2)若经过定点的直线与曲线交于两点，是的中点，过作轴的平行线与曲线相交于点，试问是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，或 【分析】（1）设元，利用圆与圆的位置关系找等量关系，列方程，化简即可；（2）设，：得，联立方程消去，由韦达定理，根据题意设，由得化简解决即可.【详解】（1）设动圆圆心，由题可知动圆圆心不能在轴左侧，故，因为动圆与直线相切且与圆：外切，所以，，化简得，所以动圆圆心的轨迹的方程为.（2）设，由题意，设直线的方程为，联立，消去得，，①，，②因为是的中点，过作轴的平行线与曲线相交于点，假设存在，使得，所以，③因为在抛物线上，即所以，④，，，所以所以将①②③④代入化简可得，所以，所以存在直线：，使得，所以存在直线的方程为或22．已知椭圆的离心率为，椭圆的上顶点到右顶点的距离为，为坐标原点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若是椭圆上两点(异于顶点)，且的面积为，设射线，的斜率分别为，求的值；（3）设直线与椭圆交于两点(直线不过顶点)，且以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点.【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【解析】（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆的标准方程.（2）设出直线的方程，求得两点的横坐标，利用三角形的面积列方程，化简求得.（3）将直线分成斜率存在和不存在两种情况，结合列方程，化简后判断出直线过定点.【详解】（1）由题得，所以，所以椭圆的标准方程为.（2）设，设直线，直线，，所以，同理得，点到直线的距离，，所以，平方得，所以.（3）设，，(i)直线的斜率存在时，设直线，，得，所以，由题得，所以，化简得，代入韦达定理得，，，所以或，当时，，定点为，为右顶点(舍).当时，，定点为，满足题意.(ii)直线的斜率不存在时，设直线，，所以(不妨设在第一象限)，又因为，所以，化简得，所以，所以或(舍)，所以，直线过点，综上(i)(ii)所得直线过定点.【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，属于难题.