中考数学二轮专题复习专题05 函数应用问题综合题（教师版）

这是一份中考数学二轮专题复习专题05 函数应用问题综合题（教师版），共62页。试卷主要包含了一次函数+二次函数应用问题，一次函数+反比例函数应用问题，二次函数+反比例函数应用问题等内容，欢迎下载使用。

专题五 函数实际问题综合题
一、一次函数+二次函数应用问题
例题（2020·湖北随州·中考真题）2020年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格（元/只）和销量（只）与第天的关系如下表：
第天
1
2
3
4
5
销售价格（元/只）
2
3
4
5
6
销量（只）
70
75
80
85
90
物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于1元/只，该药店从第6天起将该型号口罩的价格调整为1元/只．据统计，该药店从第6天起销量（只）与第天的关系为（，且为整数），已知该型号口罩的进货价格为0.5元/只．
（1）直接写出该药店该月前5天的销售价格与和销量与之间的函数关系式；
（2）求该药店该月销售该型号口罩获得的利润（元）与的函数关系式，并判断第几天的利润最大；
（3）物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外的非法所得部分处以倍的罚款，若罚款金额不低于2000元，则的取值范围为______．
【答案】（1），且x为整数，，且x为整数；（2），第5天时利润最大；（3）．
【分析】
（1）根据表格数据，p是x的一次函数，q是x的一次函数，分别求出解析式即可；
（2）根据题意，求出利润w与x的关系式，再结合二次函数的性质，即可求出利润的最大值．
（3）先求出前5天多赚的利润，然后列出不等式，即可求出m的取值范围．
【详解】
（1）观察表格发现p是x的一次函数，q是x的一次函数，
设p=k1x+b1，
将x=1，p=2；x=2，p=3分别代入得：，
解得：，
所以，
经验证p=x+1符合题意，
所以，且x为整数；
设q=k2x+b2，
将x=1，q=70；x=2，q=75分别代入得：，
解得：，
所以，
经验证符合题意，
所以，且x为整数；
（2）当且x为整数时，

；
当且x为整数时，
；
即有；
当且x为整数时，售价，销量均随x的增大而增大，
故当时，（元）
当且x为整数时，
故当时，（元）；
由，可知第5天时利润最大．
（3）根据题意，
前5天的销售数量为：（只），
∴前5天多赚的利润为：
（元），
∴，
∴；
∴的取值范围为．
【点睛】
此题考查二次函数的性质及其应用，一次函数的应用，不等式的应用，也考查了二次函数的基本性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．
练习题
1．（2021·山东青岛·中考真题）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽路空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度（米）与小钢球运动时间（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度（米）与它的运动时间（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．

（1）直接写出与之间的函数关系式；
（2）求出与之间的函数关系式；
（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？
【答案】（1）；（2）；（3）70米
【分析】
（1）先设出一次函数的解析式，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）用待定系数法求函数解析式即可；
（3）当1＜x≤6时小钢球在无人机上方，因此求y2-y1，当6＜x≤8时，无人机在小钢球的上方，因此求y1-y2，然后进行比较判断即可．
【详解】
解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1=kx+b'，
∵函数图象过点（0，30）和（1，35），
则，
解得，
∴y1与x之间的函数关系式为．
（2）∵时，，
∵的图象是过原点的抛物线，
∴设，
∴点，在抛物线上．
∴，即，
解得，
∴．
答：与的函数关系式为．
（3）设小钢球和无人机的高度差为米，
由得或.
①时，



，
∵，∴抛物线开口向下，
又∵，
∴当时，的最大值为；
②时，



，
∵，∴拋物线开口向上，
又∵对称轴是直线，
∴当时，随的增大而增大，
∵，
∴当时，的最大值为70．
∵，
∴高度差的最大值为70米．
答：高度差的最大值为70米．
【点睛】
本题考查了二次函数以及一次函数的应用，关键是根据根据实际情况判断无人机和小钢球的高度差．
2．（2021·辽宁盘锦·中考真题）某工厂生产并销售A，B两种型号车床共14台，生产并销售1台A型车床可以获利10万元；如果生产并销售不超过4台B型车床，则每台B型车床可以获利17万元，如果超出4台B型车床，则每超出1台，每台B型车床获利将均减少1万元．设生产并销售B型车床台．
（1）当时，完成以下两个问题：
①请补全下面的表格：

A型
B型
车床数量/台
________

每台车床获利/万元
10
________
②若生产并销售B型车床比生产并销售A型车床获得的利润多70万元，问：生产并销售B型车床多少台？
（2）当0＜≤14时，设生产并销售A，B两种型号车床获得的总利润为W万元，如何分配生产并销售A，B两种车床的数量，使获得的总利润W最大？并求出最大利润．
【答案】（1）①，；②10台；（2）分配产销A型车床9台、B型车床5台；或产销A型车床8台、B型车床6台，此时可获得总利润最大值170万元
【分析】
（1）①由题意可知，生产并销售B型车床x台时，生产A型车床（14-x）台，当时，每台就要比17万元少（）万元，所以每台获利，也就是（）万元；
②根据题意可得根据题意：然后解方程即可；
（2）当0≤≤4时，W＝＋＝，当4＜≤14时，
W＝，分别求出两个范围内的最大值即可得到答案.
【详解】
解：（1）当时，每台就要比17万元少（）万元
所以每台获利，也就是（）万元
①补全表格如下面：

A型
B型
车床数量/台


每台车床获利/万元
10

②此时，由A型获得的利润是10（）万元，
由B型可获得利润为万元，
根据题意：， ，
，∵0≤≤14， ∴，
即应产销B型车床10台；
（2）当0≤≤4时，
当0≤≤4
A型
B型
车床数量/台


每台车床获利/万元
10
17
利润


此时，W＝＋＝，
该函数值随着的增大而增大，当取最大值4时，W最大1＝168（万元）；
当4＜≤14时，
当4＜≤14
A型
B型
车床数量/台


每台车床获利/万元
10

利润


则W＝＋＝＝，
当或时（均满足条件4＜≤14），W达最大值W最大2＝170（万元），
∵W最大2＞ W最大1，
∴应分配产销A型车床9台、B型车床5台；或产销A型车床8台、B型车床6台，此时可获得总利润最大值170万元．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一次函数和二次函数的实际应用，解题的关键在于能够根据题意列出合适的方程或函数关系式求解.
3．（2021·辽宁锦州·中考真题）某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为6.2万元/t，加工过程中原料的质量有20%的损耗，加工费m（万元）与原料的质量x（t）之间的关系为m＝50＋0.2x，销售价y（万元/t）与原料的质量x（t）之间的关系如图所示．

（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设销售收入为P（万元），求P与x之间的函数关系式；
（3）原料的质量x为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？（销售利润＝销售收入﹣总支出）．
【答案】（1）；（2）；（3）原料的质量为24吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是万元
【分析】
（1）利用待定系数法求函数关系式；
（2）根据销售收入＝销售价×销售量列出函数关系式；
（3）设销售总利润为W，根据销售利润＝销售收入﹣原料成本﹣加工费列出函数关系式，然后根据二次函数的性质分析其最值．
【详解】
解：（1）设y与x之间的函数关系式为，
将（20，15），（30，12.5）代入，
可得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）设销售收入为P（万元），
∴，
∴P与x之间的函数关系式为；
（3）设销售总利润为W，
∴，
整理，可得：，
∵﹣＜0，
∴当时，W有最大值为，
∴原料的质量为24吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是万元．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，涉及了数形结合的数学思想，熟练掌握待定系数法求解析式是解决本题的关键．
4．（2021·湖北荆门·中考真题）某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，下表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应值数据．
x
40
70
90
y
180
90
30
W
3600
4500
2100
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若该商品进价a（元/件），售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；
（3）因疫情期间，该商品进价提高了m（元/件）（），公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过55（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是4050元，求m的值．
【答案】（1）；（2）售价60元时，周销售利润最大为4800元；（3）
【分析】
（1）①依题意设y=kx+b，解方程组即可得到结论；
（2）根据题意得，再由表格数据求出，得到，根据二次函数的顶点式，求出最值即可；
（3）根据题意得，由于对称轴是直线，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】
解：（1）设，由题意有
，解得，
所以y关于x的函数解析式为；
（2）由（1），又由表可得：
，，
．
所以售价时，周销售利润W最大，最大利润为4800；
（3）由题意，
其对称轴，时上述函数单调递增，
所以只有时周销售利润最大，．
．
【点睛】
本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．
5．（2021·辽宁营口·中考真题）某商家正在热销一种商品，其成本为30元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为60元/件时，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销售量y（件）与售价x（元/件）满足如图所示的函数关系，（其中，且x为整数）

（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）；（2）当售价为70元时，商家所获利润最大，最大利润是4500元
【分析】
（1）利用待定系数法分段求解函数解析式即可；
（2）分别求出当时与当时的销售利润解析式，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】
解：（1）当时，设，
将和代入，可得
，解得，即；
当时，设，
将和代入，可得
，解得，即；
∴；
（2）当时，
销售利润，
当时，销售利润有最大值，为4000元；
当时，
销售利润，
该二次函数开口向上，对称轴为，当时位于对称轴右侧，
当时，销售利润有最大值，为4500元；
∵，
∴当售价为70元时，商家所获利润最大，最大利润是4500元．
【点睛】
本题考查一次函数的应用、二次函数的性质，根据图象列出解析式是解题的关键．
6．（2021·湖南郴州·中考真题）某商店从厂家以每件2元的价格购进一批商品，在市场试销中发现，此商品的月销售量（单位：万件）与销售单价（单位：元）之间有如下表所示关系：

…
4.0
5.0
5.5
6.5
7.5
…

…
8.0
6.0
5.0
3.0
1.0
…


（1）根据表中的数据，在图中描出实数对所对应的点，并画出关于的函数图象；
（2）根据画出的函数图象，求出关于的函数表达式；
（3）设经营此商品的月销售利润为（单位：万元）．
①写出关于的函数表达式；
②该商店计划从这批商品获得的月销售利润为10万元（不计其它成本），若物价局限定商品的销售单价不得超过进价的200%，则此时的销售单价应定为多少元？
【答案】（1）图象见详解；（2）；（3）①；②销售单价应定为3元．
【分析】
（1）由题意可直接进行作图；
（2）由图象可得y与x满足一次函数的关系，所以设其关系式为，然后任意代入表格中的两组数据进行求解即可；
（3）①由题意易得，然后由（2）可进行求解；②由①及题意可得，然后求解，进而根据销售单价不得超过进价的200％可求解．
【详解】
解：（1）y关于x的函数图象如图所示：

（2）由（1）可设y与x的函数关系式为，则由表格可把代入得：
，解得：，
∴y与x的函数关系式为；
（3）①由（2）及题意可得：
；
∴关于的函数表达式为；
②由题意得：，即，
∴，
解得：，
∴；
答：此时的销售单价应定为3元．
【点睛】
本题主要考查二次函数与一次函数的应用，熟练掌握二次函数与一次函数的应用是解题的关键．
7．（2021·四川南充·中考真题）超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2元/千克，同样数量的苹果只用200元．
（1）求苹果的进价．
（2）如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，超过部分购进价格减少2元/千克．写出购进苹果的支出y（元）与购进数量x（千克）之间的函数关系式．
（3）超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完．据统计，销售单价z（元/千克）与一天销售数量x（千克）的关系为．在（2）的条件下，要使超市销售苹果利润w（元）最大，求一天购进苹果数量．（利润＝销售收入购进支出）
【答案】（1）苹果的进价为10元/千克；（2）；（3）要使超市销售苹果利润w最大，一天购进苹果数量为200千克．
【分析】
（1）设苹果的进价为x元/千克，根据等量关系，列出分式方程，即可求解；
（2）分两种情况：当x≤100时， 当x＞100时，分别列出函数解析式，即可；
（3）分两种情况：若x≤100时，若x＞100时，分别求出w关于x的函数解析式，根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】
解：（1）设苹果的进价为x元/千克，
由题意得：，解得：x=10，
经检验：x=10是方程的解，且符合题意，
答：苹果的进价为10元/千克；
（2）当x≤100时，y=10x，
当x＞100时，y=10×100+（10-2）×（x-100）=8x+200，
∴；
（3）若x≤100时，w=zx-y==，
∴当x=100时，w最大=100，
若x＞100时，w=zx-y==，
∴当x=200时，w最大=200，
综上所述：当x=200时，超市销售苹果利润w最大，
答：要使超市销售苹果利润w最大，一天购进苹果数量为200千克．
【点睛】
本题主要考查分式方程、一次函数、二次函数的实际应用，根据数量关系，列出函数解析式和分式方程，是解题的关键．
8．（2021·湖北十堰·中考真题）某商贸公司购进某种商品的成本为20元/，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y（元/）与时间x（天）之间的函数关系式为：且x为整数，且日销量与时间x（天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表：
时间x（天）
1
3
6
10
…
日销量
142
138
132
124
…
填空：
（1）m与x的函数关系为___________；
（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售商品就捐赠n元利润（）给当地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，求n的取值范围．
【答案】（1）；（2）第16天销售利润最大，最大为1568元；（3）1.75＜n＜4
【分析】
（1）设，将，代入，利用待定系数法即可求解；
（2）分别写出当时与当时的销售利润表达式，利用二次函数和一次函数的性质即可求解；
（3）写出在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润表达式，根据二次函数的性质可得对称轴，求解即可．
【详解】
解：（1）设，将，代入可得：
，解得，
∴；
（2）当时，
销售利润，
当时，销售利润最大为1568元；
当时，
销售利润，
当时，销售利润最大为1530元；
综上所述，第16天销售利润最大，最大为1568元；
（3）在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润为：
，
对称轴为直线x═16+2n，
∵在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，且x只能取整数，故只要第20天的利润高于第19天，
即对称轴要大于19.5
∴16+2n＞19.5，
求得n＞1.75，又∵n＜4，
∴n的取值范围是：1.75＜n＜4，
答：n的取值范围是1.75＜n＜4．
【点睛】
本题考查二次函数与一次函数的实际应用，掌握二次函数与一次函数的性质是解题的关键．
9．（2021·江苏扬州·中考真题）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：
甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．
乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．
说明：①汽车数量为整数；
②月利润=月租车费-月维护费；
③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润．
在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：
（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是_______元；当每个公司租出的汽车为_______辆时，两公司的月利润相等；
（2）求两公司月利润差的最大值；
（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值范围．
【答案】（1）48000，37；（2）33150元；（3）
【分析】
（1）用甲公司未租出的汽车数量算出每辆车的租金，再乘以10，减去维护费用可得甲公司的月利润；设每个公司租出的汽车为x辆，根据月利润相等得到方程，解之即可得到结果；
（2）设两公司的月利润分别为y甲，y乙，月利润差为y，同（1）可得y甲和y乙的表达式，再分甲公司的利润大于乙公司和甲公司的利润小于乙公司两种情况，列出y关于x的表达式，根据二次函数的性质，结合x的范围求出最值，再比较即可；
（3）根据题意得到利润差为，得到对称轴，再根据两公司租出的汽车均为17辆，结合x为整数可得关于a的不等式，即可求出a的范围．
【详解】
解：（1）=48000元，
当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元；
设每个公司租出的汽车为x辆，
由题意可得：，
解得：x=37或x=-1（舍），
∴当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等；
（2）设两公司的月利润分别为y甲，y乙，月利润差为y，
则y甲=，
y乙=，
当甲公司的利润大于乙公司时，0＜x＜37，
y=y甲-y乙=
=，
当x==18时，利润差最大，且为18050元；
当乙公司的利润大于甲公司时，37＜x≤50，
y=y乙-y甲=
=，
∵对称轴为直线x==18，
当x=50时，利润差最大，且为33150元；
综上：两公司月利润差的最大值为33150元；
（3）∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，
则利润差为=，
对称轴为直线x=，
∵x只能取整数，且当两公司租出的汽车均为17辆时，月利润之差最大，
∴，
解得：．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，二次函数的图像和性质，解题时要读懂题意，列出二次函数关系式，尤其（3）中要根据x为整数得到a的不等式．
10．（2018·湖北荆门·中考真题）随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购了10000kg小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的成本相同，放养10天的总成本为166000，放养30天的总成本为178000元．设这批小龙虾放养t天后的质量为akg，销售单价为y元/kg，根据往年的行情预测，a与t的函数关系为a= ，y与t的函数关系如图所示．
（1）设每天的养殖成本为m元，收购成本为n元，求m与n的值；
（2）求y与t的函数关系式；
（3）如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？
（总成本=放养总费用+收购成本；利润=销售总额﹣总成本）

【答案】（1）m=600，n=160000；（2）；（3）该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养25天后一次性出售所得利润最大，最大利润是108500元.
【详解】
【分析】（1）根据题意列出方程组，求出方程组的解得到m与n的值即可；
（2）根据图象，分类讨论利用待定系数法求出y与P的解析式即可；
（3）根据W=ya﹣mt﹣n，表示出W与t的函数解析式，利用一次函数与二次函数的性质求出所求即可．
【详解】（1）依题意得 ，
解得：；
（2）当0≤t≤20时，设y=k1t+b1，
由图象得：，
解得：
∴y=t+16；
当20＜t≤50时，设y=k2t+b2，
由图象得：，
解得：，
∴y=﹣t+32，
综上，；
（3）W=ya﹣mt﹣n，
当0≤t≤20时，W=10000（t+16）﹣600t﹣160000=5400t，
∵5400＞0，
∴当t=20时，W最大=5400×20=108000，
当20＜t≤50时，W=（﹣t+32）（100t+8000）﹣600t﹣160000=﹣20t2+1000t+96000=﹣20（t﹣25）2+108500，
∵﹣20＜0，抛物线开口向下，
∴当t=25，W最大=108500，
∵108500＞108000，
∴当t=25时，W取得最大值，该最大值为108500元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，具体考查了待定系数法确定函数解析式，利用二次函数的性质确定最值，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
二、一次函数+反比例函数应用问题
例题（2021·广东深圳·中考真题）探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、倍、k倍．
（1）若该矩形为正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都为边长为2的正方形的2倍？_______（填“存在”或“不存在”）．
（2）继续探究，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为长为3，宽为2的矩形的2倍？
同学们有以下思路：
设新矩形长和宽为x、y，则依题意，，联立得，再探究根的情况：根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，使其周长和面积都为原矩形的倍；如图也可用反比例函数与一次函数证明：，：，那么，

①是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？_______．
②请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的，若存在，用图像表达；
③请直接写出当结论成立时k的取值范围：．
【答案】（1）不存在；（2）①存在；②不存在，见解析；③
【分析】
（1）直接求出边长为2的正方形周长与面积，再求出周长扩大2倍即边长扩大2倍时正方形的面积，比较是否也为2倍即可；
（2）①依题意根据一元二次方程根的情况判断即可；②设新矩形长和宽为x、y，则依题意，，联立，求出关于x、y的一元二次方程，判断根的情况；③设新矩形长和宽为x和y，则由题意，，同样列出一元二次方程，利用根的判别式进行求解即可．
【详解】
（1）边长为2的正方形，周长为8，面积为4；当周长为其2倍时，边长即为4，面积为16，即为原来的4倍，故不存在；
（2）①存在；
∵的判别式，方程有两组正数解，故存在；
从图像来看，：，：在第一象限有两个交点，故存在；
②设新矩形长和宽为x、y，则依题意，，联立得，
因为，此方程无解，故这样的新矩形不存在；
从图像来看，：，：在第一象限无交点，故不存在；

③；
设新矩形长和宽为x和y，则由题意，，
联立得，，故．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，根的判别式．需要认真阅读理解题意，根据题干过程模仿解题．
练习题
1．（2021·浙江台州·中考真题）电子体重科读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1， R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km＋b（其中k，b为常数，0≤m≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0 ，该读数可以换算为人的质量m，
温馨提示：
①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I＝；
②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．

（1）求k，b的值；
（2）求R1关于U0的函数解析式；
（3）用含U0的代数式表示m；
（4）若电压表量程为0~6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量．
【答案】（1）；（2）；I（3）；（4）该电子体重秤可称的最大质量为115千克．
【分析】
（1）根据待定系数法，即可求解；
（2）根据“串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压”，列出等式，进而即可求解；
（3）由R1＝m＋240，，即可得到答案；
（4）把时，代入，进而即可得到答案．
【详解】
解：（1）把（0，240），（120，0）代入R1＝km＋b，得，解得：；
（2）∵，
∴；
（3）由（1）可知：，
∴R1＝m＋240，
又∵，
∴=m＋240，即：；
（4）∵电压表量程为0~6伏，
∴当时，
答：该电子体重秤可称的最大质量为115千克．
【点睛】
本题主要考查一次函数与反比例函数的实际应用，熟练掌握待定系数法，是解题的关键．
2．（2021·安徽·中考真题）已知正比例函数与反比例函数的图象都经过点A（m，2）．
（1）求k，m的值；
（2）在图中画出正比例函数的图象，并根据图象，写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围．

【答案】（1）的值分别是和3；（2）或
【分析】
（1）把点A（m，2）代入求得m的值，从而得点A的坐标，再代入求得k值即可；
（2）在坐标系中画出的图象，根据正比例函数的图象与反比例函数图象的两个交点坐标关于原点对称，求得另一个交点的坐标，观察图象即可解答．
【详解】
（1）将代入得，     
，        
，
将代入得，       
，     
的值分别是和3．
（2）正比例函数的图象如图所示，


∵正比例函数与反比例函数的图象都经过点A（3，2），
∴正比例函数与反比例函数的图象的另一个交点坐标为（-3，-2），
由图可知：正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围为或．
【点睛】
本题是正比例函数与反比例函数的综合题，利用数形结合思想是解决问题的关键．
3．（2020·广西柳州·中考真题）如图，平行于y轴的直尺（部分）与反比例函数（x＞0）的图象交于A、C两点，与x轴交于B、D两点，连接AC，点A、B对应直尺上的刻度分别为5、2，直尺的宽度BD＝2，OB＝2．设直线AC的解析式为y＝kx+b．
（1）请结合图象，直接写出：
①点A的坐标是　 　；
②不等式的解集是　 　；
（2）求直线AC的解析式．

【答案】（1）①（2，3）；②2＜x＜4；（2）．
【分析】
（1）①根据点A、B对应直尺上的刻度分别为5、2，OB＝2．即可求得A的坐标；②根据题意C的横坐标为4，根据图象即可求得不等式的解集；
（2）根据待定系数法求得反比例函数的解析式，进而求得C的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AC的解析式．
【详解】
解：（1）①∵直尺平行于y轴，A、B对应直尺的刻度为5、2，且OB＝2，
∴A（2，3）；
②∵直尺的宽度BD＝2，OB＝2，
∴C的横坐标为4，
∴不等式的解集是2＜x＜4，
故答案为（2，3）；2＜x＜4；
（2）∵A在反比例函数图象上，
∴m＝2×3＝6，
∴反比例解析式为，
∵C点在反比例函数图象上，
∴yc＝，
∴C（4，），
将A、C代入y＝kx+b有解得，
∴直线AC解析式：．
【点睛】
本题考查待定系数法求解析式、利用函数解不等式，掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
4．（2020·云南昆明·中考真题）为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，她完成3间办公室和2间教室的药物喷洒要19min；完成2间办公室和1间教室的药物喷洒要11min．
（1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多少时间？
（2）消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时y与x的函数关系式为y＝2x，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A（m，n）．当教室空气中的药物浓度不高于1mg/m3时，对人体健康无危害，校医依次对一班至十一班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当她把最后一间教室药物喷洒完成后，一班学生能否进入教室？请通过计算说明．

【答案】（1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要3min和5min；（2）一班学生能安全进入教室，计算说明过程见解析．
【分析】
（1）设校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要和，再根据题干信息建立二元一次方程组，然后解方程组即可得；
（2）先求出完成11间教室的药物喷洒所需时间，再根据一次函数的解析式求出点A的坐标，然后利用待定系数法求出反比例函数的解析式，最后根据反比例函数的解析式求出时，y的值，与1进行比较即可得．
【详解】
（1）设校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要和
则
解得
答：校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要和；
（2）一间教室的药物喷洒时间为，则11个房间需要
当时，
则点A的坐标为
设反比例函数表达式为
将点代入得：，解得
则反比例函数表达式为
当时，
故一班学生能安全进入教室．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用、反比例函数与一次函数的综合等知识点，较难的是题（2），依据题意，正确求出反比例函数的解析式是解题关键．
5．（2020·湖北荆州·中考真题）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图像和性质后，进一步研究了函数的图像与性质，其探究过程如下：
（1）绘制函数图像，如图1
①列表；下表是x与y的几组对应值，其中；

②描点：根据表中各组对应值(x，y)在平面直角坐标系中描出了各点；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图像，请你把图像补充完整；
（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质：①_______________；②_______________；
（3）①观察发现：如图2，若直线y=2交函数的图像于A，B两点，连接OA，过点B作BC//OA交x轴于点C，则；
②探究思考：将①的直线y=2改为直线y=a(a>0)，其他条件不变，则；
③类比猜想：若直线y=a(a>0)交函数的图像于A，B两点，连接OA，过点B作BC//OA交x轴于C，则；

【答案】（1）①1，②见解析，③见解析；（2）①函数的图象关于轴对称，②当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；（3）①4，②4，③2k
【分析】
（1）根据表格中的数据的变化规律得出当时，，而当时，，求出的值；补全图象；
（2）根据（1）中的图象，得出两条图象的性质；
（3）由图象的对称性，和四边形的面积与的关系，得出答案．
【详解】
解：（1）当时，，而当时，，
，
故答案为：1；补全图象如图所示：

（2）根据（1）中的图象可得：①函数的图象关于轴对称，②当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；
（3）如图，

①由，两点关于轴对称，由题意可得四边形是平行四边形，且，
②同①可知：，
③，
故答案为：4，4，．
【点睛】
本题考查反比例的图象和性质，列表、描点、连线是作函数图象的基本方法，利用图象得出性质和结论是解决问题的根本目的．
6．（2020·湖南郴州·中考真题）为了探索函数的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．
列表：






















描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：

（1）如图，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；
（2）已知点在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：
若，则 ；
若，则 ；
若，则 （填“>”，“=”，“<”）．
（3）某农户要建造一个图所示的长方体形无盖水池，其底面积为平方米，深为米．已知底面造价为千元/平方米，侧面造价为千元/平方米，设水池底面一边的长为米，水池总造价为千元．
①请写出与的函数关系式；
②若该农户预算不超过千元，则水池底面一边的长应控制在什么范围内?
【答案】（1）见解析；（2）＞；＜；＝；（3）①；②．
【分析】
（1）用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象即可；
（2）观察函数图象可以看出有最低点，即函数有最小值，结合表格提供的信息即可解决问题；
（3）①根据底面面积可求出底面另一条边长，进而可求出水池的侧面积，分别表示出底面和侧面的造价，从而可表示出与的函数关系式；
②根据函数关系式结合表格可得出x的控制范围．
【详解】
（1）如图1所示；

（2）根据图象和表格可知，当时，＞；当，则＜；当，则＝；
（3）①∵底面面积为1平方米，一边长为x米，
∴与之相邻的另一边长为米，
∴水池侧面面积的和为：
∵底面造价为千元/平方米，侧面造价为千元/平方米，
∴
即：与的函数关系式为：；
②∵该农户预算不超过千元，即y≤3.5
∴
∴，
根据图象或表格可知，当2≤y≤2.5时，，
因此，该农户预算不超过千元，则水池底面一边的长应控制在．
【点睛】
本题考查反比例函数的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
7．（2021·河南平顶山·三模）小明学习了函数有关知识后，利用学到的方法对函数进行了如下的研究：
列表：

……
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
……

……




3
2

0
-1
……
(1)其中__________，__________．
描点：在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示；

(2)描点并补全函数的图象；
(3)结合函数图象回答下列问题：
①该函数存在最__________值（填“大”或“小”），最值是__________；
②观察函数图象，写出随的增大而变化的情况：__________；
③若直线经过点，且与的图象围成封闭的图形，当封闭图形内整点（点的横、纵坐标都为整数）只有4个时（不包括边界），直接写出的取值范围．
【答案】(1)1，1
(2)详见解析
(3)①大，3；②当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；③
【分析】
（1）根据自变量与函数值得对应关系，可得答案；
（2）根据描点法画函数图象，可得答案；
（3）根据图象，可得答案．
(1)解；当x＝﹣3时，m＝＝1，
当x＝1时，n＝﹣x+2＝1，
故答案为：1，1；
(2)描点并补全函数的图象如图：

(3)①该函数存在最大值（填“大”或“小”），最值是3；
②观察函数图象，当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，当x≥﹣1时，y随x的增大而减小；
③封闭图形内整点（点的横、纵坐标都为整数）只有4个时，这4个整点为（﹣2，1），（﹣1，1）（0，1），（﹣1，2），
把（﹣2，1）（2，0）代入y＝kx+b得，解得b＝ ，
观察图象，若直线y＝kx+b经过点（2，0），且与y＝的图象围成封闭的图形，当封闭图形内整点（点的横、纵坐标都为整数）只有4个时（不包括边界），b的取值范围是0＜b＜．
故答案为：①大，3．
②当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；
③
【点睛】
本题考查了函数的图象与性质，利用描点法画函数图象，利用数形结合是解题关键．
8．（2021·山东滨州·三模）2021年4月12日，由国药集团中国生物武汉生物制品研究所申报的一类新药——新型冠状病毒灭活疫苗，获得国家药品监督管理局临床试验许可，这是全球首家获得临床试验批件的新型冠状病毒灭活疫苗．疫情下的中国在全世界抗疫战斗中全方位领跑．某制药公司生产3支单针疫苗和2支双针疫苗需要19min；生产2支单针疫苗和1支双针疫苗需要11min．

(1)制药公司生产1支单针疫苗和1支双针疫苗各需要多少时间？
(2)小明选择注射双针疫苗，若注射第一针疫苗后，体内抗体浓度y（单位：miu/ml）与时间x（单位：天）的函数关系如图所示：疫苗注射后体内抗体浓度首先y与x成一次函数关系，体内抗体到达峰值后，y与x成反比例函数关系．若体内抗体浓度不高于50miu/ml时，并且不低于23miu/ml，可以打第二针疫苗，刺激记忆细胞增殖分化，产生大量浆细胞而产生更多的抗体．请问：
①请写出两段函数对应的表达式，并指定自变量的取值范围；
②小明可以在哪个时间段内打第二针疫苗？请通过计算说明．
【答案】(1)生产1支单针疫苗需要3min；生产1支双针疫苗需要5min
(2)①两段函数对应的表达式为y；②小明应在打打第二针疫苗的时间段为打第一针后的第13天到28天内
【分析】
（1）根据题意，列二元一次方程可解；
（2）①由函数可象过（0.7， 910）且两段函数分别为正比例函数和反比例函数，利用待定系数法可求出函数解析式，由函数可象可知自变量的取值范围；②让反比函数函数的函数值在23和50之间解不等式可得答案；
(1)
设生产1支单针疫苗需要xmin，生产1支双针疫苗需要ymin．
则：，
解得：，
所以，生产1支单针疫苗需要3min；生产1支双针疫苗需要5min．
(2)
①设函数解析式为y＝kx，将（0.7，910）代入，
解得k＝1300，
故y＝1300x；
设函数解析式为，将（0.7，910）代入，
解得m＝637，
故，
两段函数对应的表达式为y；
②当y＝50时，x＝12.74，当y＝23时，x＝27.7，
所以小明应在打打第二针疫苗的时间段为打第一针后的第13天到28天内．
【点睛】
本题考查了函数图象的实际应用，注意两段函数的特点及取值范围是解答本题的关键．
9．（2021·河南郑州·二模）模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具．对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为4，得，即；由周长为m，得，即满足要求的应是两个函数图象在第一象限内交点的坐标．
(1)作函数图象

(2)①当反比例函数（）的图象与直线有唯一交点时，周长m的值为____________；
②交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围．
(3)解决问题：若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为_______．
【答案】(1)见解析
(2)①8；②0个交点时，；2个交点时，；1个交点时，
(3)
【分析】
（1）根据描点可画出直线的图象；
（2）①将点代入中求解；
②根据平移中交点的变化情况得出答案；
（3）联立和可得来求解．
(1)解：当时，；时，，
则描出两点和，连接这两点，作函数图象如下：

(2)解：①将点代入中得
，
解得；
②由①可知，0个交点时，；
2个交点时，；
1个交点时，；
(3)解：联立和可得
，
时，两个函数有交点，
解得．
【点睛】
本题考查了反比例函数的综合应用，涉及一次函数、一元二次方程、函数的平移．掌握相关知识是解答关键．
10．（2022·福建三明·一模）某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜.某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系如图所示，其中BC段是恒温阶段，CD段是某反比例函数图象的一部分，请根据图中信息解答下列问题：

（1）求a的值；
（2）大棚里栽培的一种蔬菜在温度为12℃到20℃的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是10℃，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长?
【答案】（1）12；（2）19.6
【分析】
（1）利用待定系数法求反比例函数解析式即可求出C点坐标；
（2）分别求出y=12与AB和CD的交点M、N，则MN横坐标差即为答案．
【详解】
（1）设CD段是反比例函数图象的一部分
∵D(24,10)，
∴
解得，
（2）直线与交点N坐标为
∵
∴直线AB解析式为
∴直线与直线AB 的交点M坐标为
∴MN横坐标差为
即这种蔬菜一天内最适合生长的时间有19.6小时

【点睛】
本题考查了反比例函数的应用，解答时应注意临界点的应用．
三、二次函数+反比例函数应用问题
例题（2021·河北唐山·一模）某公司生产一种产品，月销售量为吨（），每吨售价为7万元，每吨的成本（万元）由两部分组成，一部分是原材料费用固定不变，另一部分人力等费用，与月销售量成反比，市场部研究发现月销售量吨与月份（为1~12的正整数）符合关系式（为常数），参考下面给出的数据解决问题．
月份（月）
1
2
成本（万元/吨）
5
5.6
销售量为（吨/月）
120
100
（1）求与的函数关系式；
（2）求的值；
（3）在这一年12个月中，
①求月最大利润；
②若第个月和第个月的利润相差最大，直接写出的值．
【答案】（1）；（2）；（3）①240，②或11
【分析】
（1）设，将表中相关数据代入可求得a、b，由此可求得函数关系式；
（2）将n＝1、x＝120代入x＝2n2﹣26n+k2可求得k的值；
（3）第m个月的利润W，第（m+1）个月的利润为，分情况作差结合m的范围，由一次函数性质可得．
【详解】
解：（1）由题意，设，
由表中数据可得：，
解得：
∴与的函数关系式为；
（2）将，代入，
得，
解得，
∴，
将，代入也符合，
∴；
（3）①设第个月的利润为，则



，
∴对称轴为，
∴当或12时，取得最大值为240，
②设第m个月的利润为W，第（m+1）个月的利润为，
则第（m+1）个月的利润＝10[（m+1）2﹣13（m+1）+36]＝10（m2﹣11m+24），
若W≥，W﹣＝20（6﹣m），m取最小1，W﹣取得最大值100；
若W＜，﹣W＝20（m﹣6），由m+1≤12知m取最大11，﹣W取得最大值100；
∴m＝1或11．
【点睛】
本题主要考查反比例函数和二次函数的应用，理解题意准确梳理所涉变量，并熟练掌握待定系数法求函数解析式、利润的相等关系列出解析式是解题的关键．
练习题
1．（2021·河南省淮滨县第一中学一模）如图是轮滑场地的截面示意图，平台距轴（水平）米，与轴交于点，与滑道交于点，且米．运动员（看成点）在方向获得速度米/秒后，从处向右下飞向滑道，点是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：，的竖直距离（米）与飞出时间（秒）的平方成正比，且时，，的水平距离是米．

（1）求，并用表示；
（2）设．用表示点的横坐标和纵坐标，并求与的关系式（不写的取值范围），及时运动员与正下方滑道的竖直距离；
（3）若运动员甲、乙同时从处飞出，速度分别是米/秒、米/秒．当甲距轴米，且乙位于甲右侧超过米的位置时，直接写出的值及的范围．
【答案】（1），；（2），，，当时，运动员在与正下方滑道的竖直距离是米；（3），
【分析】
（1）用待定系数法解题即可；
（2）根据题意，分别用表示、，再用代入消元法得出与之间的关系式；
（3）求出甲距轴1.8米时的横坐标，根据题意求出乙位于甲右侧超过4.5米的．
【详解】
解：（1）把点代入，得，，
，
设，把，代入，得，，
．
（2），米，
，
，米，
，
由，
则，
，
当时，，
解得或，
，
，
把代入，得，，
，
运动员在与正下方滑道的竖直距离是（米．
（3）把代入，得，，
解得或（负值舍去），
，
甲的坐标为，
此时，乙的坐标为，，
由题意：，
．
【点睛】
本题以考查二次函数和反比例函数的待定系数法以及函数图象上的临界点问题．
2．（2021·广西·南宁市天桃实验学校三模）在新型冠状肺炎疫情期间，某农业企业合作社决定对一种特色水果开展线上销售，考虑到实际情况，一共开展了次线上销售，综合考虑各种因素，该种水果的成本价为元/吨，销售结束后，经过统计得到了如下信息：
信息1：设次线上销售水果（吨），已知是的一次函数，且第次线上销售水果为吨，然后每一次总比前一次销售量减少吨；
信息2：该水果的销售单价（万元/吨）均由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价为万元/吨，第至次线上销售的浮动价与销售场次成正比；第至次线上销售的浮动价与销售场次成反比；
信息3：如下表格：
（次）



（万元/吨）



（1）求与之间的函数关系式；
（2）若（万元/吨），求的值；
（3）在这次线上销售中，那一次线上销售获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）；（2），；（3）第次，万．
【分析】
（1）设，把时，，时，分别代入运算即可；
（2）确定函数解析式，代入和的值运算即可；
（3）分类讨论前十次和后十次的销售最大利润是多少，再比较大小即可．
【详解】
解：（1）∵是的一次函数，则
由第次线上销售水果为吨可得：时，，
由每一次总比前一次销售量减少吨可得：时，
分别代入可得：
解得：
∴与之间的函数关系式为：
（2）设第至次时与的函数关系式为：，第至次时与的函数关系式为：；
由题意可得：，
解得： ，
∴第至次时与的函数关系式为：，第至次时与的函数关系式为：；
把代入可得：
把代入可得：
∴的值为和
（3）设利润
当时，
∴时，最大利润为万
当时，
∴时，最大利润为万
∵
∴第次销售获得的利润最大，最大利润是万
答：第次销售获得的利润最大，最大利润是万．
【点睛】
本题主要考查了函数的应用，其中涉及到了一次函数，反比例函数，二次函数等知识点，合理从表格中获取关键信息列式是解题的关键．
3．（2021·河北承德·二模）如图，反比例函数过点、两点，抛物线（为常数）的顶点为．

（1）求的值；
（2）当抛物线经过点时，求抛物线的顶点坐标；
（3）若抛物线的对称轴与反比例函数段有交点，确定的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）根据反比例函数过点、两点，即可求解；
（2）把代入求出坐标，抛物线经过点，即将代入抛物线的解析式求出，再化为顶点式即可；
（3）先表示出抛物线的对称轴，分别求出对称轴过点时的值，再确定范围．
【详解】
解：（1）反比例函数过点、两点，
，解得，
．
（2）把代入得代入（为常数），
得，解得，
即，
顶点坐标．
（3）（b为常数）的对称轴为直线，
当对称轴过点时，解得；当对称轴过点时，解得，
抛物线的对称轴与反比例函数段有交点，确定的取值范围．．
【点睛】
本题考查了反比例函数与二次函数的综合应用，解题的关键是通过数形结合的思想来解答．
4．（2021·全国·九年级专题练习）近年来，随着盲盒经济的崛起，潮玩市场备受关注，盲盒里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶．某公司生产一种盲盒，在自动售卖机销售，已知这种盲盒的成本是每盒40元，物价局规定，这种盲盒的市场销售单价不得高于60元，不得低于45元．经市场调查发现，销售单价不高于50元时，每月销售量与销售单价成反比例函数关系；高于50元时，每月销售量与销售单价成一次函数关系，下表是部分市场调查数据：
销售单价/元
45
50
54
58
60
月销售量/盒
600
540
500
460
440
（1）设月销售量为盒，销售单价为元，求与之间的函数关系式；
（2）当这种盲盒的销售单价为多少元时，月销售利润最大？月最大销售利润是多少元？
【答案】（1）；（2）当销售单价为60元时，月销售利润最大，月最大销售利润是8800元．
【分析】
（1）根据题意分情况讨论即可求解函数；
（2）根据题意分情况列出反比例函数与二次函数，根据题意并结合函数的性质即可求解最值．
【详解】
解：（1）由题意得，当时，，
当时，，
把和代入得：
，
解得：，
∴，
∴与之间的函数关系式为：；
（2）设这种盲盒的销售单价为元，月销售利润为元，
则，
①当时，，
∵随的增大而增大，
∴当时，的最大值（元）；
②当时，，
∵，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，的最大值（元），
∵，
∴当销售单价为60元时，月销售利润最大，月最大销售利润是8800元．
【点睛】
此题主要考查函数的实际应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列出函数关系式求解．
5．（2021·江苏南通·中考真题）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点是函数的图象的“等值点”．
（1）分别判断函数的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
（2）设函数的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作轴，垂足为C．当的面积为3时，求b的值；
（3）若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为．当两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）函数y=x+2没有“等值点”； 函数的“等值点”为(0，0)，(2，2)；（2）或；（3）或．．
【分析】
（1）根据定义分别求解即可求得答案；
（2）根据定义分别求A(，)，B(，)，利用三角形面积公式列出方程求解即可；
（3）由记函数y=x2-2（x≥m）的图象为W1，将W1沿x=m翻折后得到的函数图象记为W2，可得W1与W2的图象关于x=m对称，然后根据定义分类讨论即可求得答案．
【详解】
解：（1）∵函数y=x+2，令y=x，则x+2=x，无解，
∴函数y=x+2没有“等值点”；
∵函数，令y=x，则，即，
解得：，
∴函数的“等值点”为(0，0)，(2，2)；
（2）∵函数，令y=x，则，
解得：(负值已舍)，
∴函数的“等值点”为A(，)；
∵函数，令y=x，则，
解得：，
∴函数的“等值点”为B(，)；
的面积为，
即，
解得：或；

（3）将W1沿x=m翻折后得到的函数图象记为W2．
∴W1与W2两部分组成的函数W的图象关于对称，
∴函数W的解析式为，
令y=x，则，即，
解得：，
∴函数的“等值点”为(-1，-1)，(2，2)；
令y=x，则，即，
当时，函数W的图象不存在恰有2个“等值点”的情况；
当时，观察图象，恰有2个“等值点”；

当时，
∵W1的图象上恰有2个“等值点”(-1，-1)，(2，2)，
∴函数W2没有“等值点”，
∴，
整理得：，
解得：．
综上，m的取值范围为或．
【点睛】
本题属于二次函数的综合题，考查了二次函数、反比例函数、一次函数的性质以及函数的对称性．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
6．（2021·江苏连云港·二模）我县某农业合作社对一种特色水果一共开展了35次线上销售，该种水果的成本价为每吨4万元，销售结束后，经过统计得到了如下信息；
信息1：设第次线上销售水果（吨），且第一次线上销售水果为39吨，然后每一次总比前一次销售减少1吨，
信息2：该水果的销售单价（万元/吨）与销售场次之间的函数关系式为
，且当时，；当时，．
请根据以上信息，解决下列问题．
（1）与之间的函数表达式为 ；
（2）若（万元/吨），求的值；
（3）在这35次线上销售中，哪一次线上销售获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）；（2）4；（3）第19次线上销售获得利润最大，且最大利润是79.8万元．
【分析】
（1）根据“第一次线上销售水果为39吨，然后每一次总比前一次销售减少1吨”即可列出与之间的函数表达式为；
（2）根据当时，；当时，即可求出k1、k2的值，进而得到p与x的函数关系式为，再把代入分段函数，分别求出x=4，x=40，舍去不合题意的x的值，问题得解，
（3）设每场获得的利润为（万元），分和两种情况，求出w与x的函数关系式，再分别求出最大值，进行比较，问题得解．
【详解】
解：（1）∵第一次线上销售水果为39吨，然后每一次总比前一次销售减少1吨，
∴与之间的函数表达式为；
（2）当时，，所以有，解之得，．
当时，，所以有，解之得，．
∴，
当时，，解之得，
当时，，解得．，所以舍去．
∴的值为4；
（3）设每场获得的利润为（万元），则有
当时，，
∴当时，最大，且最大值为万元．
当时，，
∴当时，最大，且最大值为万元．
∴第19次线上销售获得利润最大，且最大利润是79.8万元．
【点睛】
本题为一次函数、二次函数、反比例函数的综合应用，考查了列一次函数解析式，分段函数、二次函数的性质，反比例函数的性质等知识，综合性较强，熟练掌握各函数性质是解题关键，注意当时，函数不是反比例函数，但注意借鉴反比例函数性质即可求解．
7．（2021·山东潍坊·中考真题）某山村经过脱贫攻坚和乡村振兴，经济收入持续增长．经统计，近五年该村甲农户年度纯收入如表所示：
年度（年）
2016
2017
2018
2019
2020
2021
年度纯收入（万元）
1.5
2.5
4.5
7.5
11.3

若记2016年度为第1年，在直角坐标系中用点（1，15），（2，2.5），（3，4.5），（4，7.5），（5，11.3）表示近五年甲农户纯收入的年度变化情况．如图所示（m＞0），y＝x+b（k＞0），y＝ax2﹣0.5x+c（a＞0），以便估算甲农户2021年度的纯收入．

（1）能否选用函数（m＞0）进行模拟，请说明理由；
（2）你认为选用哪个函数模拟最合理，请说明理由；
（3）甲农户准备在2021年底购买一台价值16万元的农机设备，根据（2）中你选择的函数表达式，预测甲农户2021年度的纯收入能否满足购买农机设备的资金需求.
【答案】（1）不能选用函数（m＞0）进行模拟，理由见解析；（2）选用y=ax2-0.5x+c（a>0）满足模拟，理由见解析；（3）满足，理由见解析.
【分析】
（1）根据m=xy是否为定值即可判断和说明理由；
（2）通过点的变化可知不是一次函数，由（1）可知不是反比例，则可判断选用二次函数模拟最合理；
（3）利用已知点坐标用待定系数法求出解析式，然后计算出2021年即第6年度的纯收入y，然后比较结果即可．
【详解】
解：（1）不能选用函数（m＞0）进行模拟，理由如下：
∵1×1.5=1.5，2×2.5=5，…
∴1.5≠5
∴不能选用函数（m＞0）进行模拟；
（2）选用y=ax2-0.5x+c（a>0），理由如下：
由（1）可知不能选用函数（m＞0），由（1，1.5），（2，2.5），（3，4.5），（4，7.5），（5，11.3）可知x每增大1个单位，y的变化不均匀，则不能选用函数y=x+b（k>0），
故只能选用函数y=ax2-0.5x+c（a>0）进行模拟；
（3）由点（1，1.5），（2，2.5）在y=ax2-0.5x+c（a>0）上
则 ，解得：
∴y=0.5x2-0.5x+1.5
当x=6时，y=0.5×36-0.5×6+1.5=16.5，
∵16.5 > 16，
∴甲农户2021年度的纯收入满足购买农机设备的资金需求．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象特征、反比例函数的图象特征、待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的函数值等知识点，根据图象特征、正确判断函数的种类成为解答本题的关键．
8．（2021·浙江·九年级期末）某公司为了宣传一种新产品，在某地先后举行40场产品促销会，已知该产品每台成本为10万元，设第场产品的销售量为（台），第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台．
（1）第5场销售多少台产品？并求出与之间的函数关系式．
（2）产品的每场销售单价（万元）由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价为10万元，第1场～第20场浮动价与销售场次成正比，第21场～第40场浮动价与销售场次成反比，经过统计，得到如表数据：
（场）
3
10
36
（万元）

12
13
①求与之间满足的函数关系式．
②当产品销售单价为万元时，求销售场次是第几场？
③在这40场产品促销会中，哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）；（2）①P=其中为正整数；②当产品销售单价为万元时，销售场次是第18场和第30场；③在这40场产品促销会中，第21场获得的利润最大，最大利润为万元．
【分析】
（1）根据第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台，即可解答；
（2）①根据题意设出相应的函数表达式，然后通过表格中的数据求出表达式中的未知量即可；
②把分别代入两个解析式中即可分别求出是第几场；
③分别表示出利润的相关函数，再在自变量取值范围内研究哪一场获得的利润最大，最大利润是多少．
【详解】
（1）由题意，当时，，与的函数关系式为．
（2）设基本价为，
①第1场～第20场，且为正整数，
设与的函数关系式为，
依题意得，，解得，，
∴．
第21场～第40场，即且为正整数时，
设与的函数关系式为，即．
依题意得，解得，
∴，
综上所述，其中为正整数．
②当时，，
解得；
，解得．
故当产品销售单价为万元时，销售场次是第18场和第30场．
③设每场获得的利润为（万元）．
当且为正整数时，
，
∵在对称轴的左侧，随的增大而增大，
∴当时，最大，最大利润为（万元）．
当且为正整数时，，
∵随的增大而减小，
∴当时，最大，最大利润为（万元），
∵，∴在这40场产品促销会中，第21场获得的利润最大，
最大利润为万元．
【点睛】
本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数，是函数的综合运用，解题的关键是：理解题意，会求出各函数的解析式，在根据函数的图象及性质解答，题目较难．
9．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的顶点为C，其中，与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D．点M坐标为．

（1）当时，抛物线经过原点，求a的值．
（2）当时，
①若点M、点D、点C三点组成的三角形是直角三角形，求此时点D坐标．
②设反比例函数与抛物线相交于点，当时，求m的取值范围．
【答案】（1）；（2）①，②或
【分析】
（1）把和原点代入，直接解方程即可，
（2）①过C点作CN⊥y轴，首先表示出C,D的坐标，再利用相似构造方程解出m即可求出D的坐标，②求出交点，再根据交点的情况确定m取值范围；
【详解】
（1）当时，抛物线
∵经过原点
∴得，
解得：
（2）①过C点作CN⊥y轴，

；
点，点
∴点C在直线上，M(0，4)，
过作轴于
∵△MDC是直角三角形
∴∠MCD=90°
∴∠MCD=∠CND=∠CNM=90°
∴∠CDM=∠MCN
∴△CDN∽△MCN
∴
即，
解得：，
经检验：是原方程的根，且符合题意，
∴此时点D坐标为

②∵，
∴当P=2时，可得
当P=4时，可得
当抛物线经过点时，
，解得
当抛物线经过点时
，解得
当交点在抛物线对称轴左边时，即m＜2时，
可得
又
∴
当交点在抛物线对称轴右边时，即m＞2时，
可得
∴m的取值范围为
或
【点睛】
本题考查了二次函数综合题，涉及函数与方程的关系、相似三角形的判定与性质等，难度较大．
10．（2021·河北·模拟预测）某商家销售某种商品，已知该商品的进货单价由两部分构成：一部分为每件商品的进货固定价16元，另一部分为进货浮动价．据市场调查，该商品的日销售量（件）与销售单价（元）的函数解析式为，而该商品的日销售量（件）与每件的进货浮动价（元）的关系如下表所示．
每件的进货浮动价（元）
0.1
0.125
0.2
0.25
日销售量（件）
100
80
50
40
（1）请你建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映该商品的日销售量与每件的进货浮动价之间的关系；
（2）运用（1）中的函数模型判断，该商品的销售单价定为多少元时，每天销售产品的总利润最大？
【答案】（1）；（2）20元．
【分析】
（1）利用表中该商品每件的进货浮动价与日销售量的积为一个固定常数10，由反比例函数的定义即可得出结论；
（2）设每天销售产品的总利润为元，利用总利润=单个利润×销售数量建立函数关系式，则可由二次函数的性质求得结果．
【详解】
解：（1）根据表中数据，该商品每件的进货浮动价与日销售量的积为一个固定常数10，
∴日销售量和每件的进货浮动价为反比例函数关系．
设．
由题意可得，
即；
（2）设每天销售产品的总利润为元．
由题意可得．
∵，
∴当时，有最大值，
即该商品的销售单价定为20元时，每天销售产品的总利润最大．
【点睛】
本题属于函数综合问题，考查了反比例函数及二次函数的应用，熟练掌握反比例函数的定义及二次函数的性质是解答此题的关键．