中考数学二轮复习专题五 函数应用问题综合题（含答案详解）

这是一份中考数学二轮复习专题五 函数应用问题综合题（含答案详解），共62页。试卷主要包含了一次函数+二次函数应用问题，一次函数+反比例函数应用问题，二次函数+反比例函数应用问题等内容，欢迎下载使用。
专题五 函数实际问题综合题
一、一次函数+二次函数应用问题
例题（2020·湖北随州·中考真题）2020年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格（元/只）和销量（只）与第天的关系如下表：
第天
1
2
3
4
5
销售价格（元/只）
2
3
4
5
6
销量（只）
70
75
80
85
90
物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于1元/只，该药店从第6天起将该型号口罩的价格调整为1元/只．据统计，该药店从第6天起销量（只）与第天的关系为（，且为整数），已知该型号口罩的进货价格为0.5元/只．
（1）直接写出该药店该月前5天的销售价格与和销量与之间的函数关系式；
（2）求该药店该月销售该型号口罩获得的利润（元）与的函数关系式，并判断第几天的利润最大；
（3）物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外的非法所得部分处以倍的罚款，若罚款金额不低于2000元，则的取值范围为______．
【答案】（1），且x为整数，，且x为整数；（2），第5天时利润最大；（3）．
【解析】
【分析】
（1）根据表格数据，p是x的一次函数，q是x的一次函数，分别求出解析式即可；
（2）根据题意，求出利润w与x的关系式，再结合二次函数的性质，即可求出利润的最大值．
（3）先求出前5天多赚的利润，然后列出不等式，即可求出m的取值范围．
【详解】
（1）观察表格发现p是x的一次函数，q是x的一次函数，
设p=k1x+b1，
将x=1，p=2；x=2，p=3分别代入得：，
解得：，
所以，
经验证p=x+1符合题意，
所以，且x为整数；
设q=k2x+b2，
将x=1，q=70；x=2，q=75分别代入得：，
解得：，
所以，
经验证符合题意，
所以，且x为整数；
（2）当且x为整数时，

；
当且x为整数时，
；
即有；
当且x为整数时，售价，销量均随x的增大而增大，
故当时，（元）
当且x为整数时，
故当时，（元）；
由，可知第5天时利润最大．
（3）根据题意，
前5天的销售数量为：（只），
∴前5天多赚的利润为：
（元），
∴，
∴；
∴的取值范围为．
【点睛】
此题考查二次函数的性质及其应用，一次函数的应用，不等式的应用，也考查了二次函数的基本性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．
练习题
1．（2021·山东青岛·中考真题）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽路空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度（米）与小钢球运动时间（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度（米）与它的运动时间（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．

（1）直接写出与之间的函数关系式；
（2）求出与之间的函数关系式；
（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？
【答案】（1）；（2）；（3）70米
【解析】
【分析】
（1）先设出一次函数的解析式，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）用待定系数法求函数解析式即可；
（3）当1＜x≤6时小钢球在无人机上方，因此求y2-y1，当6＜x≤8时，无人机在小钢球的上方，因此求y1-y2，然后进行比较判断即可．
【详解】
解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1=kx+b'，
∵函数图象过点（0，30）和（1，35），
则，
解得，
∴y1与x之间的函数关系式为．
（2）∵时，，
∵的图象是过原点的抛物线，
∴设，
∴点，在抛物线上．
∴，即，
解得，
∴．
答：与的函数关系式为．
（3）设小钢球和无人机的高度差为米，
由得或.
①时，



，
∵，∴抛物线开口向下，
又∵，
∴当时，的最大值为；
②时，



，
∵，∴拋物线开口向上，
又∵对称轴是直线，
∴当时，随的增大而增大，
∵，
∴当时，的最大值为70．
∵，
∴高度差的最大值为70米．
答：高度差的最大值为70米．
【点睛】
本题考查了二次函数以及一次函数的应用，关键是根据根据实际情况判断无人机和小钢球的高度差．
2．（2021·辽宁盘锦·中考真题）某工厂生产并销售A，B两种型号车床共14台，生产并销售1台A型车床可以获利10万元；如果生产并销售不超过4台B型车床，则每台B型车床可以获利17万元，如果超出4台B型车床，则每超出1台，每台B型车床获利将均减少1万元．设生产并销售B型车床台．
（1）当时，完成以下两个问题：
①请补全下面的表格：

A型
B型
车床数量/台
________

每台车床获利/万元
10
________
②若生产并销售B型车床比生产并销售A型车床获得的利润多70万元，问：生产并销售B型车床多少台？
（2）当0＜≤14时，设生产并销售A，B两种型号车床获得的总利润为W万元，如何分配生产并销售A，B两种车床的数量，使获得的总利润W最大？并求出最大利润．
【答案】（1）①，；②10台；（2）分配产销A型车床9台、B型车床5台；或产销A型车床8台、B型车床6台，此时可获得总利润最大值170万元
【解析】
【分析】
（1）①由题意可知，生产并销售B型车床x台时，生产A型车床（14-x）台，当时，每台就要比17万元少（）万元，所以每台获利，也就是（）万元；
②根据题意可得根据题意：然后解方程即可；
（2）当0≤≤4时，W＝＋＝，当4＜≤14时，
W＝，分别求出两个范围内的最大值即可得到答案.
【详解】
解：（1）当时，每台就要比17万元少（）万元
所以每台获利，也就是（）万元
①补全表格如下面：

A型
B型
车床数量/台


每台车床获利/万元
10

②此时，由A型获得的利润是10（）万元，
由B型可获得利润为万元，
根据题意：， ，
，∵0≤≤14， ∴，
即应产销B型车床10台；
（2）当0≤≤4时，
当0≤≤4
A型
B型
车床数量/台


每台车床获利/万元
10
17
利润


此时，W＝＋＝，
该函数值随着的增大而增大，当取最大值4时，W最大1＝168（万元）；
当4＜≤14时，
当4＜≤14
A型
B型
车床数量/台


每台车床获利/万元
10

利润


则W＝＋＝＝，
当或时（均满足条件4＜≤14），W达最大值W最大2＝170（万元），
∵W最大2＞ W最大1，
∴应分配产销A型车床9台、B型车床5台；或产销A型车床8台、B型车床6台，此时可获得总利润最大值170万元．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一次函数和二次函数的实际应用，解题的关键在于能够根据题意列出合适的方程或函数关系式求解.
3．（2021·辽宁锦州·中考真题）某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为6.2万元/t，加工过程中原料的质量有20%的损耗，加工费m（万元）与原料的质量x（t）之间的关系为m＝50＋0.2x，销售价y（万元/t）与原料的质量x（t）之间的关系如图所示．

（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设销售收入为P（万元），求P与x之间的函数关系式；
（3）原料的质量x为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？（销售利润＝销售收入﹣总支出）．
【答案】（1）；（2）；（3）原料的质量为24吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是万元
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求函数关系式；
（2）根据销售收入＝销售价×销售量列出函数关系式；
（3）设销售总利润为W，根据销售利润＝销售收入﹣原料成本﹣加工费列出函数关系式，然后根据二次函数的性质分析其最值．
【详解】
解：（1）设y与x之间的函数关系式为，
将（20，15），（30，12.5）代入，
可得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）设销售收入为P（万元），
∴，
∴P与x之间的函数关系式为；
（3）设销售总利润为W，
∴，
整理，可得：，
∵﹣＜0，
∴当时，W有最大值为，
∴原料的质量为24吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是万元．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，涉及了数形结合的数学思想，熟练掌握待定系数法求解析式是解决本题的关键．
4．（2021·湖北荆门·中考真题）某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，下表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应值数据．
x
40
70
90
y
180
90
30
W
3600
4500
2100
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若该商品进价a（元/件），售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；
（3）因疫情期间，该商品进价提高了m（元/件）（），公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过55（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是4050元，求m的值．
【答案】（1）；（2）售价60元时，周销售利润最大为4800元；（3）
【解析】
【分析】
（1）①依题意设y=kx+b，解方程组即可得到结论；
（2）根据题意得，再由表格数据求出，得到，根据二次函数的顶点式，求出最值即可；
（3）根据题意得，由于对称轴是直线，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】
解：（1）设，由题意有
，解得，
所以y关于x的函数解析式为；
（2）由（1），又由表可得：
，，
．
所以售价时，周销售利润W最大，最大利润为4800；
（3）由题意，
其对称轴，时上述函数单调递增，
所以只有时周销售利润最大，．
．
【点睛】
本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．
5．（2021·辽宁营口·中考真题）某商家正在热销一种商品，其成本为30元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为60元/件时，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销售量y（件）与售价x（元/件）满足如图所示的函数关系，（其中，且x为整数）

（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）；（2）当售价为70元时，商家所获利润最大，最大利润是4500元
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法分段求解函数解析式即可；
（2）分别求出当时与当时的销售利润解析式，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】
解：（1）当时，设，
将和代入，可得
，解得，即；
当时，设，
将和代入，可得
，解得，即；
∴；
（2）当时，
销售利润，
当时，销售利润有最大值，为4000元；
当时，
销售利润，
该二次函数开口向上，对称轴为，当时位于对称轴右侧，
当时，销售利润有最大值，为4500元；
∵，
∴当售价为70元时，商家所获利润最大，最大利润是4500元．
【点睛】
本题考查一次函数的应用、二次函数的性质，根据图象列出解析式是解题的关键．
6．（2021·湖南郴州·中考真题）某商店从厂家以每件2元的价格购进一批商品，在市场试销中发现，此商品的月销售量（单位：万件）与销售单价（单位：元）之间有如下表所示关系：

…
4.0
5.0
5.5
6.5
7.5
…

…
8.0
6.0
5.0
3.0
1.0
…


（1）根据表中的数据，在图中描出实数对所对应的点，并画出关于的函数图象；
（2）根据画出的函数图象，求出关于的函数表达式；
（3）设经营此商品的月销售利润为（单位：万元）．
①写出关于的函数表达式；
②该商店计划从这批商品获得的月销售利润为10万元（不计其它成本），若物价局限定商品的销售单价不得超过进价的200%，则此时的销售单价应定为多少元？
【答案】（1）图象见详解；（2）；（3）①；②销售单价应定为3元．
【解析】
【分析】
（1）由题意可直接进行作图；
（2）由图象可得y与x满足一次函数的关系，所以设其关系式为，然后任意代入表格中的两组数据进行求解即可；
（3）①由题意易得，然后由（2）可进行求解；②由①及题意可得，然后求解，进而根据销售单价不得超过进价的200％可求解．
【详解】
解：（1）y关于x的函数图象如图所示：

（2）由（1）可设y与x的函数关系式为，则由表格可把代入得：
，解得：，
∴y与x的函数关系式为；
（3）①由（2）及题意可得：
；
∴关于的函数表达式为；
②由题意得：，即，
∴，
解得：，
∴；
答：此时的销售单价应定为3元．
【点睛】
本题主要考查二次函数与一次函数的应用，熟练掌握二次函数与一次函数的应用是解题的关键．
7．（2021·四川南充·中考真题）超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2元/千克，同样数量的苹果只用200元．
（1）求苹果的进价．
（2）如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，超过部分购进价格减少2元/千克．写出购进苹果的支出y（元）与购进数量x（千克）之间的函数关系式．
（3）超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完．据统计，销售单价z（元/千克）与一天销售数量x（千克）的关系为．在（2）的条件下，要使超市销售苹果利润w（元）最大，求一天购进苹果数量．（利润＝销售收入购进支出）
【答案】（1）苹果的进价为10元/千克；（2）；（3）要使超市销售苹果利润w最大，一天购进苹果数量为200千克．
【解析】
【分析】
（1）设苹果的进价为x元/千克，根据等量关系，列出分式方程，即可求解；
（2）分两种情况：当x≤100时， 当x＞100时，分别列出函数解析式，即可；
（3）分两种情况：若x≤100时，若x＞100时，分别求出w关于x的函数解析式，根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】
解：（1）设苹果的进价为x元/千克，
由题意得：，解得：x=10，
经检验：x=10是方程的解，且符合题意，
答：苹果的进价为10元/千克；
（2）当x≤100时，y=10x，
当x＞100时，y=10×100+（10-2）×（x-100）=8x+200，
∴；
（3）若x≤100时，w=zx-y==，
∴当x=100时，w最大=100，
若x＞100时，w=zx-y==，
∴当x=200时，w最大=200，
综上所述：当x=200时，超市销售苹果利润w最大，
答：要使超市销售苹果利润w最大，一天购进苹果数量为200千克．
【点睛】
本题主要考查分式方程、一次函数、二次函数的实际应用，根据数量关系，列出函数解析式和分式方程，是解题的关键．
8．（2021·湖北十堰·中考真题）某商贸公司购进某种商品的成本为20元/，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y（元/）与时间x（天）之间的函数关系式为：且x为整数，且日销量与时间x（天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表：
时间x（天）
1
3
6
10
…
日销量
142
138
132
124
…
填空：
（1）m与x的函数关系为___________；
（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售商品就捐赠n元利润（）给当地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，求n的取值范围．
【答案】（1）；（2）第16天销售利润最大，最大为1568元；（3）1.75＜n＜4
【解析】
【分析】
（1）设，将，代入，利用待定系数法即可求解；
（2）分别写出当时与当时的销售利润表达式，利用二次函数和一次函数的性质即可求解；
（3）写出在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润表达式，根据二次函数的性质可得对称轴，求解即可．
【详解】
解：（1）设，将，代入可得：
，解得，
∴；
（2）当时，
销售利润，
当时，销售利润最大为1568元；
当时，
销售利润，
当时，销售利润最大为1530元；
综上所述，第16天销售利润最大，最大为1568元；
（3）在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润为：
，
对称轴为直线x═16+2n，
∵在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，且x只能取整数，故只要第20天的利润高于第19天，
即对称轴要大于19.5
∴16+2n＞19.5，
求得n＞1.75，又∵n＜4，
∴n的取值范围是：1.75＜n＜4，
答：n的取值范围是1.75＜n＜4．
【点睛】
本题考查二次函数与一次函数的实际应用，掌握二次函数与一次函数的性质是解题的关键．
9．（2021·江苏扬州·中考真题）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：
甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．
乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．
说明：①汽车数量为整数；
②月利润=月租车费-月维护费；
③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润．
在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：
（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是_______元；当每个公司租出的汽车为_______辆时，两公司的月利润相等；
（2）求两公司月利润差的最大值；
（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值范围．
【答案】（1）48000，37；（2）33150元；（3）
【解析】
【分析】
（1）用甲公司未租出的汽车数量算出每辆车的租金，再乘以10，减去维护费用可得甲公司的月利润；设每个公司租出的汽车为x辆，根据月利润相等得到方程，解之即可得到结果；
（2）设两公司的月利润分别为y甲，y乙，月利润差为y，同（1）可得y甲和y乙的表达式，再分甲公司的利润大于乙公司和甲公司的利润小于乙公司两种情况，列出y关于x的表达式，根据二次函数的性质，结合x的范围求出最值，再比较即可；
（3）根据题意得到利润差为，得到对称轴，再根据两公司租出的汽车均为17辆，结合x为整数可得关于a的不等式，即可求出a的范围．
【详解】
解：（1）=48000元，
当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元；
设每个公司租出的汽车为x辆，
由题意可得：，
解得：x=37或x=-1（舍），
∴当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等；
（2）设两公司的月利润分别为y甲，y乙，月利润差为y，
则y甲=，
y乙=，
当甲公司的利润大于乙公司时，0＜x＜37，
y=y甲-y乙=
=，
当x==18时，利润差最大，且为18050元；
当乙公司的利润大于甲公司时，37＜x≤50，
y=y乙-y甲=
=，
∵对称轴为直线x==18，
当x=50时，利润差最大，且为33150元；
综上：两公司月利润差的最大值为33150元；
（3）∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，
则利润差为=，
对称轴为直线x=，
∵x只能取整数，且当两公司租出的汽车均为17辆时，月利润之差最大，
∴，
解得：．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，二次函数的图像和性质，解题时要读懂题意，列出二次函数关系式，尤其（3）中要根据x为整数得到a的不等式．
10．（2018·湖北荆门·中考真题）随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购了10000kg小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的成本相同，放养10天的总成本为166000，放养30天的总成本为178000元．设这批小龙虾放养t天后的质量为akg，销售单价为y元/kg，根据往年的行情预测，a与t的函数关系为a= ，y与t的函数关系如图所示．
（1）设每天的养殖成本为m元，收购成本为n元，求m与n的值；
（2）求y与t的函数关系式；
（3）如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？
（总成本=放养总费用+收购成本；利润=销售总额﹣总成本）

【答案】（1）m=600，n=160000；（2）；（3）该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养25天后一次性出售所得利润最大，最大利润是108500元.
【解析】
【详解】
【分析】（1）根据题意列出方程组，求出方程组的解得到m与n的值即可；
（2）根据图象，分类讨论利用待定系数法求出y与P的解析式即可；
（3）根据W=ya﹣mt﹣n，表示出W与t的函数解析式，利用一次函数与二次函数的性质求出所求即可．
【详解】（1）依题意得 ，
解得：；
（2）当0≤t≤20时，设y=k1t+b1，
由图象得：，
解得：
∴y=t+16；
当20＜t≤50时，设y=k2t+b2，
由图象得：，
解得：，
∴y=﹣t+32，
综上，；
（3）W=ya﹣mt﹣n，
当0≤t≤20时，W=10000（t+16）﹣600t﹣160000=5400t，
∵5400＞0，
∴当t=20时，W最大=5400×20=108000，
当20＜t≤50时，W=（﹣t+32）（100t+8000）﹣600t﹣160000=﹣20t2+1000t+96000=﹣20（t﹣25）2+108500，
∵﹣20＜0，抛物线开口向下，
∴当t=25，W最大=108500，
∵108500＞108000，
∴当t=25时，W取得最大值，该最大值为108500元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，具体考查了待定系数法确定函数解析式，利用二次函数的性质确定最值，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
二、一次函数+反比例函数应用问题
例题（2021·广东深圳·中考真题）探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、倍、k倍．
（1）若该矩形为正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都为边长为2的正方形的2倍？_______（填“存在”或“不存在”）．
（2）继续探究，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为长为3，宽为2的矩形的2倍？
同学们有以下思路：
设新矩形长和宽为x、y，则依题意，，联立得，再探究根的情况：根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，使其周长和面积都为原矩形的倍；如图也可用反比例函数与一次函数证明：，：，那么，

①是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？_______．
②请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的，若存在，用图像表达；
③请直接写出当结论成立时k的取值范围：．
【答案】（1）不存在；（2）①存在；②不存在，见解析；③
【解析】
【分析】
（1）直接求出边长为2的正方形周长与面积，再求出周长扩大2倍即边长扩大2倍时正方形的面积，比较是否也为2倍即可；
（2）①依题意根据一元二次方程根的情况判断即可；②设新矩形长和宽为x、y，则依题意，，联立，求出关于x、y的一元二次方程，判断根的情况；③设新矩形长和宽为x和y，则由题意，，同样列出一元二次方程，利用根的判别式进行求解即可．
【详解】
（1）边长为2的正方形，周长为8，面积为4；当周长为其2倍时，边长即为4，面积为16，即为原来的4倍，故不存在；
（2）①存在；
∵的判别式，方程有两组正数解，故存在；
从图像来看，：，：在第一象限有两个交点，故存在；
②设新矩形长和宽为x、y，则依题意，，联立得，
因为，此方程无解，故这样的新矩形不存在；
从图像来看，：，：在第一象限无交点，故不存在；

③；
设新矩形长和宽为x和y，则由题意，，
联立得，，故．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，根的判别式．需要认真阅读理解题意，根据题干过程模仿解题．
练习题
1．（2021·浙江台州·中考真题）电子体重科读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1， R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km＋b（其中k，b为常数，0≤m≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0 ，该读数可以换算为人的质量m，
温馨提示：
①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I＝；
②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．

（1）求k，b的值；
（2）求R1关于U0的函数解析式；
（3）用含U0的代数式表示m；
（4）若电压表量程为0~6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量．
【答案】（1）；（2）；I（3）；（4）该电子体重秤可称的最大质量为115千克．
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法，即可求解；
（2）根据“串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压”，列出等式，进而即可求解；
（3）由R1＝m＋240，，即可得到答案；
（4）把时，代入，进而即可得到答案．
【详解】
解：（1）把（0，240），（120，0）代入R1＝km＋b，得，解得：；
（2）∵，
∴；
（3）由（1）可知：，
∴R1＝m＋240，
又∵，
∴=m＋240，即：；
（4）∵电压表量程为0~6伏，
∴当时，
答：该电子体重秤可称的最大质量为115千克．
【点睛】
本题主要考查一次函数与反比例函数的实际应用，熟练掌握待定系数法，是解题的关键．
2．（2021·安徽·中考真题）已知正比例函数与反比例函数的图象都经过点A（m，2）．
（1）求k，m的值；
（2）在图中画出正比例函数的图象，并根据图象，写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围．

【答案】（1）的值分别是和3；（2）或
【解析】
【分析】
（1）把点A（m，2）代入求得m的值，从而得点A的坐标，再代入求得k值即可；
（2）在坐标系中画出的图象，根据正比例函数的图象与反比例函数图象的两个交点坐标关于原点对称，求得另一个交点的坐标，观察图象即可解答．
【详解】
（1）将代入得，     
，        
，
将代入得，       
，     
的值分别是和3．
（2）正比例函数的图象如图所示，


∵正比例函数与反比例函数的图象都经过点A（3，2），
∴正比例函数与反比例函数的图象的另一个交点坐标为（-3，-2），
由图可知：正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围为或．
【点睛】
本题是正比例函数与反比例函数的综合题，利用数形结合思想是解决问题的关键．
3．（2020·广西柳州·中考真题）如图，平行于y轴的直尺（部分）与反比例函数（x＞0）的图象交于A、C两点，与x轴交于B、D两点，连接AC，点A、B对应直尺上的刻度分别为5、2，直尺的宽度BD＝2，OB＝2．设直线AC的解析式为y＝kx+b．
（1）请结合图象，直接写出：
①点A的坐标是　 　；
②不等式的解集是　 　；
（2）求直线AC的解析式．

【答案】（1）①（2，3）；②2＜x＜4；（2）．
【解析】
【分析】
（1）①根据点A、B对应直尺上的刻度分别为5、2，OB＝2．即可求得A的坐标；②根据题意C的横坐标为4，根据图象即可求得不等式的解集；
（2）根据待定系数法求得反比例函数的解析式，进而求得C的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AC的解析式．
【详解】
解：（1）①∵直尺平行于y轴，A、B对应直尺的刻度为5、2，且OB＝2，
∴A（2，3）；
②∵直尺的宽度BD＝2，OB＝2，
∴C的横坐标为4，
∴不等式的解集是2＜x＜4，
故答案为（2，3）；2＜x＜4；
（2）∵A在反比例函数图象上，
∴m＝2×3＝6，
∴反比例解析式为，
∵C点在反比例函数图象上，
∴yc＝，
∴C（4，），
将A、C代入y＝kx+b有解得，
∴直线AC解析式：．
【点睛】
本题考查待定系数法求解析式、利用函数解不等式，掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
4．（2020·云南昆明·中考真题）为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，她完成3间办公室和2间教室的药物喷洒要19min；完成2间办公室和1间教室的药物喷洒要11min．
（1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多少时间？
（2）消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时y与x的函数关系式为y＝2x，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A（m，n）．当教室空气中的药物浓度不高于1mg/m3时，对人体健康无危害，校医依次对一班至十一班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当她把最后一间教室药物喷洒完成后，一班学生能否进入教室？请通过计算说明．

【答案】（1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要3min和5min；（2）一班学生能安全进入教室，计算说明过程见解析．
【解析】
【分析】
（1）设校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要和，再根据题干信息建立二元一次方程组，然后解方程组即可得；
（2）先求出完成11间教室的药物喷洒所需时间，再根据一次函数的解析式求出点A的坐标，然后利用待定系数法求出反比例函数的解析式，最后根据反比例函数的解析式求出时，y的值，与1进行比较即可得．
【详解】
（1）设校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要和
则
解得
答：校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要和；
（2）一间教室的药物喷洒时间为，则11个房间需要
当时，
则点A的坐标为
设反比例函数表达式为
将点代入得：，解得
则反比例函数表达式为
当时，
故一班学生能安全进入教室．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用、反比例函数与一次函数的综合等知识点，较难的是题（2），依据题意，正确求出反比例函数的解析式是解题关键．
5．（2020·湖北荆州·中考真题）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图像和性质后，进一步研究了函数的图像与性质，其探究过程如下：
（1）绘制函数图像，如图1
①列表；下表是x与y的几组对应值，其中；

②描点：根据表中各组对应值(x，y)在平面直角坐标系中描出了各点；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图像，请你把图像补充完整；
（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质：①_______________；②_______________；
（3）①观察发现：如图2，若直线y=2交函数的图像于A，B两点，连接OA，过点B作BC//OA交x轴于点C，则；
②探究思考：将①的直线y=2改为直线y=a(a>0)，其他条件不变，则；
③类比猜想：若直线y=a(a>0)交函数的图像于A，B两点，连接OA，过点B作BC//OA交x轴于C，则；

【答案】（1）①1，②见解析，③见解析；（2）①函数的图象关于轴对称，②当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；（3）①4，②4，③2k
【解析】
【分析】
（1）根据表格中的数据的变化规律得出当时，，而当时，，求出的值；补全图象；
（2）根据（1）中的图象，得出两条图象的性质；
（3）由图象的对称性，和四边形的面积与的关系，得出答案．
【详解】
解：（1）当时，，而当时，，
，
故答案为：1；补全图象如图所示：

（2）根据（1）中的图象可得：①函数的图象关于轴对称，②当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；
（3）如图，

①由，两点关于轴对称，由题意可得四边形是平行四边形，且，
②同①可知：，
③，
故答案为：4，4，．
【点睛】
本题考查反比例的图象和性质，列表、描点、连线是作函数图象的基本方法，利用图象得出性质和结论是解决问题的根本目的．
6．（2020·湖南郴州·中考真题）为了探索函数的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．
列表：






















描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：

（1）如图，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；
（2）已知点在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：
若，则 ；
若，则 ；
若，则 （填“>”，“=”，“0）满足模拟，理由见解析；（3）满足，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据m=xy是否为定值即可判断和说明理由；
（2）通过点的变化可知不是一次函数，由（1）可知不是反比例，则可判断选用二次函数模拟最合理；
（3）利用已知点坐标用待定系数法求出解析式，然后计算出2021年即第6年度的纯收入y，然后比较结果即可．
【详解】
解：（1）不能选用函数（m＞0）进行模拟，理由如下：
∵1×1.5=1.5，2×2.5=5，…
∴1.5≠5
∴不能选用函数（m＞0）进行模拟；
（2）选用y=ax2-0.5x+c（a>0），理由如下：
由（1）可知不能选用函数（m＞0），由（1，1.5），（2，2.5），（3，4.5），（4，7.5），（5，11.3）可知x每增大1个单位，y的变化不均匀，则不能选用函数y=x+b（k>0），
故只能选用函数y=ax2-0.5x+c（a>0）进行模拟；
（3）由点（1，1.5），（2，2.5）在y=ax2-0.5x+c（a>0）上
则 ，解得：
∴y=0.5x2-0.5x+1.5
当x=6时，y=0.5×36-0.5×6+1.5=16.5，
∵16.5 > 16，
∴甲农户2021年度的纯收入满足购买农机设备的资金需求．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象特征、反比例函数的图象特征、待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的函数值等知识点，根据图象特征、正确判断函数的种类成为解答本题的关键．
8．（2021·浙江·九年级期末）某公司为了宣传一种新产品，在某地先后举行40场产品促销会，已知该产品每台成本为10万元，设第场产品的销售量为（台），第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台．
（1）第5场销售多少台产品？并求出与之间的函数关系式．
（2）产品的每场销售单价（万元）由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价为10万元，第1场～第20场浮动价与销售场次成正比，第21场～第40场浮动价与销售场次成反比，经过统计，得到如表数据：
（场）
3
10
36
（万元）

12
13
①求与之间满足的函数关系式．
②当产品销售单价为万元时，求销售场次是第几场？
③在这40场产品促销会中，哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）；（2）①P=其中为正整数；②当产品销售单价为万元时，销售场次是第18场和第30场；③在这40场产品促销会中，第21场获得的利润最大，最大利润为万元．
【解析】
【分析】
（1）根据第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台，即可解答；
（2）①根据题意设出相应的函数表达式，然后通过表格中的数据求出表达式中的未知量即可；
②把分别代入两个解析式中即可分别求出是第几场；
③分别表示出利润的相关函数，再在自变量取值范围内研究哪一场获得的利润最大，最大利润是多少．
【详解】
（1）由题意，当时，，与的函数关系式为．
（2）设基本价为，
①第1场～第20场，且为正整数，
设与的函数关系式为，
依题意得，，解得，，
∴．
第21场～第40场，即且为正整数时，
设与的函数关系式为，即．
依题意得，解得，
∴，
综上所述，其中为正整数．
②当时，，
解得；
，解得．
故当产品销售单价为万元时，销售场次是第18场和第30场．
③设每场获得的利润为（万元）．
当且为正整数时，
，
∵在对称轴的左侧，随的增大而增大，
∴当时，最大，最大利润为（万元）．
当且为正整数时，，
∵随的增大而减小，
∴当时，最大，最大利润为（万元），
∵，∴在这40场产品促销会中，第21场获得的利润最大，
最大利润为万元．
【点睛】
本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数，是函数的综合运用，解题的关键是：理解题意，会求出各函数的解析式，在根据函数的图象及性质解答，题目较难．
9．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的顶点为C，其中，与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D．点M坐标为．

（1）当时，抛物线经过原点，求a的值．
（2）当时，
①若点M、点D、点C三点组成的三角形是直角三角形，求此时点D坐标．
②设反比例函数与抛物线相交于点，当时，求m的取值范围．
【答案】（1）；（2）①，②或
【解析】
【分析】
（1）把和原点代入，直接解方程即可，
（2）①过C点作CN⊥y轴，首先表示出C,D的坐标，再利用相似构造方程解出m即可求出D的坐标，②求出交点，再根据交点的情况确定m取值范围；
【详解】
（1）当时，抛物线
∵经过原点
∴得，
解得：
（2）①过C点作CN⊥y轴，

；
点，点
∴点C在直线上，M(0，4)，
过作轴于
∵△MDC是直角三角形
∴∠MCD=90°
∴∠MCD=∠CND=∠CNM=90°
∴∠CDM=∠MCN
∴△CDN∽△MCN
∴
即，
解得：，
经检验：是原方程的根，且符合题意，
∴此时点D坐标为

②∵，
∴当P=2时，可得
当P=4时，可得
当抛物线经过点时，
，解得
当抛物线经过点时
，解得
当交点在抛物线对称轴左边时，即m＜2时，
可得
又
∴
当交点在抛物线对称轴右边时，即m＞2时，
可得
∴m的取值范围为
或
【点睛】
本题考查了二次函数综合题，涉及函数与方程的关系、相似三角形的判定与性质等，难度较大．
10．（2021·河北·模拟预测）某商家销售某种商品，已知该商品的进货单价由两部分构成：一部分为每件商品的进货固定价16元，另一部分为进货浮动价．据市场调查，该商品的日销售量（件）与销售单价（元）的函数解析式为，而该商品的日销售量（件）与每件的进货浮动价（元）的关系如下表所示．
每件的进货浮动价（元）
0.1
0.125
0.2
0.25
日销售量（件）
100
80
50
40
（1）请你建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映该商品的日销售量与每件的进货浮动价之间的关系；
（2）运用（1）中的函数模型判断，该商品的销售单价定为多少元时，每天销售产品的总利润最大？
【答案】（1）；（2）20元．
【解析】
【分析】
（1）利用表中该商品每件的进货浮动价与日销售量的积为一个固定常数10，由反比例函数的定义即可得出结论；
（2）设每天销售产品的总利润为元，利用总利润=单个利润×销售数量建立函数关系式，则可由二次函数的性质求得结果．
【详解】
解：（1）根据表中数据，该商品每件的进货浮动价与日销售量的积为一个固定常数10，
∴日销售量和每件的进货浮动价为反比例函数关系．
设．
由题意可得，
即；
（2）设每天销售产品的总利润为元．
由题意可得．
∵，
∴当时，有最大值，
即该商品的销售单价定为20元时，每天销售产品的总利润最大．
【点睛】
本题属于函数综合问题，考查了反比例函数及二次函数的应用，熟练掌握反比例函数的定义及二次函数的性质是解答此题的关键．