北京课改版九年级下册23.3 轴对称变换测试题

2023年中考数学专题训练——轴对称变换附答案

一、单选题

1．下列图形中，是轴对称图形的有（　　） 

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

2．下列图形中，不属于轴对称图形的是（　　）  

A． B． C． D．

3．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） 

A． B．

C． D．

4．如图，在 中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4， 面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　） 

A． B．3 C．4 D．5

5．如图， 中， ，D为 边上一点，将 沿着 折叠，点B恰好落在 边上的点E处，若 ，则 的大小为（　　） 

A． B． C． D．

6．如图，Rt△ABC中，AB＝3，BC＝2，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（　　） 

A． B． C． D．

7．如图，直线AB，CD交于点O，若AB，CD是等边△MNP的两条对称轴，且点P在直线CD上（不与点O重合），则点M，N中必有一个在（　　） 

A．∠AOD的内部 B．∠BOD的内部 C．∠BOC的内部 D．直线AB上

8．如图，在中，，点D在AB上，将沿CD折叠，点B落在边AC的点E处．若，则的度数为（　　）

A．24° B．32° C．38° D．48°

9．如图，点 是矩形 的中心， 是 上的点，沿 折叠后，点 恰好与点 重合，若 ，则折痕 的长为（　　） 

A． B． C． D．

10．如图，在平行四边形 中， ， ， 点 在 边上，将 沿着直线 翻折得 连结 ，若点 恰好落在 的平分线上，则 ， 两点间的距离为（　　） 

A．3或6 B．3或  C． D．6

二、填空题

11．将图中的折叠，使点与点重合，折痕为，点，分别在，上，得到图形若，，则的周长是　     　．

12．把二次函数y＝mx2＋n的图象向下平移2个单位长度，再关于x轴对称的抛物线解析式y＝2x2＋4，则m﹣n＝　     　．

13．如图，等腰△ABC中，AB=AC，P为其底角平分线的交点，将△BCP沿CP折叠，使B点恰好落在AC边上的点D处，若DA=DP，则∠A的度数为　     　．

14．有三张大小、形状及背面完全相同的卡片，卡片正面分别画有正三角形、正方形、圆，从这三张卡片中任意抽取一张，卡片正面的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是　     　.  

15．如图，将一矩形纸片折叠，使两个顶点，重合，折痕为若，，则的长为　     　．

16．如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，DC′与AB交于点A′，连接AC′，若AD＝AC′＝4，BD＝6，则点D到BC的距离为　     　.

三、作图题

17．尺规作图(只保留作图痕迹，不要求写出作法及证明过程)：如图，已知 ，点 在 内部，请在射线 上确定点 ，在射线 上确定点N，使 的周长最小. 

18．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，C的坐标分别为，，．

（1）在图中画出关于y轴的对称图形，其中A，B，C的对应点分别为，，，并直接写出的坐标；

（2）在图中画出以CA为腰的等腰三角形CAD，点D在y轴左侧的小正方形的顶点上，且的面积为6．

四、解答题

19．把一张圆形纸片按如图方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，且折痕，求的半径．

20．如图，边长为1的正方形 中，点E为 的中点．连接 ，将 沿 折叠得到 交 于点G，求 的长． 

答案解析部分

1．【答案】C

【解析】【解答】解：第一个，是轴对称图形；

第二个，不是轴对称图形；

第三个，是轴对称图形；

第四个，不是轴对称图形；

故有两个满足，

故答案为：C．

【分析】根据轴对称图形的概念即可得解。

2．【答案】A

【解析】【解答】A.是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；

B.是轴对称图形，不符合题意；

C.是轴对称图形，符合题意；

D.是轴对称图形，符合题意.

故答案为：A

【分析】根据轴对称的定义依次判断即可得到答案.

3．【答案】B

【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．

故答案为：B．

 【分析】 在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形 。 在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。 根据轴对称图形和中心对称图形的定义求解即可。

4．【答案】D

【解析】【解答】解：由作法得EF垂直平分AB，

∴MB＝MA，

∴BM+MD＝MA+MD，

连接MA、DA，如图，

∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），

∴MA+MD的最小值为AD，

∵AB＝AC，D点为BC的中点，

∴AD⊥BC，

∵

∴

∴BM+MD长度的最小值为5．

故答案为：D．

【分析】连接AD交EF于点M，此时，BM+MD的值最小，即AD的长。

5．【答案】B

【解析】【解答】解：∵ ， ，

∴∠ACB=70°，

∵ 沿着 折叠，点B恰好落在 边上的点E处，

∴∠DEC=70°，

∵四边形DBCE的内角和为360°，

∴∠BDE=150°，

∴ =30°，

故答案为：B．

【分析】根据等腰三角形的性质得出∠ACB=∠B=70°，由折叠的性质得出∠DEC=70°，利用四边形的内角和等于360°，求出∠BDE=150°，利用∠ADE=180°-∠BDE计算即得结论.

6．【答案】B

【解析】【解答】设NB＝x，则AN＝3﹣x．

由翻折的性质可知：ND＝AN＝3﹣x．

∵点D是BC的中点，

∴BD＝ BC＝1．

在Rt△NBD中，由勾股定理可知：ND2＝NB2+DB2，

即（3﹣x）2＝x2+12，

∴x＝ ，

∴BN＝ ，

故答案为：B．

【分析】设NB＝x，则AN＝3﹣x．

由翻折的性质可知：ND＝AN＝3﹣x．再在Rt△NBD中，由勾股定理列方程求解即可。

7．【答案】D

【解析】【解答】解：如图，

∵△PMN是等边三角形，等边三角形的对称轴一定经过三角形的顶点，

又∵直线CD，AB是△PMN的对称轴，直线CD经过点P，

∴直线AB一定经过点M或N.

故答案为：D.

【分析】将一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的几何图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴，根据等边三角形是轴对称图形，而且三条边上的中线所在的直线是对称轴，从而即可得出答案.

8．【答案】C

【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝80°，

∴∠B＝180°−∠A−∠ACB，

＝100°−∠A，

∵将△BCD沿CD折叠，点B落在边AC的点E处，

∴∠CED＝∠B＝100°−∠A，

∵∠CED是△ADE的一个外角，∠ADE＝24°，

∴∠CED＝∠A＋∠ADE，

100°−∠A＝∠A＋24°，

解得：∠A＝38°．

故答案为：C．

【分析】根据三角形内角和定理求出∠B＝100°−∠A，根据折叠的性质得出∠CED＝∠B，然后根据三角形外角的性质得出∠CED＝∠A＋∠ADE，再个前式联立得出一个关于∠A的一元一次方程求解，即可解答.

9．【答案】A

【解析】【解答】解：由题意可知： ， ，

在 中，

设 ，则 ，

在 中， ，即

解得 ，即

在 中，

故答案为：A．

【分析】由 折叠的性质可得 ， ， ，利用勾股定理得出AB的值，设 ，则 ， ，再利用勾股定理列出方程求解即可。

10．【答案】A

【解析】【解答】解：由翻折可得， ，

四边形ABCD为平行四边形， ， ，

， ，

平分 ，

，

当点A'在平行四边形ABCD内部时，过点A' 作 于点M ，

设 ，

在 中， ，

， ，

在 中，由勾股定理可得，

，

即 ，

解得 或 舍去 ，

；

当点A' 在平行四边形ABCD外部时，过点D 作 于点N ，

在 中， ， ，

，

，

， ，

在 中，

，

.

综上所述， 或6.

故答案为：A.

【分析】由翻折可得AD=AD′=3，根据平行四边形的性质可得AB=CD，∠BCD=∠A=60°，根据角平分线的概念可得∠A′CB=∠A′CD=30°，当点A′在平行四边形ABCD内部时，过点A′作A′M⊥CD于点M，设A′M=x，根据三角函数的概念可得MC，然后表示出DM，根据勾股定理求出x，进而可得A′C的值；当点A′在平行四边形ABCD外部时，过点D作DN⊥A′C于点N，根据三角函数的概念可得DN、CN，  利用勾股定理求出A′N，然后根据A′C=A′N+CN进行计算.

11．【答案】9

【解析】【解答】解： 将图 中的 折叠，使点 与点 重合，

，

的周长

  ．

故答案为： ．

【分析】根据折叠的性质可得AE=CE，再利用三角形周长公式及等量代换可得的周长。

12．【答案】0

【解析】【解答】解：把二次函数y＝mx2＋n的图象向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是y＝mx2＋n﹣2，

再将抛物线y＝mx2＋n﹣2关于x轴对称，得到的抛物线的解析式是y＝﹣mx2﹣n＋2，

∴根据题意可得：﹣m＝2，﹣n＋2＝4，

解得：m＝﹣2，n＝﹣2，

∴m﹣n＝﹣2﹣(﹣2)＝0，

故答案为：0．
 

【分析】先根据平移的规律得到图象向下平移2个单位长度后的抛物线解析式，关于x轴对称的坐标特点是横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此表示出关于x轴对称的抛物线解析式，最后对比y＝2x2＋4的各项系数，分别列方程求解即可.

13．【答案】36°

【解析】【解答】解：连接AP．

∵P为其底角平分线的交点，

∴点P是△ABC的三个角的平分线的交点，

∴AP平分∠BAC，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

设∠A=2x，则∠DAP=x，∠ABC=∠ACB=90°-x，

∴∠PBC=∠PCB=45°﹣x，

∵DA=DP，

∴∠DAP=∠DPA，由折叠的性质可得：∠PDC=∠PBC=45°﹣x，

则∠ADP=180°﹣∠PDC=135°+x，

在△ADP中，∠DAP+∠DPA+∠ADP=180°，即x+x+135°+x=180°，

解得：x=18，则∠A=2x=36°．

故答案为：36°.

【分析】连接AP，由题意可得AP平分∠BAC，根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，设∠A=2x，则∠DAP=x，∠ABC=∠ACB=90°-x，∠PBC=∠PCB=45°﹣x，由等腰三角形的性质可得∠DAP=∠DPA，由折叠的性质可得∠PDC=∠PBC=45°﹣x，由邻补角的概念可得∠ADP=1135°+x，然后在△ADP中，根据内角和定理计算即可.

14．【答案】

【解析】【解答】解：∵ 正三角形、正方形、圆中既是中心对称图形又是轴对称图形的是正方形、圆，

∴ 既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是： .

故答案为：

【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心；先根据轴对称图形与中心对称图形定义判断哪些符合，接着再根据概率公式即可得到答案，
 

15．【答案】5

【解析】【解答】解：将一矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，

，

设，

在中，由勾股定理得：，

即，

解得：，

即，

故答案为：5.

【分析】根据折叠的性质得出AF=CF，再根据勾股定理求出CF的长即可.

16．【答案】

【解析】【解答】解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，

∵AD＝AC′＝4，D是AC边上的中点，

∴DC＝AD＝4，

由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，

∴DC＝DC'＝4，BC＝BC'，CM＝C'M，

∴AD＝AC′＝DC'＝4，

∴△ADC'为等边三角形，

∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°，

∵DC＝DC'，

∴∠DCC'＝∠DC'C＝ ×60°＝30°，

在Rt△C'DM中，∠DC'C＝30°，DC'＝4，

∴DM＝2，

∴由勾股定理可得C'M＝ DM＝2 ，

∴BM＝BD﹣DM＝6﹣2＝4，

在Rt△BMC'中，

BC'＝ ，

∵ ＝ BC'•DH＝ BD•C'M，

∴2 ×DH＝6×2 ，

∴DH＝ ，

∵∠DCB＝∠DBC'，

∴点D到BC的距离为 .

故答案为： .

【分析】连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，证△ADC'为等边三角形，利用含30°直角三角形的性质求出DM＝2，C'M＝ DM＝2 ，BM＝4，在Rt△BMC'中，利用勾股定理求出BC'的长，在△BDC'中利用面积法求出DH的长，则可得出答案.

17．【答案】解：①作 关于 的对称点 ；  

②作 关于 的对称点 ；

③连接 ；交OA、OB于M、N；

∴PM=P1M，PN=P2N，

∴PM+MN+PN=P1M+MN+P2M=P1P2，

∵两点之间线段最短，

∴P1P2是△PMN的最小值，

∴点M、N即为所求.

【解析】【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA、OB于M、N，根据垂直平分线的性质可得PM=P1M，PN=P2N，根据两点之间线段最短可得P1P2即是△PMN的最小值，即可得答案.

18．【答案】（1）解：如图示，为所求，由图可知点的坐标为；

（2）解：如图所示，根据题意，即为所求．

【解析】【分析】（1）为所求，由图可知点的坐标为；
（2）根据题意，即为所求．

19．【答案】解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，连接OA，

∴，

由折叠得：，

设，

∴在中，由勾股定理得：，

即：

解得： x1＝，x2＝（不合题意，舍去）

∴

答：的半径为．

【解析】【分析】过点O作OE⊥AB于点E，连接OA，设，利用勾股定理可得，即，再求出x的值即可。

20．【答案】解：延长 交 于H连 ， 

∵ 由 沿 折叠得到，

∴ ， ，

∵E为 中点，正方形 边长为1，

∴ ，

∴ ，

∵四边形 是正方形，

∴ ，

在 和 中，

，

∴ ，

∴ ，

又∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ， ， ，

∴ ，

∴ ，

∴ ．

【解析】【分析】根据题意，延长BF交CD于H，连接EH，通过证明，得到CH=，再由得到，进而即可求得CG的长。