2023年中考数学一轮复习课件： 二次函数综合题线段问题

这是一份2023年中考数学一轮复习课件： 二次函数综合题线段问题，共25页。PPT课件主要包含了典例精析，例题图①，t－t＋3，－t2＋2t＋3，－t2＋3t，例题图②，例题图③，提分要点，随堂练习，第1题图等内容，欢迎下载使用。
例　已知抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上一点．如图①，过点P作PH⊥x轴于点H，交线段BC于点Q，设点P的横坐标为t.
∵抛物线y＝－x2＋2x＋3与y轴交于点C，与x轴交于点A，B，∴C(0，3)，B(3，0)，∴直线BC的解析式为y＝－x＋3，∴点Q的坐标可以表示为(t，－t＋3)；∵PH⊥x轴于点H，∴点H的坐标可以表示为(t，0).
一、表示点坐标(1)点P的坐标可以表示为________________，点Q的坐标可以表示为__________，点H的坐标可以表示为________；(用含t的式子表示)
【解法提示】∵点P为抛物线上一点，且横坐标为t，∴点P的坐标可以表示为(t2，－t2＋2t＋3)；
(t，－t2＋2t＋3)
二、表示线段长及线段之间的数量关系(2)PH的长可表示为___________，PQ的长可表示为__________；
【解法提示】∵P(t，－t2＋2t＋3)，∴PH的长可表示为－t2＋2t＋3；∵Q(t，－t＋3)，∴PQ的长可表示为－t2＋2t＋3－(－t＋3)＝－t2＋3t.
(3)当PQ＝2QH时，点P的坐标为________；
【解法提示】∵PQ＝－t2＋3t，QH＝3－t，PQ＝2QH，∴－t2＋3t＝2(3－t)，即(t－2)(t－3)＝0，解得t1＝2，t2＝3(舍去)，∴点P的坐标为(2，3).
(4)当点Q为线段BC的中点时，点Q的坐标为________，点P的坐标为 ________；
(5)如图②，过点P作PE⊥BC于点E，则PE的长可表示为____________；
三、线段最值(6)PH的最大值为____；
【解法提示】设点P到x轴的距离为d，∴d＝－t2＋2t＋3＝－(t－1)2＋4，∵－1＜0，∴当t＝1时，d取最大值4，∴PH的最大值为4.
(7)如图③，点M是y轴上一点，连接PM，BM，若PH＝3，求PM＋BM的最小值及此时点M的坐标．
(7)如解图，作点B关于y轴的对称点B′，连接PB′，交y轴于点M′，此时PM＋BM＝PM＋MB′≥PB′，最小值为PB′的长．
∴PM＋BM的最小值为 .设直线PB′的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将点P(2，3)，B′(－3，0)代入， 得 解得 ∴直线PB′的解析式为y＝ x＋ ，当x＝0时，y＝ ，∴点M的坐标为(0， ).
常见构造二次函数关系求线段最值问题1. 求竖直线段的最大值(如图①)第一步：设点M(t，at2＋bt＋c)，则N(t，mt＋n)；第二步：表示线段MN的长，MN＝at2＋bt＋c－mt－n；
第三步：化简MN＝at2＋bt＋c－mt－n＝at2＋(b－m)t＋c－n，利用二次函数性质求最值．
2. 求斜线段MP的最大值(如图①)利用锐角三角函数化斜为直得：MP＝MN·sin ∠MNP，再根据1的步骤解题即可．
3. 利用对称性质求最值：如图②，①求点B关于对称轴l对称的点C的坐标；②连接AC交直线l于点P，此时点P满足要求；③待定系数法求AC的函数解析式；④将l对应的x的值代入AC的解析式可得点P的坐标．
1. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为(2，0)，且经过点(4，1).如图，直线y＝ x与抛物线交于A，B两点，直线l为y＝－1.(1)求抛物线的解析式；
解：(1)∵抛物线的顶点坐标为(2，0)，∴设抛物线解析式为y＝a(x－2)2，∵抛物线经过点(4，1)，代入
得1＝a(4－2)2，解得a＝ .∴抛物线的解析式为y＝ (x－2)2；
(2)在l上是否存在一点P，使PA＋PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
∴A(1， )，B(4，1)，如解图，作点A关于直线y＝－1的对称点C，则C(1，－ )，连接BC，交直线y＝－1于点P，则点P即为所求．
设直线BC的解析式为y＝mx＋n(m≠0)，将点B，C的坐标分别代入， 得 解得 ∴直线BC的解析式为y＝ x－ ，
当y＝－1，即 x－ ＝－1时，解得x＝ ，∴点P的坐标为( ，－1)；
(3)已知F(x0，y0)为平面内一定点，M(m，n)为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．
整理得(1－ － y0)m2＋(2－2x0＋2y0)m＋ ＋ －2y0－3＝0.∵m为任意值， ∴ 解得 ∴定点F的坐标为(2，1).
2. 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过O(0，0)，A(1，0)，B( ， )三点．(1)求二次函数的解析式；
(2)若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；
(2)如图，设直线CD与x轴相交于点F，与OB相交于点E，
∴∠BOF＝30°.∴∠COE＝60°，∴∠OCF30°.∴OC＝2OE＝ ，∴C(0， )，∵点E为OB的中点，∴E( ， )，设直线CD的解析式为y＝kx＋ (k≠0).将E( ， )代入y＝kx＋ 中得k＝－ .∴直线CD的解析式为y＝－ x＋ ；
(3)在(2)的条件下，直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQ⊥x轴，交直线CD于点Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标．