2023年中考数学一轮复习课件 二次函数综合题面积问题

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例　如图，抛物线y＝2x2＋4x－6与x轴交于点A，B(点A在点B左侧)，与y轴交于点D，点P是第三象限内拋物线上的一点，且横坐标为t，连接PA，PD，AD.
一、求面积(1)△APD的面积为________，△ABD的面积为________， 四边形ABDP的面积为________；(用含t的代数式表示)
【解法提示】∵抛物线的解析式为y＝2x2＋4x－6，∴点A(－3，0)，B(1，0)，D(0，－6)，∴直线AD的解析式为y＝－2x－6.
如图，过点P作PF⊥x轴于点F，交AD于点E，过点D作DG⊥PF，交FP延长线于点G，
S四边形ABDP＝S△APD＋S△ABD＝－3t2－9t＋12.
【答案】－3t2－9t，12，－3t2－9t＋12；
二、面积最值 (2)当t＝______时，△APD的面积最大，最大面积为_____；
(3)求四边形ABDP的最大面积；
三、面积定值或面积数量关系(4)若S四边形ABDP＝18，求点P的坐标；
(4)∵S四边形ABDP＝－3t2－9t＋12，∴当S四边形ABDP＝18时，－3t2－9t＋12＝18，解得t1＝－1，t2＝－2，∴点P的坐标为(－1，－8，)，(－2，－6)；
(5)若P为该抛物线的顶点，抛物线上是否存在一个异于点P的点Q，使得S△PBA＝S△QBA？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
思考：若点P为该抛物线的顶点，抛物线上是否存在一个异于点P的点Q，使得S△PBA＝2S△QBA或S△PBA＝ S△QBA？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
∴yQ＝±4，当yQ＝4时，代入y＝2x2＋4x－6中，解得x＝－1＋ 或x＝－1－ ，∴Q(－1＋ ，4)或Q(－1－ ，4)；当yQ＝－4时，代入y＝2x2＋4x－6中，解得x＝－1＋ 或x＝－1－ ，∴Q(－1＋ ，－4)或(－1－ ，－4).综上所述，点Q的坐标为(－1＋ ，4)或(－1－ ，4) 或(－1＋ ，－4)或(－1－ ，－4).存在点Q使S△PBA＝ S△QBA，理由如下：∵S△PBA＝16，
∴S△QBA＝ ×4×|yQ|＝32，∴yQ＝±16，当yQ＝16时，x＝－1＋2 或x＝－1－2 ，∴Q(－1＋2 ，16)或Q(－1－2 ，16)，当yQ＝－16时，不符合题意．综上所述，点Q的坐标为(－1＋2 ，16)或(－1－2 ，16).
二次函数中的面积问题1．求面积(1)一边在坐标轴上(或平行于坐标轴)的三角形面积的计算：直接利用S＝ AB·h.
(2)一般三角形面积的计算：构造与坐标轴平行(共线)的线段作为底或高．
(3)四边形面积的计算：通过分割法或补形法将四边形面积转化为几个三角形或三角形与特殊四边形面积之间的和或差．
2．求面积最值利用二次函数性质求最值：设动点P的横坐标为m，用含m的代数式表示出三角形的面积，利用二次函数性质求解最值．
1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋x＋m(a≠0)的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为(0，－4)，点C坐标为(2，0).(1)求此抛物线的函数解析式；
(2)点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
得 解得 ∴直线AB的函数解析式为y＝－x－4，设点D的坐标为(x， x2＋x－4)(－4＜x＜0)，则点E的坐标为(x，－x－4)，可得DE＝－x－4－( x2＋x－4)＝－ x2－2x，S△ABD＝ DE·OA＝ ×(－ x2－2x)×4＝－x2－4x＝－(x＋2)2＋4(－4＜x＜0)，∵－1＜0，∴当x＝－2时，S△ABD有最大值，此时D(－2，－4).
2.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2－2x＋c与直线y＝kx＋b都经过A(0，－3)，B(3，0)两点，该抛物线的顶点为C.(1)求此抛物线和直线AB的解析式；
得 解得 ∴此抛物线的解析式为y＝x2－2x－3；
(2)设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M，N，C，E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；
设M(m，m－3)，则N(m，m2－2m－3)(m>1)，∴MN＝|m2－2m－3－(m－3)|＝|m2－2m－3－m＋3|＝|m2－3m|，当MN＝CE时，M，N，C，E是平行四边形的四个顶点，∴|m2－3m|＝2.①当m2－3m＝2时，解得m1＝ ，m2＝ (舍去).此时，M1( ， )；②当m2－3m＝－2时，解得m3＝1(舍去)，m4＝2.此时，M2(2，－1).
∴存在这样的点M使点M，N，C，E是平行四边形的四个顶点．点M的坐标为( ， )或(2，－1)；
(3)设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△PAB面积最大时，求点P的坐标，并求△PAB面积的最大值．
(3)设P(n，n2－2n－3)，∵OA＝3，OB＝3，如图，连接AP，BP，OP.