2023年陕西省汉中市城固县中考数学模拟试卷（3月份）（含答案）

2023年陕西省汉中市城固县中考数学模拟试卷（3月份）

一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的，请将正确答案的序号填在题前的答题栏中）

1．的绝对值是（　　）

A． B． C． D．

2．下列图形中，是轴对称图形的是（　　）

A． B． 

C． D．

3．神舟十五号飞船于2022年11月29日发射成功，将在远地点高度393000m的轨道上驻留6个月进行太空实验研究，将数字393000用科学记数法表示为（　　）

A．39.3×104 B．3.93×106 C．0.393×106 D．3.93×105

4．下列运算中，正确的是（　　）

A．3a2+a2＝4a4 B．（﹣a3）2＝﹣a6 

C．（2a2b）3＝8a5b3 D．﹣2a8÷a2＝﹣2a6

5．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点B（2，3），则AC的长为（　　）

A． B． C．4 D．5

6．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与y＝x+2的图象相交于点M（m，4），则关于x，y的二元一次方程组的解是（　　）

A． B． C． D．

7．如图，在半径为6的⊙O中，弦AB⊥CD于点E，若∠A＝30°，则弧的长为（　　）

A．8π B．5π C．4π D．6π

8．某抛物线型拱桥的示意图如图所示，水面AB＝48m，拱桥最高处点C到水面AB的距离为12m，在该抛物线上的点E，F处要安装两盏警示灯（点E，F关于y轴对称），警示灯F距水面AB的高度是9m，则这两盏灯的水平距离EF是（　　）

A．24m B．20m C．18m D．16m

二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）

9．因式分解：y﹣2xy+x2y＝　   　．

10．如图是一个数值转换器，当输入x为﹣64时，输出y的值是 　   　．

11．如图，若∠A＝27°，∠B＝45°，∠C＝38°，则∠AFD的度数为 　   　．

12．如图，点A是反比例函数y＝（k≠0，x＜0）图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点D，AD＝DB．若点C为x轴上任意一点，且S△ABC＝9，则k的值为 　   　．

13．如图，已知正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O．将△OBC绕点B逆时针旋转得到△O'BC'，当O'，C'，D三点共线时，O'A的长为 　   　．

三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）

14．计算：．

15．解不等式组：．

16．解方程：．

17．如图，在△ABC中，点D在BC边上．请用尺规作图法，在AC边上求作一点E，使得DE∥AB．（保留作图痕迹，不写作法）

18．如图，在Rt△ABC中、∠B＝90°，AC＝DF，BF＝EC，且AB2∥DE．求证：AB＝DE．

19．又是一年“3.8女神节”，促销活动已经在各大电商平台展开．妈妈看中一件标价为800元的外套，该店铺在活动期间所有服装均按标价的8折再让利40元销售，此时仍可获利20%，问此件外套的进价是多少元？

20．2023年电影春节档表现超预期，优质供给引爆观影热情．电影《满江红》和《流浪地球2》分别夺得春节档票房的冠、亚军．乐乐和爸爸准备一起去看电影，乐乐想看《流浪地球2》，但是爸爸想看《满江红》，于是他们决定采用摸牌的办法决定去看哪部电影．摸牌规则如下：把一副新扑克牌中的红桃3，4，5，6四张背面朝上洗匀后放置在桌面上，乐乐从中随机摸出一张牌，记下数字后不放回，爸爸再从中摸出一张牌，记下数字．若两次数字之和为奇数，则看《流浪地球2》，若两次数字之和为偶数，则看《满江红》．

（1）请用列表或画树状图的方法表示出两数和的所有可能结果；

（2）请问这个摸牌规则是否公平？请说明理由．

21．元宵佳节灯火会上，有一名摄影爱好者为了记录这次灯火会的全过程，携带无人机进行航拍．如图，摄影爱好者在水平地面上点A处测得无人机位置点B的仰角为53°．无人机从点B处水平飞到点C处，BC＝4米，摄影爱好者在点A处测得点C的仰角为45°．已知AF为水平地面，AF∥BC，（即：点A，B，C，F四点在同一平面内），求无人机距离水平地面的高度．（测角仪的高度忽略不计，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈）

22．睡眠是人的机体复原整合和巩固记忆的重要环节，对促进中小学生大脑发育、骨骼生长、视力保护、身心健康和提高学习能力与效率至关重要．阳光中学为了解本校学生的睡眠情况，随机调查了40名学生一周（7天）平均每天的睡眠时间t（时），并根据调查结果绘制成不完整的频数分布表和扇形统计图．

根据上述信息，解答下列问题：

（1）分别求出表中a，b的值；

（2）抽取的40名学生睡眠时间的中位数落在 　   　组；

（3）若该校共有1800名学生，请估计该校学生睡眠时间达到9时及以上的学生人数．

23．如图，A、B两个长方体水箱放置在同一水平桌面上，开始时水箱A中没有水，水箱B盛满水，现以6dm3/min的流量从水箱B中抽水注入水箱A中，直至水箱A注满水为止．设注水时间为t（min），水箱A的水位高度为yA（dm），水箱B中的水位高度为yB（dm）．（抽水水管的体积忽略不计）

（1）分别求出yA，yB与t之间的函数表达式；

（2）当水箱A与水箱B中的水的体积相等时，求出此时两水箱中水位的高度差．

24．如图，AB是⊙O的直径，点D，E为⊙O上的点，连接AE并延长至点C，使∠CBE＝∠BDE，BD与AE交于点F．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）若BD平分∠ABE，DF＝1，BF＝6，求AD的长．

25．如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴交于点A（3，0），B，与y轴交于点C．

（1）求c的值及该抛物线的对称轴；

（2）若点D在直线AC上，点E是平面内一点．是否存在点E，使得以点A，B，D，E为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

26．新定义：如果一个四边形的对角线相等，我们称这个四边形为美好四边形．

【问题提出】

（1）如图1，若四边形ABCD是美好四边形，且AD＝BD，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，求四边形ABCD的面积；

【问题解决】

（2）如图2，某公园内需要将4个信号塔分别建在A，B，C，D四处，现要求信号塔C建在公园内一个湖泊的边上，该湖泊可近似看成一个半径为200m的圆，记为⊙E．已知点A到该湖泊的最近距离为500m，是否存在这样的点D，满足AC＝BD，使得四边形ABCD的面积最大？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

参考答案

一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的，请将正确答案的序号填在题前的答题栏中）

1．的绝对值是（　　）

A． B． C． D．

【分析】利用绝对值的定义可得结论．

解：|﹣|＝．

故选：B．

【点评】本题考查了绝对值，掌握绝对值的定义是解决本题的关键．

2．下列图形中，是轴对称图形的是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．

解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．

C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．

故选：C．

【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

3．神舟十五号飞船于2022年11月29日发射成功，将在远地点高度393000m的轨道上驻留6个月进行太空实验研究，将数字393000用科学记数法表示为（　　）

A．39.3×104 B．3.93×106 C．0.393×106 D．3.93×105

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

解：393000＝3.93×105．

故选：D．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4．下列运算中，正确的是（　　）

A．3a2+a2＝4a4 B．（﹣a3）2＝﹣a6 

C．（2a2b）3＝8a5b3 D．﹣2a8÷a2＝﹣2a6

【分析】直接利用整式的除法运算法则以及积的乘方运算法则、合并同类项法则分别计算，进而判断即可．

解：A．3a2+a2＝4a2，故此选项不合题意；

B．（﹣a3）2＝a6，故此选项不合题意；

C．（2a2b）3＝8a6b3，故此选项不合题意；

D．﹣2a8÷a2＝﹣2a6，故此选项符合题意．

故选：D．

【点评】此题主要考查了整式的除法运算以及积的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．

5．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点B（2，3），则AC的长为（　　）

A． B． C．4 D．5

【分析】如图，连接OB，首先利用已知条件求出OB，然后利用矩形的性质即可求解．

解：如图，连接OB，

∵点B（2，3），

∴OB＝＝，

∵四边形OABC是矩形，

∴AC＝OB＝．

故选：A．

【点评】此题主要考查了坐标与图形性质，同时也利用了矩形的性质，比较简单．

6．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与y＝x+2的图象相交于点M（m，4），则关于x，y的二元一次方程组的解是（　　）

A． B． C． D．

【分析】先利用y＝x+2确定M点的坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．

解：把M（m，4）代入y＝x+2得m+2＝4，

解得m＝2，

∴M点的坐标为（2，4），

∵一次函数y＝kx+b（k≠0）与y＝x+2的图象相交于点M（2，4），

∴关于x，y的二元一次方程组的解是．

故选：B．

【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：由两个函数解析式所组成的方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．

7．如图，在半径为6的⊙O中，弦AB⊥CD于点E，若∠A＝30°，则弧的长为（　　）

A．8π B．5π C．4π D．6π

【分析】连接OA、OC，根据直角三角形的性质求出∠ADC，根据圆周角定理求出∠AOC，再根据弧长公式计算吗，得到答案．

解：连接OA、OC，

∵AB⊥CD，∠A＝30°，

∴∠ADC＝90°﹣∠A＝60°，

由圆周角定理得：∠AOC＝2∠ADC＝120°，

∴的长为：＝4π，

故选：C．

【点评】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式、圆周角定理是解题的关键．

8．某抛物线型拱桥的示意图如图所示，水面AB＝48m，拱桥最高处点C到水面AB的距离为12m，在该抛物线上的点E，F处要安装两盏警示灯（点E，F关于y轴对称），警示灯F距水面AB的高度是9m，则这两盏灯的水平距离EF是（　　）

A．24m B．20m C．18m D．16m

【分析】根据题意，可以设抛物线的解析式为y＝ax2+12，然后根据题意可以得到点A的坐标，然后代入抛物线解析式，即可得到抛物线解析式，再将y＝9代入，即可得到相应的x的值，然后即可求得这两盏灯的水平距离EF的长．

解：设该抛物线的解析式为y＝ax2+12，

由题意可得，点A的坐标为（﹣24，0），

∴0＝a×（﹣24）2+12，

解得a＝﹣，

∴y＝﹣x2+12，

当y＝9时，

9＝﹣x2+12，

解得x1＝12，x2＝﹣12，

∴点E（﹣12，9），点F（12，9），

∴这两盏灯的水平距离EF是12﹣（﹣12）＝12+12＝24（米），

故选：A．

【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答．

二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）

9．因式分解：y﹣2xy+x2y＝　y（1﹣x）2　．

【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．

解：原式＝y（1﹣2x+x2）

＝y（1﹣x）2．

故答案为：y（1﹣x）2．

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

10．如图是一个数值转换器，当输入x为﹣64时，输出y的值是 　　．

【分析】把﹣64按给出的程序逐步计算即可．

解：由题中所给的程序可知：把﹣64取立方根，结果为﹣4，因为﹣4是有理数，所以再取立方根，结果为为无理数，故y＝．

故答案为：．

【点评】本题考查立方根和无理数，解答此类题目的关键是弄清题目中所给的运算程序．

11．如图，若∠A＝27°，∠B＝45°，∠C＝38°，则∠AFD的度数为 　70°　．

【分析】根据三角形外角的性质三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠AEB＝∠A+∠C＝65°，∠DFE＝∠B+∠AEC，进而可得答案．

解：∵∠A＝27°，∠C＝38°，

∴∠AEB＝∠A+∠C＝65°，

∵∠B＝45°，

∴∠DFE＝65°+45°＝110°，

∴∠AFD＝180°﹣∠DFE＝180°﹣110°＝70°，

故答案为：70°．

【点评】此题主要考查了三角形外角的性质和三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．

12．如图，点A是反比例函数y＝（k≠0，x＜0）图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点D，AD＝DB．若点C为x轴上任意一点，且S△ABC＝9，则k的值为 　﹣9　．

【分析】先设A点坐标，再根据点A在第二象限，则x＜0，y＞0，然后由三角形面积公式求出xy即可

解：∵AD＝DB，

∴S△ADC＝S△BDC＝S△ABC＝，

设点A的坐标为（x，y），

∵点A在第二象限，

∴x＜0，y＞0，

∴S△ABC＝AD•OD＝|x|•|y|＝﹣xy＝，

∴xy＝﹣9，

∵A是反比例函数y＝的图象上一点，

∴k＝xy＝﹣9，

故答案为：﹣9．

【点评】本题考查了反比例函数系k的几何意义，关键是根据三角形的面积求出xy的值．

13．如图，已知正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O．将△OBC绕点B逆时针旋转得到△O'BC'，当O'，C'，D三点共线时，O'A的长为 　﹣1　．

【分析】由相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，可求解．

解：∵△O′C′B，△ABD是等腰直角三角形，

∴O′B：BC′＝AB：BD＝1：，

∵∠ABO′+∠ABC′＝∠∠DBC′+∠ABC′＝45°，

∴∠ABO′＝∠BDC′，

∴△ABO′∽△DBC′，

∴AO′：DC′＝AB：BD，

∵BC′＝BC＝2，

∴O′C′＝BO′＝BC′＝，BD＝BC＝2，

∵DO′2＝BD2﹣BO′2，

∴DO′2＝（2）2﹣（）2，

∴DO′＝，

∴DC′＝﹣，

∴AO′：（﹣）＝1：，

∴AO′＝﹣1．

【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质，勾股定理，关键是掌握这些知识点，并能熟练应用．

三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）

14．计算：．

【分析】首先计算零指数幂和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．

解：

＝4+2×﹣1

＝4+﹣1

＝3+．

【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．

15．解不等式组：．

【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．

解：，

由①得x≥﹣2；

由②得x＜3．

所以，不等式组的解集为﹣2≤x＜3．

【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键．

16．解方程：．

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

解：两边都乘以x﹣2，去分母，得

4x﹣（x﹣2）＝﹣3，

解得x＝﹣，

检验：当x＝﹣时，x﹣2＝≠0，

∴x＝﹣是原方程的解．

【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

17．如图，在△ABC中，点D在BC边上．请用尺规作图法，在AC边上求作一点E，使得DE∥AB．（保留作图痕迹，不写作法）

【分析】作∠EDC＝∠B交AC于E点，则根据平行线的判定方法可得到DE∥AB．

解：如图，点E即为所求．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定．

18．如图，在Rt△ABC中、∠B＝90°，AC＝DF，BF＝EC，且AB2∥DE．求证：AB＝DE．

【分析】根据平行线性质可得∠E＝∠B＝90°，根据BF＝EC可得BC＝EF，结合已知易证Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），从而得到结论．

【解答】证明：∵AB∥DE，∠B＝90°，

∴∠E＝∠B＝90°，

∵BF＝EC，

∴BF+FC＝EC+FC，

即BC＝EF，

在Rt△ABC和Rt△DEF中，．

∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．

∴AB＝DE．

【点评】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质；证明三角形全等是解题的关键．

19．又是一年“3.8女神节”，促销活动已经在各大电商平台展开．妈妈看中一件标价为800元的外套，该店铺在活动期间所有服装均按标价的8折再让利40元销售，此时仍可获利20%，问此件外套的进价是多少元？

【分析】设此件外套的进价为x元，依商店按售价的8折再让利40元销售，此时仍可获利20%，可得方程式，求解即可得答案．

解：设此件外套的进价为x元，

依题意得：800×80%﹣40﹣x＝20%x，

整理，得

600﹣x＝0.2x

解之得：x＝500

答：此件外套的进价是500元．

【点评】本题考查一元一次方程的应用，应识记有关利润的公式：利润＝销售价﹣成本价．

20．2023年电影春节档表现超预期，优质供给引爆观影热情．电影《满江红》和《流浪地球2》分别夺得春节档票房的冠、亚军．乐乐和爸爸准备一起去看电影，乐乐想看《流浪地球2》，但是爸爸想看《满江红》，于是他们决定采用摸牌的办法决定去看哪部电影．摸牌规则如下：把一副新扑克牌中的红桃3，4，5，6四张背面朝上洗匀后放置在桌面上，乐乐从中随机摸出一张牌，记下数字后不放回，爸爸再从中摸出一张牌，记下数字．若两次数字之和为奇数，则看《流浪地球2》，若两次数字之和为偶数，则看《满江红》．

（1）请用列表或画树状图的方法表示出两数和的所有可能结果；

（2）请问这个摸牌规则是否公平？请说明理由．

【分析】（1）列表可得所有等可能结果；

（2）从表格中找到和为奇数、偶数的结果数，再根据概率公式求解即可得出答案．

解：（1）列表如下：

（2）这个摸牌游戏不公平，

由表知，共有12种等可能结果，其中和为奇数的有7种结果，和为偶数的有5种结果，

所以看《流浪地球2》的概率为，看《满江红》的概率为，

∵≠，

∴这个摸牌游戏不公平．

【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个人取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

21．元宵佳节灯火会上，有一名摄影爱好者为了记录这次灯火会的全过程，携带无人机进行航拍．如图，摄影爱好者在水平地面上点A处测得无人机位置点B的仰角为53°．无人机从点B处水平飞到点C处，BC＝4米，摄影爱好者在点A处测得点C的仰角为45°．已知AF为水平地面，AF∥BC，（即：点A，B，C，F四点在同一平面内），求无人机距离水平地面的高度．（测角仪的高度忽略不计，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈）

【分析】如图所示，过点B作BG⊥AF于G，过点C作CH⊥AF于H，证明四边形BCHG是矩形，得到GH＝BC＝4米，BG＝CH，设BG＝CH＝x米，解Rt△ABG得到，解Rt△ACH得到AH＝x，则，据此求解即可．

解：如图所示，过点B作BG⊥AF于G，过点C作CH⊥AF于H，

∵AF∥BC，

∴BG⊥BC，

∴四边形BCHG是矩形，

∴GH＝BC＝4米，BG＝CH，

设BG＝CH＝x米，

在Rt△ABG中，∠BGA＝90°，∠BAG＝53°，

∴AG＝x，

在Rt△ACH中，∠CHA＝90°，∠CAH＝45°，

∴，

∴，

∴x＝16，

∴CH＝16米，

∴无人机距离水平地面的高度为16米．

【点评】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质和判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．

22．睡眠是人的机体复原整合和巩固记忆的重要环节，对促进中小学生大脑发育、骨骼生长、视力保护、身心健康和提高学习能力与效率至关重要．阳光中学为了解本校学生的睡眠情况，随机调查了40名学生一周（7天）平均每天的睡眠时间t（时），并根据调查结果绘制成不完整的频数分布表和扇形统计图．

根据上述信息，解答下列问题：

（1）分别求出表中a，b的值；

（2）抽取的40名学生睡眠时间的中位数落在 　C　组；

（3）若该校共有1800名学生，请估计该校学生睡眠时间达到9时及以上的学生人数．

【分析】（1）用40乘B组所占比例可得求出a的值，再用40减去其它各组人数即可得出b的值；

（2）根据中位数的定义即可求解；

（3）用样本估计总体即可．

解：（1）由题意可得，a＝40×30%＝12，

故b＝40﹣4﹣12﹣20＝4；

（2）由题意可知，抽取的40名学生睡眠时间的中位数落在的组别是C组，

故答案为：C；

（3）1800×＝1080（名），

答：估计该校有1080名学生睡眠时间达到9小时．

【点评】本题考查频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是求出样本容量，利用数形结合的思想解答．

23．如图，A、B两个长方体水箱放置在同一水平桌面上，开始时水箱A中没有水，水箱B盛满水，现以6dm3/min的流量从水箱B中抽水注入水箱A中，直至水箱A注满水为止．设注水时间为t（min），水箱A的水位高度为yA（dm），水箱B中的水位高度为yB（dm）．（抽水水管的体积忽略不计）

（1）分别求出yA，yB与t之间的函数表达式；

（2）当水箱A与水箱B中的水的体积相等时，求出此时两水箱中水位的高度差．

【分析】（1）根据“水箱A的水位高度＝注入水的体积÷水箱A的底面积”得出yA与t之间的函数表达式；“水箱B中的水位高度＝6﹣流出水的体积÷水箱B的底面积”得出yB与t之间的函数表达式；

（2）当水箱A与水箱B中的水的体积相等时，即水箱B中的水还剩下一半，根据（2）的结论可以分别求出两水箱中水位的高度即可解答．

解：（1）根据题意得：（0≤t≤6）；

（0≤t≤6）；

答：yA，yB与t之间的函数表达式分别为yA＝t（0≤t≤6），yB＝﹣0.6t+6（0≤t≤6）；

（2）当水箱A与水箱B中的水的体积相等时，，

即﹣0.6t+6＝3，解得t＝5；

当t＝5时，yA＝t＝5．

∴yA﹣yB＝5﹣3＝2（dm）．

答：当水箱A与水箱B中的水的体积相等时，两水箱中水位的高度差为2dm．

【点评】此题考查了一次函数的应用，注水速度＝注水体积÷注水时间，圆柱体积＝圆柱的底面积×圆柱的高，这两个公式为解题关键．

24．如图，AB是⊙O的直径，点D，E为⊙O上的点，连接AE并延长至点C，使∠CBE＝∠BDE，BD与AE交于点F．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）若BD平分∠ABE，DF＝1，BF＝6，求AD的长．

【分析】（1）根据圆周角定理即可得出∠EAB+∠EBA＝90°，再由已知得出∠ABE+∠CBE＝90°，则CB⊥AB，从而证得BC是⊙O的切线；

（2）通过证得△ADF∽△BDA，得出相似三角形的对应边成比例即可得出答案．

【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB＝90°，

∴∠EAB+∠EBA＝90°，

∵∠CBE＝∠BDE，∠BDE＝∠EAB，

∴∠EAB＝∠CBE，

∴∠EBA+∠CBE＝90°，即∠ABC＝90°，

∴CB⊥AB，

∵AB是⊙O的直径，

∴BC是⊙O的切线；

（2）解：∵BD平分∠ABE，

∴∠ABD＝∠DBE，

∵∠DAF＝∠DBE，

∴∠DAF＝∠ABD，

∵∠ADB＝∠ADF，

∴△ADF∽△BDA，

∴，

∴AD2＝DF•DB，

∵DF＝1，BF＝6，

∴DB＝7，

∴AD＝．

【点评】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，证明△ADF∽△BDA是解题的关键．

25．如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴交于点A（3，0），B，与y轴交于点C．

（1）求c的值及该抛物线的对称轴；

（2）若点D在直线AC上，点E是平面内一点．是否存在点E，使得以点A，B，D，E为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用待定系数法把A（3，0）代入y＝﹣x2+2x+c，即可求得c的值，再运用抛物线对称轴公式x＝﹣，即可求得对称轴；

（2）分两种情况：当AB为正方形ABDE的边时，当AB为正方形ADBE的对角线时，分别求出点E的坐标即可．

解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴交于点A（3，0），

∴﹣9+6+c＝0，

解得：c＝3，

∵x＝﹣＝1，

∴抛物线的对称轴为直线x＝1；

（2）存在．

∵y＝﹣x2+2x+3，

∴C（0，3），

设直线AC的解析式为y＝kx+b，把A（3，0），C（0，3）分别代入得：，

解得：，

∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，

设D（t，﹣t+3），

∵点B与A（3，0）关于直线x＝1对称，

∴B（﹣1，0），

∴AB＝3﹣（﹣1）＝4，

当AB为正方形ABDE的边时，如图，

则BD＝AB，BD⊥AB，AE＝AB，AE⊥AB，

∴﹣t+3＝4，

解得：t＝﹣1，

∴D1（﹣1，4），E1（3，4）；

当AB为正方形ADBE的对角线时，如图，

则DE⊥AB，EF＝DF＝AF＝BF＝AB＝2，

∴﹣t+3＝2，

解得：t＝1，

∴D2（1，2），E2（1，﹣2）；

综上所述，点E的坐标为：E1（3，4），E2（1，﹣2）．

【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，正方形的性质等，难度较小，第（2）问要注意分类讨论，避免漏解．

26．新定义：如果一个四边形的对角线相等，我们称这个四边形为美好四边形．

【问题提出】

（1）如图1，若四边形ABCD是美好四边形，且AD＝BD，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，求四边形ABCD的面积；

【问题解决】

（2）如图2，某公园内需要将4个信号塔分别建在A，B，C，D四处，现要求信号塔C建在公园内一个湖泊的边上，该湖泊可近似看成一个半径为200m的圆，记为⊙E．已知点A到该湖泊的最近距离为500m，是否存在这样的点D，满足AC＝BD，使得四边形ABCD的面积最大？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）过D作DK⊥AB于K，由∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，可得AD＝BD＝AC＝5，即知AK＝BK＝AB＝2，DK＝，从而S△ABD＝AB•DK＝2，S△BCD＝BC•BK＝3，故S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝2+3；

（2）先证明对角线相等的四边形对角线垂直时，面积最大，最大值为对角线乘积的一半，再求出AC，BD的长度，即可得到答案．

解：（1）过D作DK⊥AB于K，如图1：

∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，

∴AC＝＝＝5，

∵四边形ABCD是美好四边形，AD＝BD，

∴AD＝BD＝AC＝5，

∵DK⊥AB，

∴AK＝BK＝AB＝2，

在Rt△ADK中，

DK＝＝＝，

∴S△ABD＝AB•DK＝×4×＝2，S△BCD＝BC•BK＝×3×2＝3，

∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝2+3；

（2）存在这样的点D，满足AC＝BD，且使得四边形ABCD的面积最大，理由如下：

当对角线相等的四边形对角线不垂直时，如图2，过点D作DM⊥AC于M，过点B作BN⊥AC于N，

则S四边形ABCD＝S△ACD+S△ACB＝AC•（DM+BN），

∵DM＜DO，BN＜BO，

∴DM+BN＜BD，

∴S四边形ABCD＜AC•BD．

当对角线相等的四边形对角线垂直时，如图3：

则S四边形ABCD＝S△ACD+S△ACB＝AC•（OD+OB）＝AC•BD，

∴当对角线相等的四边形对角线垂直时，面积最大．

如图4，当AC过圆心E，AC最长，四边形ABCD中，AC⊥BD时，其面积最大，

∵⊙E的半径为200m，点A到该湖泊的最近距离为500m，

∴AC＝500+2×200＝900（m），

∴AC＝BD＝900m，

∴S四边形ABCD＝AC•BD＝×900×900＝405000（m2），

故四边形ABCD的面积最大为405000m2．

【点评】本题是圆的综合题，主要考查了新定义美好四边形，勾股定理，三角形的面积等知识，证明对角线相等的四边形对角线垂直时，面积最大是解题的关键．