2023年陕西省汉中市南郑区中考数学一模模拟试卷（含答案）

2023年陕西省汉中市南郑区中考数学一模模拟试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  有理数的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  国家统计局发布年国民总收入亿元，比上年增长，将用科学记数法表示应为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，在矩形中，是上的动点，，分别是，的中点，则的长随着点的运动(    )

A. 变小
B. 变大
C. 不变
D. 先变小再变大

6.  已知直线与的交点的坐标为，则方程组的解是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，四边形内接于，，，则的半径为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度单位：与小球运动时间单位：之间的函数关系如图所示．则下列结论不正确的是(    )

A. 小球在空中经过的路程是
B. 小球运动的时间为
C. 小球抛出时，速度为
D. 当时，小球的高度

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9.  分解因式：        ．

10.  若某正数的两个平方根分别是与，则的立方根是        ．

11.  如图，已知，，则的度数是        ．

12.  在平面直角坐标系中，反比例函数的图象交直角梯形的边于点，交边于点，且是边的中点，若四边形的面积为，
       ．

13.  如图，在边长为的正方形中，点，分别在，上，，，则的长是        ．

三、解答题（本大题共13小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14.  分计算：．

15.  分解不等式组．

16.  分解方程：．

17.  分如图，已知矩形中．
请用直尺和圆规在上找一点，使平分，不写画法，保留画图痕迹；
在的条件下若，，求出的值．

18.  分如图，，点、在线段上，且，求证：．

19.  分某商场销售甲、乙两种商品，其中甲种商品进价为元件，售价为元件；乙种商品进价为元件，售价为元件现商场用元购进这两种商品并全部售出，两种商品的总利润为元，问该商场购进甲、乙两种商品各多少件？

20.  分年月日，“天宫课堂”第三课开课，开设课程是问天实验舱介绍，毛细效应实验，水球变“懒”实验，太空趣味饮水，会调头的扳手等项目，某学校打算在名学生小明、小刚、小芳、小丽、小鹏中，通过抽签的方式确定名学生对观看“天宫课堂”观后感进行分享诵读抽签规则：将名学生的名字分别写在张完全相同的卡片正面，把五张卡片背面朝上，洗匀后放在桌子上，王老师先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的四张卡片中随机抽取第二张，记下名字．
第一次抽取卡片小明被抽中的概率是多少？
请用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能结果，并求出小丽被抽中的概率．

21.  分小瑞放学后回家，到小区的门口处时，看到自己家的窗户的仰角，他向前走了后到达点处时，看到自己家窗户的仰角，小瑞的身高，求小瑞家到地面的高度结果取整数，参考数据：，，，，，，

22.  分某校为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识，随机调查了该校“垃圾分类人人有责”答题活动的学生成绩根据调查结果，绘制出如下统计图和图请根据相关信息，解答下列问题：

本次接受调查的学生人数为        ，图中的值为        ；
求统计的这组答题活动学生成绩数据的平均数、众数和中位数；
根据统计的这组答题活动学生成绩的样本数据，若该校共有名学生参加了答题活动，估计其中获得分的学生人数．

23.  分某公司近期研发出一种新型神奇的扫地机，每台设备成本价为元，经过市场调研发现，每台售价为元时，年销售量为台；每台售价为元时，年销售量为台假定该设备的年销售量单位：台和销售单价单位：元成一次函数关系．
求年销售量与销售单价的函数关系式；
根据相关规定，此设备的销售单价不得高于元，如果该公司想获得元的年利润，则该设备的销售单价应是多少元？

24.  分如图，是的直径，弦与交于点，且点为的中点点在弧上，过点作的切线交的延长线于点，交的延长线于点，与交于点．
求证：；
若的半径为，，求的长．

25.  分如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线的表达式为．
求抛物线的表达式；
动点在直线上方的二次函数图象上，连接，，设四边形的面积为，求的最大值；
当点为抛物线的顶点时，在轴上是否存在一点，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标．
 

26.  分如图，已知的半径为，是平面内一点．
如图，若，过点作的两条切线、，切点分别为、，连接则        ，        ．
若点、是上两点，且存在，则规定点为的“直角点”．
如图，已知平面内有一点，，试说明点是的“直角点”．
如图，直线分别与轴、轴相交于点、，若线段上所有点都是半径为的圆的“直角点”，求的最小值与该圆心的坐标．

1.      2.     3.     4.     5. 

6.      7.     8. 

9.     10.     11.     12.      13. 

14.解：原式
． 

15.解：，
解不等式得：，
解不等式 得，
不等式组的解集为：． 

16.解：，
，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是增根，
即分式方程无解． 

17.解：如下图：点即为所求；

在矩形中有，，
，，
，，
，
． 

18.证明：，
，
在与中，
，
≌，
． 

19.解：设购进甲种商品件，乙种商品件，
根据题意，得，
解得，
答：该商场购进甲种商品件，乙种商品件． 

20.解：从五张卡片中随机抽取一张，
第一次抽取卡片小明被抽中的概率是．
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小丽被抽中的结果有：，，，，，，，，共种，
小丽被抽中的概率为． 

21.解：如图，连接并延长，交于点，

由题意可知，
四边形和四边形是矩形，
，，
在中，，
．
在中，，
，
，
，
，
．
答：小瑞家到地面的高度为． 

22.解：（1）本次接受调查的学生人数为为2+8+11+14+5=40（人），
，
故答案为：40，35．
（2）这组数据的平均数为：
，
中位数为第20，21个数的平均数，
即，
9出现次数最多，出现了14，故次众数为：9．
（3）（人）．
答：估计其中获得10分的学生人数是75人．

23.解：设年销售量与销售单价的函数关系式为：
，
解得，
．
年销售量与销售单价的函数关系式为：．
设此设备的销售单价为元，则每台的利润为：元
销售量为：台
该公司想获得元的年利润

解得，
该设备的销售单价不得高于元

答：此设备的销售单价为元台． 

24.证明：连接，

为的切线，
，
，
，
是的直径，弦与交于点，且点为的中点，
，
，
，
；
解：的半径为，
，，
，
，
在中，，
设，，则：，
，
，，
；
连接，则：，

，
，
，
，
，
∽，
，
，
在中，，
或舍掉，
． 

25.解：把代入得：，
．
把代入得：，
，
将，代入得：
，解得：，
抛物线的表达式为；

过点作轴于点，

设，则，，，
则，

，
当时，有最大值，最大值为．

存在，理由：
，
．
又，，
，，，
，
．
如图所示：连接．

，，
，．
，
又，
∽．
当的坐标为时，∽．
过点作，交轴与点．
为直角三角形，，
∽．
又∽，
∽．
，即，
解得：．
．
过点作，交轴与点．
为直角三角形，，
∽．
又∽，
∽．
，即，
解得：．
，
综上所述：当的坐标为或或时，以，，为顶点的三角形与相似． 

26.解：（1）∵PE为⊙O的切线，
∴PE⊥EO，
∴∠PEO=90°，
∵OE=1，OP=2，
∴OE=OP，PE==，
∴∠EPO=30°，
∵PE和PF为⊙O的两条切线，
∴PE=PF，∠EPO=∠FPO，
∴∠EPF=2∠EPO=60°，
∴△PEF为等边三角形，
∴EF=PE=．
故答案为：30，；
（2）①过点D作⊙O的两条切线DE，DF，切点分别为E，F，

在Rt△DEO中，OD=，OE=1，
∴∠EDO=45°，
同理可得∠FDO=45°，
∴∠FDE=90°，
∴点D是⊙O的“直角点”；
②由①可知“直角点”在以O为圆心r为半径的圆上及圆内的所有点．
∵线段AB上的所有点都是圆的“直角点”，
∴AB是在该圆及圆的内部，
又∵半径最小，
∴AB是圆及圆的内部最长线段，
∴AB是圆的直径，
∵直线y=x-2分别与x轴、y轴相交于点A、B，
∴x=0时，y=-2，y=0时，x=3，
∴OB=2，OA=3，
由勾股定理得AB==，
∴最小半径为=，
∴圆心为AB的中点，其点的坐标为（，-1）．