高考 第2讲 数列中的最值问题

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第2讲 数列中的最值问题
考点一　数列的最大(小)项
(1)将数列视为函数f(x)当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f(x)的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f(x)的最值，进而求出数列的最大(小)项；
(2)通过通项公式an研究数列的单调性，
若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)＞0，则an＋1＞an，则数列{an}是递增数列，所以数列{an}的最小项为a1＝f(1)；
若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)＜0，则an＋1＜an，则数列{an}是递减数列，所以数列{an}的最大项为a1＝f(1)．
若不单调利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项；

[典例 1]　数列{an}中，an＝－n2＋11n(n∈N*)，则此数列最大项的值是____________．
解析：　
an＝－n2＋11n＝－2＋，∵n∈N*，∴当n＝5或n＝6时，an取最大值30．
[典例 2]　数列{an}的通项an＝，则数列{an}中的最大项是(　　)
A．3　　　　　　　　B．19　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
解析：　
令f(x)＝x＋(x＞0)，运用基本不等式得f(x)≥6，当且仅当x＝3时等号成立．
因为an＝，所以≤，
由于n∈N*，不难发现当n＝9或n＝10时，an＝最大．
[典例 3]　若数列{an}中，an＝，n∈N*，则数列{an}中的项的最小值为________．
解析：　
an＋1－an＝－＝，
当n≥2时，an＋1－an>0，即an＋1>an，当n＝1时，a2－a12时，an＋1－an…>an，
所以数列{an}中的最大项为a2或a3，且a2＝a3＝2×2＝．故选A．
法二　(作商比较法)：＝＝，令>1，解得n0，
故a1a4>a5>…>an，@钻研数学
所以数列{an}中的最大项为a2或a3，且a2＝a3＝2×2＝．故选A．
[典例 5]　若数列{n(n＋4)()n}中的最大项是第k项，则k＝________．
解析：　
由题意得
所以由k∈N*可得k＝4．
[典例 6]　数列{an}的通项为an＝(n∈N*)，若a5是{an}中的最大值，则a的取值范围是________．
解析：　
当n≤4时，an＝2n－1单调递增，因此n＝4时取最大值，a4＝24－1＝15．
当n≥5时，an＝－n2＋(a－1)n＝－2＋．
∵a5是{an}中的最大值，∴解得9≤a≤12．
∴a的取值范围是[9，12]．
[典例 7]　已知数列{an}满足a1＝28，＝2，则的最小值为(　　)
A．　　　　　　　B．4－1　　　　　C． 　　　　　　 D．
解析：　
由an＋1－an＝2n，可得an＝n2－n＋28，
∴＝n＋－1，设f(x)＝x＋，
可知f(x)在(0，]上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，
又n∈N*，且＝a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…>an>1(n∈N*)．
∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0．
(2)an＝1＋＝1＋．
∵对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，
结合函数f(x)＝1＋的单调性，知50，a2 020·a2 021S7>S5，则满足SnSn＋1S7>S5，得S7＝S6＋a7S5，
所以a70，所以S13＝＝13a70，
所以S12S13