中考数学总复习第4讲.四边形综合.尖子班.学生版难点解析与训练

          壮壮玩拼图

在近年的中考试题中，几何内容的考查在不断推陈出新，但经典题型——动手操作题却经久不衰，大量出现在各地的中考试卷上．这种题型充分考查了学生的想象能力、构图能力及动手操作能力，主要有以下三个考查方式：

1图形折叠

图形的折叠是指某个图形或其部分沿某直线翻折，这条直线为对称轴．

图形的折叠问题分两大类题型：

⑴考查图形折叠的不变性：只需抓住不变量，既对应边相等，对应角相等；

⑵考查图形折叠的折痕：只需抓住折痕垂直平分对应点所连成的线段且平分对应边所形成的夹角．

2图形分割

近年中考中图形分割的基本类型有：

⑴把图形分割成面积相等的几部分（等面积）；

⑵把图形分割成形状相同的几部分（相似或全等）；

⑶把图形分割成轴对称或中心对称图形（等腰三角形或特殊四边形）；

⑷把图形分割成满足特定要求的几部分．

思路：只要抓住分割后图形的特殊性即可．

3图形剪拼

图形剪拼是一种常见的几何题目，“剪”就是将整体的图形分割为各个部分；而“拼”则是把若干分散的图形组合成为一个整体图形．

思路：此类问题一般只需根据剪拼过程中面积不变即可．

【例1】         如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，求折痕的长度．

【例2】         阅读下列材料：

小明遇到一个问题：是的中线，点为边上任意一点（不与点重合），过点作一直线，使其等分的面积．

他的做法是：如图1，连结，过点作交于点，作直线，直线即为所求直线．

请你参考小明的做法，解决下列问题：

⑴如图2，在四边形中，平分的面积，为边上一点，过作一直线，使其等分四边形的面积（要求：在图2中画出直线，并保留作图痕迹）；

⑵如图3，求作过点的直线，使其等分四边形的面积（要求：在图3中画出直线，并保留作图痕迹）．                           

【例3】         阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为a（a>2）的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积．

小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）

请回答：

⑴若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙不重叠），则这个新正方形的边长为              ；

⑵求正方形MNPQ的面积；

⑶参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ，若，则AD的长为          ．

特殊四边形之间的关系：

从属关系: 

演变关系：

【例4】         如图1，矩形MNPQ中，点E、F、G、H分别在NP、PQ、QM、MN上，若∠1=∠2=∠3=∠4，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形．在图2、图3中，四边形ABCD为矩形，且AB=4，BC=8．

⑴在图2、图3中，点E、F分别在BC、CD边上，图2中的四边形EFGH是利用正方形网格在图上画出的矩形ABCD的反射四边形．请你利用正方形网格在图3上画出矩形ABCD的反射四边形EFGH；

⑵图2、图3中矩形ABCD的反射四边形EFGH的周长是否为定值？若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出图2、图3中矩形ABCD的反射四边形EFGH的周长各是多少；

⑶图2、图3中矩形ABCD的反射四边形EFGH的面积是否为定值？若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出图2、图3中矩形ABCD的反射四边形EFGH的面积各是多少．

【例5】         操作：如图①在正方形ABCD中，点E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在正方形ABCD内部，延长AF交CD于点G．易知FG=GC．
探究：若将图①中的正方形改成矩形，其他条件不变，如图②，那么线段GF与GC相等吗？请说明理由．
拓展：如图③，将图①中的正方形ABCD改为平行四边形，其他条件不变，若AB=3，AD=4，则△AGD的周长为              ．

【例6】         已知：如图1，在四边形ABCD中，AD=BC，∠A、∠B均为锐角．

⑴当时，如图2，与的位置关系是            ，

大小关系是            ；

⑵当时，与的大小关系是否还成立，证明你的结论．

⑶当时，如图3，点、分别为、边的中点，

于，交于．

求证：．

题型一  动手操作题  巩固练习

【练习1】如图，矩形纸片中，，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的点为E，折痕的一端G点在边BC上（BG＜GC），另一端F落在矩形的边上，．

⑴请你在备用图中画出满足条件的图形；

⑵求出折痕的长．

备用图1                   备用图2                   备用图3

【练习2】⑴如图1，为的中线，点在边上，过点作一直线平分的面积.

⑵如图2，点为平行四边形边上一点，过点作一直线平分平行四边形的面积.

⑶如图3，点为梯形上底上一点，过点作一直线平分梯形的面积.

【练习3】已知:如图，中，

⑴在边上确定点的位置，使．请画出图形，不写画法；

⑵在图中画出一条直线，使得直线分别与、边交于点、．并且沿直线将

剪开后可拼成一个等腰梯形，请画出直线及拼接后的等腰梯形，并简要说明你的剪拼方法．说明：本题只需保留画图痕迹，无需尺规作图．

题型二  四边形性质与判定综合  巩固练习

【练习4】 如图，在线段的同侧作正方形和正方形，连接并延长交于点，作，垂足为点，交于点，设正方形的边长为．

⑴ 证明：四边形是平行四边形；

⑵ 设，四边形的面积为，求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；

⑶ 如果按题设作出的四边形是菱形，求的长．

【练习5】△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、AC于点F、G，连接BE．
⑴如图（a）所示，当点D在线段BC上时．探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由；
⑵如图（b）所示，当点D在BC的延长线上运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由．