中考数学总复习第20讲 平行四边形难点解析与训练

第20讲 平行四边形

考点•方法•破译

⒈理解并掌握平行四边形的定义、性质、和判定方法，并运用它们进行计算与证明.

⒉理解三角形中位线定理并会应用.

⒊了解平行四边形是中心对称图形.

经典•考题•赏析

【例1】（莆田）已知:如图在□ ABCD中,过对角线BD的中点O作直线EF分别交DA的延长线AB、DC、BC的延长线于点E、M、N、F．

⑴观察图形并找出一对全等三角形：△       ≌△       ，请加以证明；

⑵在⑴中你所找出的一对全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样的变换得到？

【解】⑴①△DOE≌△BOF

证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD

∴∠MBO ＝∠NDO,∠BMO＝∠DNO，又∵BO＝DO  ∴△BOM≌△DON（AAS）

③△ABD≌△CDB

证明：∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD＝CB，AB＝CD，又∵BD＝DB  ∴△ABD≌△CDB（SSS）

⑵绕点O旋转180°后得到或以点O为中心作对称变换得到．

【变式题组】

01．（吉林省长春）如图，在□ ABCD中，∠BAD＝32°．分别以BC、CD为边向外作△BCE和△DCF，使BE＝BC，DF＝DC，∠EBC＝∠CDF，延长AB交边EC于点上，点H在E、C两点之间，连接AE、AF．⑴求证：△ABE≌△FDA；                      

⑵当AE⊥AF时，求∠EBH的度数．

02．（沈阳）如图，已知在□ ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE＝DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG＝CH，连接GE、EH、HF、FG．

求证：四边形GEHF是平行四边形．

02．（长春）如图，在△ABC中，AB＝AC，延长BC至D，使CD＝BC．点E在边AC上，以CD、CE为邻边作□ CDFE．过点C作CG∥AB交EF于点G，连接BG、DE．

⑴∠ACB与∠DCG有怎样的数量关系？请说明理由；

⑵求证：△BCG≌△DCE．

【例2】如图，□ ABCD的周长为20，BE⊥AD，BF⊥CD，BE＝2，BF＝3.则□ ABCD的面积为           ．

 【解法指导】在三角形或平行四边形中，若题目中有高，常利用面积等式建立方程，从而求解．

【解】∵□ ABCD的周长为20，∴AD＋DC＝10，设AD＝x,      则DC＝10－x

S□ ABCD＝AD•BE＝DC•BF   ∴2x＝3（10－x）  ∴x＝6

S□ ABCD＝AD•BE＝6×2＝12

【变式题组】

01．如图，□ ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，∠EBF＝60°,AE＝3,DF＝2.求EC、EF的长．

02．（上海竞赛）在□ ABCD中，M是AD的中点,N是DC的中点，BM＝1,BN=2，∠MBN＝60°

求BC的长．

03．（北京初二年级竞赛试题）平行四边形ABCD中,AD＝a,CD＝b,过点B分别作AD边上的高Ha和CD边上的高Hb,已知Ha≥a, Hb≥b,对角线AC＝20厘米,求平行四边形ABCD的面积.

【例3】（南昌）如图:在平面直角坐标系中,有A（0,1）,B（－1,0）,C（1,0）三点.

⑴若点D与A、B、C三点构成平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标；

⑵选择⑴中符合条件的一点D，求直线BD的解析式．

【解法指导】已知固定的三个点，作平行四边形应有三种可能性，如图所示，因而本题D点坐标应有三种可能性．

【解】 ⑴D1（2，1） D2（－2，1） D3（0，－1）

⑵若选择D3（0，－1），可求得解析式：y＝－x－1

【变式题组】 已知固定的三个点，作平行四边形时应有三种可能性，如图所示，因而本题D点坐标应有三种可能性．

【解】⑴D1（2，1） D2（－2，1） D3（0，－1）

⑵若选择D3（0，－1），可求得解析式：y＝－x－1

【变式题组】

01．如图，直线l1:y＝－＋3与y轴交于点A，与直线l2交于x轴上同一点B，直线l2交y轴于点C，且点C与点A关于x轴对称．

⑴求直线l2的解析式                                   ；

⑵设D（0，－1），平行于y轴的直线x＝t分别交直线l1和l2于点E、F．是否存在t的值，使得以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

02．如图，在直角坐标系中，A（1，0），B（3，0），P是y轴上一动点，在直线y＝x上是否存在点Q，使A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出对应的Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

03．（四川资阳）若一次函数y＝2x－1和反比例函数y＝的图象都经过点（1，1）．

⑴求反比例函数的解析式；

⑵已知点A在第三象限，且同时在两个函数的图象上，求点A的坐标；

⑶利用⑵的结果，若点B的坐标为（2，0），且以点A、O、B、P为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P的坐标．

【例4】（齐齐哈尔）如图1.在四边形ABCD中,AB＝CD,E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N,则∠BME＝∠CNE（不需证明）

 (温馨提示:在图1中，连接BD,取BD的中点H,连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE＝HF，从而∠1＝∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME＝∠CNE．)

问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O,AB＝CD,E、F分别是BC、AD的中点，连接EF,分别交DC、AB于M、N，判断∆OMN的形状，请直接写出结论．

问题二:如图3，在∆ABC中，AC>AB,D点在AC上，AB＝CD,E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G,若∠EFC＝60°,连接GD,判断∆AGD的形状并证明.

【解法指导】出现中点，联想到三角形中位线是常规思路，因为三角形中位线不仅能进行线段的替换，也可通过平行进行角的转移．

【解】⑴△OMN为等腰三角形．

⑵△AGD为含有30°的直角三角形．

证明：连接BD，取BD的中点M，连接FM、EM．

∵AF＝FD，BM＝MD ∴MFAB  同理MECD．∵AB＝CD  ∴MF＝ME，

又∵∠2＝∠1＝60°，∴△MEF为等边三角形，∴∠4＝∠3＝60°，∠5＝60°

∴△AGF为等边三角形  ∴FG＝FD  ∴∠ADG＝30°

∴△AGD为含有30°的直角三角形．

【变式题组】

01．（扬州）如图，已知四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，

E、F分别是 AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不

动时，那么下列结论 成立的是  （    )

A、线段EF的长逐渐增大         B、线段EF的长逐渐减小

C、线段EF的长不变             D、线段EF的长与点P的位置有关

02．如图，在△ABC中，M是BC的中点，AD是∠A的平分线， BD⊥AD于D,AB＝12,AC＝22,则MD的长为（   ）.

A.3  B.4  C.5  D.6

【例5】（浙江竞赛）如图1，在△ABC中，∠C＝90°,点M在BC上，且BM＝AC,点N在AC上，且AN＝MC,AM与BN相交于点P,求证：∠BPM＝45°.

【解法指导】题中相等线段关联性不强，能否把相等的线段（或角）通过改变位置，将分散的条件集中，从而构造全等三角形解决问题．

【解】方法一、如图2，过M作 MEAN,连接BE,EN,则得 AMEN,  ∴ME⊥BC,AM＝EN

在△AMC和△BEM中 ，AC＝BN,∠BNE＝∠C＝90°, ME＝MC

∴△AMC≌△BEM   ∴BE＝AM＝EN,∠3＝∠4   ∵∠1＝∠2,∠1＋∠4＝90°

∴∠2＋∠3＝90°,  ∴△BEN为等腰直角三角形，  ∠BNE＝45°,∴∠BPM＝45°

方法2：如图3，过B作BFAN,连接AF,FM也可证得．

【变式题组】

01．如图，在等腰△ABC中， AB＝AC,延长边AB到点D,延长CA到点E,连接DE，若AD＝BC＝CE＝DE,求∠BAC的度数．

演练巩固  反馈提高

01．（东营）如图，□ ABCD中，已知AD＝8cm,AB＝6cm,DE平分∠ADC交BC边于点E,则BE等于（    ）

A.2cm        B.4cm  

 C.6cm       D.8cm

02．(桂林）如图，□ABCD中，AC,BD为对角线，BC＝6,BC边上的高为4，则阴影部分的面积为（   ）

A.3    B.6    C .12    D.24

03．(威海）如图，在四边形ABCD中，E为BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F,AB＝BF,添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形，你认为四个条件中可选择的是（   ）

A．AD＝BC     B.CD＝BF     C.∠A＝∠C    D.∠F＝∠CDE

04．(日照）如图，在周长为20cm的□ABCD中，AB≠AD,AC,BD相交于点O,OE⊥BD交AD于点E,则△ABE的周长为（    ）

A.4cm    B.6cm   C.8cm    D.10cm

05．（浙江金华）某广场有一个形状是平行四边形的花坛（如图）分别种有红黄蓝绿橙紫6得颜色的花，如果有AB∥EF∥DC,BC∥GH∥AD,那么下列说法错误的是

A．红花，绿花种植面积一定相等    B.紫花，橙花种植面积一定相等

C.红花，蓝花种植面积一定相等    D.蓝花，黄花种植面积一定相等

06．（陕西）如图，l1 ∥ l2  BE∥CF,  BA⊥l1   DC ⊥l2,下面四个结论中AB＝DC; BE＝CF   S△ADE＝S△DCF   ④S□ABCD＝S□BCFE,其中正确的有（   ）

A.4个     B .3个    C.2个     D .1个

07．(成都）已知四边形ABCD,有以下四个条件： AB∥CD   AB＝CD   BC∥AD   ④BC＝AD  从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD为平行四边形的选法种数有（     ）

A.6种   B.5种   C.4种    D.3种

08．（厦门）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E,F分别是AB,CD的中点，AD＝BC,∠PEF＝180,则∠PFE的度数为________

09．.如图，平行四边形ABCD中，点E在边AD中，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A恰好落在CD上的F点，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为_________

10.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°,AB＝3,AC＝4,将△ABC沿直线BC向右平移2.5个单位得到△DEF,AC与DE相交于点G,连接AD,AE,则下列结论中成立的是____

四边形ABED是平行四边；△AGD≌△CGE △ADE为等腰三角形 ④AC平分∠EAD

11．(长春）如图□ABCD中，E是BC边上一点，且AB＝AE.

11. 求证:△ABC≌△EAD
12. 若AE平分∠DAB,∠EAC＝25°,求∠AED的度数．

12．(荆州)如图，□ABCD内一点E满足ED⊥AD于D,且∠EBC＝∠EDC,∠ECB＝45°,找出图中一条与EB相等的线段，并加以证明．

13．已知，如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的点，将线段DB绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，延长ED交AC于点F,连接DC,AE.

⑴求证：△ADE≌△DFC

⑵过点E作EH∥DC交DB于点G ,交BC于点H,连接AH,求∠AHE的度数．

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01．(铁岭)△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B,C 重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB,AC于点F,G ,连接BE.

⑴如图1所示，当点D在线段BC上时，求证：△AEB≌△ADC;探究四边形BCGE是怎样特殊四边形？并说明理由．

⑵如图2所示，当点D在BC的延长线上时，直接写出(1)中的两个结论是否成立？

02．(山东省初中数学竞赛试题)如图，△ABC中，AB＝3,AC＝4,BC＝5,△ABD ,△ACE △BCF都是等边三角形，求四边形AEFD的面积．

03．(武汉) 如图，□ABCD中，BC＝2AB,CE⊥AB,E为垂足，F为AD的中点，若∠AEF＝54°,求∠B的度数．

04．(南昌市)八年级竞赛试题四边形ABCD的对角线AC,BD交于P,过点P作直线EF,交AD于E ,交BC于F,若PE＝PF,且AP＋AE＝CP＋CF,求证：四边形ABCD为平行四边形．

05．(荆州市八年级数学联赛试题)如图，已知在四边形ABCD中，AB＝AD,AB⊥AD;连接AC,过点A作AE⊥AC且使AE＝AC;连接BE,过点A作AH⊥CD,垂足为H,且交BE于点F,求证：BF＝EF.

06．在课外小组活动时，小慧拿来一道题和小东，小明交流．

题目：如图1，已知△ABC,∠ACB＝90°,∠ABC＝45°,分别以AB,BC为边向外作△ABD与△BCE,且DA＝DB,EB＝EC,∠ADB＝∠BEC＝90°,连接DE交AB于点F,探究线段DF与EF的数量关系．

小慧同学的思路是：过点D作DG⊥AB于点G,构造全等三角形，通过推理使问题得解．

小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是∠ABC＝30°,∠ADB＝∠BEC＝60°.

小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况．

请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：

(1)写出题目中DF与EF的数量关系；

(2)如图2，若∠ABC＝30°,∠ADB＝∠BEC＝60°,题目中的其他条件不变，你在(1)中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；

(3)如图3，若∠ADB＝∠BEC＝2∠ABC，题目中的其他条件不变，你在(1)中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明．