高考数学真题专题训练 07平面向量（含解析）

专题07 平面向量

1.（新课标Ⅲ）已知向量a，b满足，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】，，，.

，

因此，.

2.（山东卷）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范用是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

的模为2，根据正六边形的特征，

可以得到在方向上的投影的取值范围是，

结合向量数量积的定义式，

可知等于的模与在方向上的投影的乘积，

所以的取值范围是，

3.（北京卷）已知正方形ABCD的边长为2，点P满足，则_________；_________．

【答案】    (1).     (2).

【解析】以点A为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

则点、、、，

，

则点，，，

因此，，.

4.（天津卷）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．

【答案】    (1).     (2).

【解析】

，，，

，

解得，

以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

,

∵，∴的坐标为,

∵又∵,则，设，则（其中），

，，

，

所以，当时，取得最小值.

5.（浙江卷）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为_______．

【答案】

【解析】，

，

，

.

6.（江苏卷）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．

【答案】

【解析】∵三点共线，

∴可设，

∵，

∴，即，

若且，则三点共线，

∴，即，

∵，∴，

∵,,，

∴，

设，，则，.

∴根据余弦定理可得，，

∵，

∴，解得，

∴的长度为.

当时， ，重合，此时的长度为，

当时，，重合，此时，不合题意，舍去.

7.（新课标Ⅱ）已知单位向量a，b的夹角为45°，ka–b与a垂直，则k=__________.

【答案】

【解析】由题意可得：，

由向量垂直的充分必要条件可得：，

即：，解得：.

8.（新课标Ⅰ）设为单位向量，且，则______________.

【答案】

【解析】因为为单位向量，所以

所以

解得：

所以

1．【高考全国I卷理数】已知非零向量a，b满足，且b，则a与b的夹角为

A．   B． 

C．   D．

【答案】B

【解析】因为b，所以=0，所以，所以=，所以a与b的夹角为，故选B．

2．【高考全国II卷理数】已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则· =

A．−3   B．−2

C．2   D．3

【答案】C

【解析】由=—=（1，t-3），，得，则，．故选C．

3．【高考北京卷理数】设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的

A．充分而不必要条件   B．必要而不充分条件

C．充分必要条件   D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】与的夹角为锐角，所以，即

，因为，所以|+|>||；

当|+|>||成立时，|+|2>|-|2•>0，又因为点A，B，C不共线，所以与的夹角为锐角.故“与的夹角为锐角”是“|+|>||”的充分必要条件,故选C．

4．【高考全国III卷理数】已知a，b为单位向量，且a·b=0，若，则___________.

【答案】

【解析】因为，，

所以，

，所以，

所以 ．

5．【高考天津卷理数】在四边形中，，点在线段的延长线上，且，则_____________．

【答案】

【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB=30°，则，.

因为∥，，所以，

因为，所以，

所以直线的斜率为，其方程为，

直线的斜率为，其方程为.

由得，，

所以.

所以.

6．【高考江苏卷】如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____.

【答案】.

【解析】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC的中点，知BF=FE=EA,AO=OD．

，

，

得即故

1．【全国I卷 】在中，为边上的中线，为的中点，则

A．       B． 

C．       D．

【答案】A

【解析】根据向量的运算法则，可得

，所以.

故选A.

2．【全国II卷 】已知向量，满足，，则

A．4 B．3

C．2 D．0

【答案】B

【解析】因为所以选B.

3．（浙江卷）已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是

A．−1 B．+1

C．2 D．2−

【答案】A

【解析】设，则由得，

由b2−4e·b+3=0得因此|a−b|的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.

4．【天津卷 】如图，在平面四边形ABCD中，若点E为边CD上的动点，则的最小值为

A．             B．   

C．             D．

【答案】A

【解析】连接AD,取AD中点为O,可知为等腰三角形，而，所以为等边三角形，.

设

=

所以当时，上式取最大值，故选A.

5．【北京卷 】设a，b均为单位向量，则“”是“a⊥b”的

A．充分而不必要条件     B．必要而不充分条件

C．充分必要条件      D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】，因为a，b均为单位向量，所以 a⊥b，即“”是“a⊥b”的充分必要条件.故选C.

6．【全国III卷 】已知向量，，．若，则___________．

【答案】

【解析】由题可得，，，，即，故答案为.

7．【上海卷】在平面直角坐标系中，已知点、，、是轴上的两个动点，且，则的最小值为___________．

【答案】-3

【解析】根据题意，设E（0，a），F（0，b）；

∴；

∴a=b+2，或b=a+2；

且；

∴；

当a=b+2时，；

∵b2+2b﹣2的最小值为；

∴的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，的最小值为﹣3．

故答案为：﹣3．

8．【江苏卷】在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点．若，则点的横坐标为___________．

【答案】3

【解析】设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点的横坐标所以.所以，

由得或，

因为，所以

1．【全国III卷 】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若，则的最大值为

A．3                           B．2

C．         D．2

【答案】A

【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.

设，

易得圆的半径，即圆C的方程是，

，若满足，

则 ，，所以，

设，即，点在圆上，

所以圆心到直线的距离，即，解得，

所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A．

2．【全国II卷 】已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是

A．         B．

C．         D．

【答案】B

【解析】如图，以为轴，的垂直平分线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，

则，，，设，所以，，，所以，，当时，所求的最小值为，故选B．

3．【北京卷 】设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若，使，则两向量反向，夹角是，那么

；若，那么两向量的夹角为，并不一定反向，即不一定存在负数，使得，所以是充分而不必要条件，故选A.

4．【全国I卷 】已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2b |=___________．

【答案】

【解析】方法一：，

所以.

方法二：利用如下图形，可以判断出的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为.

5．【江苏卷】如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为，且=7，与的夹角为45°．若，则___________．

【答案】3

【解析】由可得，，根据向量的分解，

易得，即，即，即得，

所以．

6．【天津卷】在中，，，．若，

，且，则的值为___________．

【答案】

【解析】由题可得，

则．

7．【山东卷 】已知是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是___________．

【答案】

【解析】∵，

，

，

，解得．

8．【浙江卷】已知向量a，b满足则的最小值是________，最大值是___________．

【答案】4，

【解析】设向量的夹角为，则，

，

则，

令，则，

据此可得：，

即的最小值是4，最大值是．

1.【2016高考山东理数】已知非零向量m，n满足4│m│=3│n│，cos<m，n>=.若n⊥（tm+n），则实数t的值为（   ）

（A）4         （B）–4         （C）        （D）–

【答案】B

【解析】由，可设，又，

所以, 所以，故选B.

2.【2016高考新课标2理数】已知向量，且，则（    ）

（A）－8         （B）－6            （C）6                 （D）8

【答案】D

【解析】向量，由得，解得，故选D.

3.【2016高考新课标3理数】已知向量 ， ，则（     ）

(A)           (B)           (C)             (D)

【答案】A

【解析】由题意，得，所以，故选A．

4.【高考北京理数】设，是向量，则“”是“”的（   ）

A.充分而不必要条件           B.必要而不充分条件

C.充分必要条件               D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】由，故是既不充分也不必要条件，故选D.

5.【2016高考天津理数】已知△ABC是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接

并延长到点，使得，则的值为（    ）

（A）   （B）  （C）   （D）

【答案】B

【解析】设，，∴，，

，∴，故选B.

6.【高考四川理数】在平面内，定点A，B，C，D满足 ==,===-2，动点P，M满足 =1，=，则的最大值是(    )

（A）     （B）        （C）         （D）

【答案】B

【解析】甴已知易得.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则设由已知，得，又

，它表示圆上的点与点的距离的平方的，，故选B.

7.【2016高考新课标1卷】设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=            .

【答案】－2

【解析】由,得,所以,解得.

8.【2016高考江苏卷】如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，， ，则 的值是   ▲    .          

【答案】

【解析】因为，

，

因此，

9.【2016高考浙江理数】已知向量a、b, ｜a｜ =1，｜b｜ =2，若对任意单位向量e，均有 ｜a·e｜+｜b·e｜ ,则a·b的最大值是        ．

【答案】

【解析】

，即最大值为