高中数学高考专题07 平面向量——2020年高考真题和模拟题文科数学分项汇编（教师版含解析）

专题07  平面向量

1．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是

A．a+2b B．2a+b C．a–2b D．2a–b

【答案】D

【解析】由已知可得：.

A：因为，所以本选项不符合题意；

B：因为，所以本选项不符合题意；

C：因为，所以本选项不符合题意；

D：因为，所以本选项符合题意.

故选：D.

【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力.

2．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为

A．圆   B．椭圆    C．抛物线   D．直线

【答案】A

【解析】设，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，

则：，设，可得：，

从而：，

结合题意可得：，

整理可得：，

即点C的轨迹是以AB中点为圆心，为半径的圆.

故选：A.

【点睛】本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

3．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是

A．    B． 

C．      D．

【答案】A

【解析】如图，

的模为2，根据正六边形的特征，

可以得到在方向上的投影的取值范围是，

结合向量数量积的定义式，

可知等于模与在方向上的投影的乘积，

所以的取值范围是，

故选：A.

【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.

4．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】设向量，若，则              .

【答案】5

【解析】由可得，

又因为，

所以，

即，

故答案：5.

【点睛】本题考查有关向量运算问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目.

5．【2020年高考天津】如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．

【答案】    (1).     (2).

【解析】，，

，

，

解得，

以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

,

∵，∴的坐标为,

∵又∵,则，设，则(其中)，

，，

，

所以，当时，取得最小值.

故答案为：；.

【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.

6．【2020年高考北京】已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________．

【答案；

【解析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

则点、、、，

，

则点，，，

因此，，.

故答案为：；.

【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点的坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.

7．【2020年高考浙江】已知平面单位向量，满足．设，，向量，的夹角为，则的最小值是_______．

【答案】

【解析】，，

，

.

故答案为：.

【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.

8．【2020年高考江苏】在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若(m为常数)，则CD的长度是   ▲    ．

【答案】

【解析】∵三点共线，

∴可设，

∵，

∴，即，

若且，则三点共线，

∴，即，

∵，∴，

∵,,，

∴，

设，，则，.

∴根据余弦定理可得，，

∵，

∴，解得，

∴的长度为.

当时， ，重合，此时的长度为，

当时，，重合，此时，不合题意，舍去.

故答案为：0或.

【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出．

1．【2020四川省阆中中学高三二模】已知向量，且，则m=

A．−8 B．−6

C．6 D．8

【答案】D

【解析】∵，

又，∴3×4+(﹣2)×(m﹣2)＝0，解得m＝8．

故选D．

【点睛】

本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．

2．【2020宁夏回族自治区高三二模】已知向量满足,且与的夹角为,则

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】.

故选A．

【点睛】

本题主要考查数量积的运算，属于基础题.

3．【2020陕西省西安中学高三模拟】已知向量，，若，则实数的值为

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】∵，，

∴，又，∴，

∴.

故选D．

【点睛】

本题考查了平面向量的坐标表示的应用问题，解题时应熟练地利用向量的坐标表示求平行，垂直以及夹角和模长等问题，是基础题．

4．【2020河北省高三月考】已知向量，满足，，且，则向量与的夹角的余弦值为

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意可知：，解得：.

.

本题正确选项D.

【点睛】

本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.

5．【2020湖南省高三月考】如图所示，在中，点在线段上，且，若，则

A． B． C．2 D．

【答案】B

【解析】，

所以，从而求得，故选B．

【点睛】该题考查的是有关向量的基本定理，在解题的过程中，需要利用向量直角的关系，结合三角形法则，求得结果.

6．【2020·威远中学校高三月考】已知向量，且∥，若均为正数，则的最小值是

A．24 B．8 C． D．

【答案】B

【解析】由∥得，

因此，当且仅当时取等号，所以选B．

【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.

7．【2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学】在中，，，则为

A．  B． 

C．  D．

【答案】D

【解析】

故选：D

8．【2020届湖南省益阳市高三上学期期末数学】已知向量，，，若，则b在c上的投影为

A．  B． 

C．  D．

【答案】A

【解析】由，，得，

所以由，得，

所以b在c上的投影为

.

故选A．

9．【2020重庆南开中学高三月考】向量，，若，的夹角为钝角，则的范围是

A．  B． 

C．且  D．

【答案】C

【解析】若，的夹角为钝角，则且不反向共线，

，得.

向量，共线时，，得.此时.

所以且.

故选C．

【点睛】

本题主要考查了利用数量积研究向量的夹角，当为钝角时，数量积为0，容易忽视反向共线时，属于易错题.

10．【2020湖北省高三零模】已知向量，满足，在上投影为，则的最小值为

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】在上投影为，即.

，，

又，，

，

.

本题选B．

【点睛】

本题考查向量模长的运算，对于含加减法运算的向量模长的求解，通常先求解模长的平方，再开平方求得结果；解题关键是需要通过夹角取值范围的分析，得到的最小值.

11．【2020四川省泸县第二中学高三三模】已知向量满足，且在方向上的投影是，则实数

A． B．2 C． D．

【答案】A

【解析】因为向量满足，

，

所以，

若向量的夹角为，

则，

所以，即，解得，故选A．

【点睛】

本题主要考查向量的投影及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， (此时往往用坐标形式求解)；(2)求投影， 在 上的投影是；(3)向量垂直则;(4)求向量 的模(平方后需求).

12．【2020湖南省高三二模】正方形边长为2，点为边的中点，为边上一点，若，则

A．3 B．5 C． D．

【答案】D

【解析】由题意，可知，即，

即，所以，即，

又由E是BC的中点，则，，

所以，故选D．

【点睛】

本题主要考查了向量的数量积的应用，以及勾股定理的应用，其中解答中根据向量的数量积的运算，得到，再利用勾股定理求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

13．【2020河南省高考模拟】已知平面内的两个单位向量，，它们的夹角是60°，与、向量的夹角都为30°，且，若，则值为

A． B． C．2 D．4

【答案】D

【解析】由题意，可得在的角平分线上，所以,

再由可得，即，

再由，

得，

解得，故，所以，故选D．

【点睛】

本题主要考查了平面向量的基本定理，以及向量的数量积运算，其中解答中熟记平面向量的基本定理，得到，再利用向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

14．【2020届重庆市第一中学高三上学期期末考试数学】正三角形中，是线段上的点，，，则

A．3 B．6 C．9 D．12

【答案】B

【解析】如图建立以为原点的空间直角坐标系,易得,,.

故,,

故

故选：B．

15.【2020届河南省郑州市高三第二次质量预测文科数学试题】是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为&科&网Z&X&X&K]

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】[来设，，∴，，

，∴.

16．【2020湖北省高考模拟】设等边三角形的边长为1，平面内一点满足，向量与夹角的余弦值为

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，，对两边用点乘，与夹角的余弦值为.

故选D．

【点睛】

这个题目考查了向量的模长的求法以及向量点积的运算，题目比较简单基础；平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， (此时往往用坐标形式求解)；(2)求投影， 在 上的投影是；(3)向量垂直则;(4)求向量 的模(平方后需求).

17．【2020宁夏回族自治区银川一中高三模拟】在中，，，点是所在平面内一点，则当取得最小值时，

A．24 B． C． D．

【答案】A

【解析】由可得：，

则，即，

以点坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，

则，，设，则：

，

当，即时取得最小值，

此时.

本题选择A选项.

【点睛】

求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．

18．【2020届湖南省高三上学期期末统测数学】已知向量，的夹角为，则__________.

【答案】

【解析】依题意，

所以.

故答案为.

19．【2020届安徽省皖东县中联盟上学期高三期末考试数学】已知向量，满足，，若，则与的夹角为______.

【答案】

【解析】由已知知，，则，

所以，故夹角为.

故答案为.

20．【2020甘肃省武威十八中高三期末】已知向量，，，若，则_____.

【答案】4

【解析】，

∵，∴，∴．

故答案为4．

【点睛】

向量的数量积有两个应用：(1)计算长度或模长，通过用 ；(2)计算角，.特别地，两个非零向量垂直的等价条件是.

21．【2020安徽省高三月考】设为所在平面内一点，，若，则__________．

【答案】-3

【解析】∵为所在平面内一点, ，

∴B，C，D三点共线.若∴，

化为： =+，与=−+，比较可得： ，解得.

即答案为-3.

【点睛】

本题考查的知识要点：向量的线性运算及相关的恒等变换问题．

22．【2020柳州高级中学高三月考】如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若，则______.

【答案】

【解析】设，，

则，.

由于，

可得，且，

解得，，

所以.

故答案为.

【点睛】

本题考查平面向量基本定理的运用，考查向量的加法运算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题，

23．【2020·江西省宁都中学高三月考】如图所示,已知点是的重心,过点作直线分别交，两边于，两点，且，，则的最小值为______.

【答案】

【解析】根据条件：,,

又,.

又,,三点共线,.

,,

.

的最小值为,

当且仅当时“”成立.

故答案为.

【点睛】

本题主要考查了基底向量与向量的共线定理性质运用,同时也考查了基本不等式的应用,属于中等题型.

24．【2020天津高三二模】在平行四边形中，已知，，，若，，则_______.

【答案】

【解析】由题意，如图所示，

设，则，

又由，，所以为的中点，为的三等分点，

则，，

所以

．

故答案为.

【点睛】

本题主要考查了向量的共线定理以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及向量的共线定理和向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．

25．【2020·河北省衡水中学高三月考】已知的一内角，，，为所在平面上一点，满足，设，则的值为__________.

【答案】

【解析】因为可知O为三角形ABC的外心

所以

而，且

即

化简得，

解得.

所以.

【点睛】

本题考查了向量线性运算及向量数量积的应用，关键是找到各向量间的关系，属于难题．