2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习7.5《数列的综合应用》(含详解)

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2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习7.5《数列的综合应用》1.设数列{an}的前n项和为Sn，点(n，)(n∈N*)均在函数y＝3x﹣2的图象上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.          2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a5＝25，S5＝55.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设anbn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.             3.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上.(1)求r的值；(2)当b＝2时，记bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.            4.设等比数列{an}的各项均为正数，且a1＋6a2＝1，a3＝a1·a2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝an·log3an，求数列{bn}的前n项和Sn.               5.已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn＝(an＋1)2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)在①bn＝；②bn＝3n·an；③bn＝这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并求解．若________，求{bn}的前n项和Tn.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．         6.已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝10an＋1.(1)证明：数列{an＋}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；(2)数列{bn}满足bn＝lg(an＋)，Tn为数列{}的前n项和，求证：Tn＜.      
0.答案详解  一、解答题1.解：(1)依题意，得＝3n﹣2，即Sn＝3n2﹣2n.当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝(3n2﹣2n)﹣[3(n﹣1)2﹣2(n﹣1)]＝6n﹣5；当n＝1时，a1＝1也适合．即an＝6n﹣5.(2)由(1)得bn＝＝＝，故Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝. 2.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得解得∴数列{an}的通项公式为an＝3n＋2.(2)由anbn＝，得bn＝＝＝(﹣)，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(﹣＋﹣＋…＋﹣)＝(﹣)＝﹣＝. 3.解：(1)由题意，Sn＝bn＋r，当n≥2时，Sn﹣1＝bn﹣1＋r，所以an＝Sn﹣Sn﹣1＝bn﹣1·(b﹣1)，由于b＞0且b≠1，所以a≥2时，{an}是以b为公比的等比数列，又a1＝b＋r，a2＝b(b﹣1)，＝b，即＝b，解得r＝﹣1.(2)由(1)知，n∈N*，an＝(b﹣1)bn﹣1＝2n﹣1，所以bn＝＝.Tn＝＋＋＋ …＋，Tn＝＋＋…＋＋，两式相减得Tn＝＋＋＋…＋﹣＝﹣﹣，所以Tn＝﹣﹣＝﹣. 4.解：(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0)，由a1＋6a2＝1，a3＝a1·a2，可得解得a1＝，q＝，所以数列{an}的通项公式an＝a1qn－1＝×()n－1＝(n∈N*)．(2)由(1)可得bn＝an·log3an＝·log3＝－，记Tn＝＋＋＋…＋＋，则Tn＝＋＋＋…＋＋，两式相减，可得Tn＝＋＋＋＋…＋－＝－，解得Tn＝－，所以Sn＝－. 5.解:(1)因为4Sn＝(an＋1)2，所以当n＝1时，4a1＝4S1＝(a1＋1)2，解得a1＝1；当n≥2时，4Sn－1＝(an－1＋1)2，又4Sn＝(an＋1)2，所以两式相减得4an＝(an＋1)2－(an－1＋1)2，可得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，因为an>0，所以an－an－1＝2，验证可知数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，所以an＝2n－1.(2)若选条件①：bn＝＝()，则Tn＝()＝；若选条件②：bn＝3n·an＝3n·(2n－1)，则Tn＝1×3＋3×32＋5×33＋…＋(2n－1)×3n，上式两边同时乘3可得3Tn＝1×32＋3×33＋5×34＋…＋(2n－1)×3n＋1，两式相减得－2Tn＝3＋2×(32＋33＋…＋3n)－(2n－1)×3n＋1＝3－(2n－1)×3n＋1＋2×＝－6＋(2－2n)3n＋1，可得Tn＝(n－1)·3n＋1＋3；若选条件③：由an＝2n－1可得Sn＝n2，所以bn＝＝()，故Tn＝()＝. 6.解：(1)由an＋1＝10an＋1，得an＋1＋＝10an＋＝10(an＋)，所以＝10，所以数列{an＋}是等比数列，首项为a1＋＝100，公比为10.所以an＋＝100×10n﹣1＝10n＋1，所以an＝10n＋1﹣.(2)【证明】由(1)可得bn＝lg(an＋)＝lg 10n＋1＝n＋1，所以＝＝﹣，所以Tn＝(﹣)＋(﹣)＋…＋(﹣)＝﹣＜，所以Tn＜.