2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习5.4《简单的三角恒等变换》(含详解)

2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习5.4

《简单的三角恒等变换》

一              、选择题

1.已知tan(α＋)＝﹣3，则sin 2α等于(　　)

A.          B.          C.﹣          D.﹣

2.已知sin θ﹣cos θ＝，则cos2(θ﹣)等于(　　)

A.        B.           C.          D.

3.已知tan α＝2，则sin 2α＋cos2α等于(　　)

A.         B.﹣       C.﹣或1         D.1

4.若sin(α＋)＝，则等于(　　)

A.        B.         C.﹣           D.﹣

5.已知α∈(0,)，2sin 2α﹣1＝cos 2α，则cos α等于(　　)

A.         B.         C.          D.

6.计算：等于(　　)

A.﹣sin α         B.﹣cos α      C.sin α         D.cos α

7.将函数f(x)＝sin(＋x)·(cos x﹣2sin x)＋sin2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)，则g(x)具有性质(　　)

A.在(0,)上单调递增，为奇函数

B.周期为π，图象关于(,0)对称

C.最大值为，图象关于直线x＝对称

D.在(﹣,0)上单调递增，为偶函数

8.已知将函数f(x)＝sin xcos x＋cos2x﹣的图象向左平移个单位长度后得到y＝g(x)的图象，则g(x)在[﹣，]上的值域为(　　)

A.[﹣，1]      B.[﹣1，]       C.[﹣，]       D.[﹣，]

9.已知m=，若sin[2(α＋γ)]=3sin2β，则m=(　 　)

A.         B.          C.         D.2

10.若α∈，且3cos2α=sin，则sin2α的值为(　　)

A.－        B.        C.－          D.

二              、多选题

11. (多选)已知函数f(x)＝，则(　　)

A.f(x＋π)＝f(﹣x)       B.f(x)的最大值为4﹣2

C.f(x)是奇函数           D.f(x)的最小值为﹣

12. (多选)已知函数f(x)＝cos(2x﹣)﹣2sin 2(x﹣)，则(　　)

A.f(x)的最小正周期为π

B.f(x)的图象关于直线x＝＋(k∈Z)对称

C.将f(x)的图象向左平移个单位长度，得函数g(x)＝sin 2x﹣1的图象

D.f(x)的单调递减区间为[﹣＋kπ，＋kπ](k∈Z)

三              、填空题

13.若tan α－＝，α∈(,)，则sin(2α+)＝_______.

14.已知sin(＋α)=，则cos(-2α)的值等于________．

15.已知tan α=-，则=________.

16.设α，β∈[0，π]，且满足sinαcosβ－cosαsinβ=1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为            .

0.答案详解

一              、选择题

1.答案为：A

解析：由题意，根据三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式及二倍角公式，

可得sin 2α＝﹣cos(2α＋)＝﹣cos 2(α＋)＝sin2(α＋)﹣cos2(α＋)

＝＝＝.

2.答案为：B

解析：由sin θ﹣cos θ＝两边平方得，sin2θ﹣2sin θcos θ＋cos2θ＝，所以2sin θcos θ＝，即sin 2θ＝，所以cos2(θ﹣)＝＝＝.

3.答案为：D

解析：∵sin 2α＋cos2α＝2sin αcos α＋cos2α

＝＝＝1.

4.答案为：A

解析：∵sin(α＋)＝﹣cos α＝，∴cos α＝﹣，

∴cos 2α＝2cos2α﹣1＝2×(﹣)2﹣1＝﹣，

∴＝＝＝.

5.答案为：D.

解析： ∵2sin 2α﹣1＝cos 2α，∴4sin αcos α＝1＋cos 2α＝2cos2α，

∵α∈(0,)，∴cos α＞0，∴2sin α＝cos α.

又sin2α＋cos2α＝1， ∴cos α＝.

6.答案为：D

解析：原式＝＝＝cos α.

7.答案为：A

解析：函数的解析式为f(x)＝sin(＋x)(cos x﹣2sin x)＋sin2x＝sin 2x﹣cos 2x＝sin(2x﹣)，将其图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)＝sin[2(x＋)﹣]＝sin 2x的图象，则g(x)为奇函数，且在(0,)上单调递增，故A正确.

8.答案为：B

解析：因为f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin(2x＋)，

故g(x)＝sin[2(x＋)＋]＝sin(2x＋π)＝﹣sin 2x，

因为﹣≤x≤，故﹣≤2x≤，则﹣≤sin 2x≤1，所以﹣1≤g(x)≤，故选B.

9.答案为：D；

解析：设A=α＋β＋γ，B=α－β＋γ，则2(α＋γ)=A＋B,2β=A－B，

因为sin[2(α＋γ)]=3sin2β，所以sin(A＋B)=3sin(A－B)，

即sinAcosB＋cosAsinB=3(sinAcosB－cosAsinB)，

即2cosAsinB=sinAcosB，所以tanA=2tanB，所以m==2，故选D.

10.答案为：C；

解析：由3cos2α=sin可得3(cos2α－sin2α)=(cosα－sinα)，

又由α∈可知cosα－sinα≠0，于是3(cosα＋sinα)=，

所以1＋2sinα·cosα=，故sin2α=－.故选C.

二              、多选题

11.答案为：AB

解析：由题意，函数f(x)＝，可得f(x＋π)＝＝，

f(﹣x)＝＝，所以A正确；

f(x)＝＝＝4﹣≤4﹣2，

当且仅当sin x＝﹣1时等号成立，故B正确；

由f(﹣x)＝＝，得f(﹣x)≠﹣f(x)，所以C不正确；

f(﹣)＝＝＝﹣2﹣＜﹣，所以D不正确.

12.答案为：ACD.

解析：因为f(x)＝cos(2x﹣)﹣2sin 2(x﹣)＝cos(2x＋)﹣2cos2x＝cos 2x﹣sin 2x﹣1﹣cos 2x＝﹣cos 2x﹣sin 2x﹣1＝﹣sin(2x＋)﹣1，所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π，所以A正确；令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，所以f(x)的图象关于直线x＝＋(k∈Z)对称，所以B错误；将f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)＝﹣sin[2(x+)＋]﹣1＝﹣sin (2x＋π)﹣1＝sin 2x﹣1的图象，所以C正确；

令﹣＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，得﹣＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，

所以f(x)的单调递减区间为[﹣＋kπ，＋kπ](k∈Z)，所以D正确.

三              、填空题

13.答案为：

解析：∵tan α－＝，α∈(,)，∴－＝，∴＝－，

∵＜α＜，∴＜2α＜π，故cos 2α＝－，sin 2α＝，

∴sin(2α+)＝sin 2α×＋cos 2α×＝.

14.答案为：-；

解析：因为cos(-α)=sin[-(-α)]=sin(＋α)=，

所以cos(-2α)=2cos2(-α)-1=2×()2-1=-.

15.答案为：-；

解析：===tan α-=-.

16.答案为：[－1,1].

解析：由sinαcosβ－cosαsinβ=1，得sin(α－β)=1，

又α，β∈[0，π]，∴α－β=，

∴即≤α≤π，

∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)=sin＋sin(α－2α＋π)

=cosα＋sinα=sin.

∵≤α≤π，∴≤α＋≤，∴－1≤sin≤1，

即取值范围为[－1,1].