人教版数学6年级下册数学培优讲义 第4讲 比例-教师版

这是一份人教版数学6年级下册数学培优讲义 第4讲 比例-教师版，共40页。

小学数学同步热点难点培优方法（仅供参考）
小学数学老师为了更好地培养优秀的学生，会根据学生的情况具体问题具体分析，规划有效的方法，接下来来看看小学数学培优的方法吧。
1、认真钻研和深入挖掘数学教材资源是用好新教材的基础
2、培养学生良好的数学学习习惯
（1）加强学生听课习惯的养成训练和审题的习惯
（2）培养学生勤于动脑，善于思考的习惯；培养学生认真书写，字迹清楚，格式正确完整。
（3）培养学生认真独立的完成作业和自觉检查的习惯和估算能力
3、做好培优补差工作
（1）老师要用心去教，学生要用心去学。 （2）要确定培优补差的目标
（3）培优应立足于课堂，补差更多的是课外下功夫
（4）精心组织课堂教学，为培优补差工作提供良好时机
在培优方面，可多设计有梯度，形式多样的教学知识和练习。重视思考教学，引导学生多角度思考问题，展开思维过程，培养创新精神和创新能力，全面开发各个层次学生的智力。

人教小数学生辅导讲义
[教师版]
学员姓名

年 级

辅导科目

学科教师

上课时间


第4讲 比例热点难点一网打尽

思维导图



知识梳理

1、比例的意义：比例的意义
表示两个比相等的式子叫做比例。
组成比例的四个数，叫做比例的项。
两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。
2、比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个两个内项的积。这叫做比例的基本性质。
3、比和比例的区别
(1)比表示两个量相除的关系，它有两项(即前、后项)；比例表示两个比相等的式子，它有四项(即两个内项和两个外项)。
(2)比有基本性质，它是化简比的依据；比例出有基本性质，它是解比例的依据。
4、解比例：根据比例的基本性质，把比例转化成以前学过的方程，求比例中的未知项，叫做解比例。
5、成正比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。用字母表示y/x=k(一定)
6、成反比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。用字母表示x×y=k(一定)
7、判断两种量成正比例还是成反比例的方法：
关键是看这两个相关联的量中相对就的两个数的商一定还是积一定，如果商一定，就成正比例；如果积一定，就成反比例。
8、比例尺：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。
9、比例尺的分数
(1)数值比例尺和线段比例尺
(2)缩小比例尺和放大比例尺
10、图上距离：实际距离=比例尺
实际距离×比例尺=图上距离
图上距离÷比例尺=实际距离
11、应用比例尺画图
(1)写出图的名称、
(2)确定比例尺；
(3)根据比例尺求出图上距离；
(4)画图(画出单位长度)
(5)标出实际距离，写清地点名称
(6)标出比例尺
12、图形的放大与缩小：形状相同，大小不同。(相似图形)
13、用比例解决问题：
根据问题中的不变量找出两种相关联的量，并正确判断这两种相关联的量成什么比例关系，并根据正、反比例关系式列出相应的方程并求解。

精讲精练

考点1：比例的意义

典例分析

例1．(杭州模拟)应用比例的基本性质，下面　　组中的两个比可以组成比例．
A．和 B．和 C．和
【思路分析】可以用求比值的方法：两个比的比值相等，就能组成比例，比值不相等，就不能组成比例；也可以根据比例的性质“两外项的积等于两内项的积”，等于能组成比例，不等于就不能组成比例；据此逐项思路分析再选择．
【规范解答】解：、，所以和不能组成比例；
、所以和不能组成比例；
、所以和能组成比例．
故选：．
【名师点评】此题考查比例的意义和性质的运用：验证两个比能否组成比例，就看两个比的比值是否相等或两内项的积是否等于两外项的积，再做出判断．

举一反三

1．(莲湖区校级月考)下面不能与组成比例的是　　
A． B． C．
【思路分析】表示两个比相等的式子叫做比例，据此可先求出的比值，再逐项求出每个比的比值，进而根据两个比的比值相等，就能组成比例，比值不相等，就不能组成比例．
【规范解答】解：
、，因为，所以不能组成比例；
、，因为，所以能组成比例；
、，因为，所以能组成比例．
故选：．
【名师点评】解决此题也可以根据比例的性质“两外项的积等于两内项的积”，分别计算求出两内项的积和两外项的积等于能组成比例，不等于就不能组成比例．
2．(石家庄期末)能与组成比例的是　　
A． B． C．
【思路分析】根据比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例；由此依次算出各选项的比值，找出与比值相等的选项组成比例．
【规范解答】解：的比值是：



所以能与组成比例的是：．
故选：．
【名师点评】解决此题也可以根据比例的性质“两外项的积等于两内项的积”，等于能组成比例，不等于就不能组成比例．
3．(杭州模拟)下列各组中两个比能组成比例的是　　
A．和 B．和 C．和 D．和
【思路分析】判断两个比能否组成比例，可以用求比值的方法：两个比的比值相等，就能组成比例，比值不相等，就不能组成比例；也可以根据比例的性质：两外项的积等于两内项的积．据此逐项思路分析再选择．
【规范解答】解：、


所以、和不能组成比例；

、


所以和不能组成比例；

、


所以和能组成比例；

、


所以和不能组成比例；
故选：．
【名师点评】此题考查比例的意义和性质的运用：验证两个比能否组成比例，就看两个比的比值是否相等或两内项的积是否等于两外项的积，再做出判断．

考点2：比例的基本性质

典例分析

例2．在比例中，如果第一个比的前项加上1，那么第二个比的后项减少　4　，才能使比例仍然成立．
【思路分析】根据一个比的前项是5，若前项加上1，可知比的前项由5变成6，相当于前项乘，根据比例基本的性质，两内项之积等于两外项之积，所以第二个比的后项应该乘，即，所以减少；据此规范解答即可．
【规范解答】解：第一个比的前项是5，若前项加上1，可知比的前项由5变成6，相当于前项乘，
根据比例基本的性质，要使比例式成立，第二个比的后项应该乘，即，所以减少；
答：要使比例式成立，第二个比的后项应该减少4．
故答案为：4．
【名师点评】此题主要考查比例的基本性质的灵活应用，关键是明白：要使比例式成立，需要保证两内项之积等于两外项之积．

举一反三

1．(广州校级自主招生)在比例中，若第一个比的后项加上8，要使比例仍然成立，则第二个比的后项应加上　　
A．8 B．12 C．24 D．36
【思路分析】在比例中，若第一个比的后项加上8，由4变成12，这样两内项的积就成了108，根据比例的性质，两外项的积也得是108，再用108除以前一个比的前项3即得后一个比的后项，进而求出第二个比的后项应加上几即可．
【规范解答】解：比例中，第一个比的后项加上8，由4变成12，
则两内项的积：，
两外项的积也得是108，
第二个比的后项应是：，
第二个比的后项应加上：；
故选：．
【名师点评】此题主要考查比例的基本性质：在比例里，两内项的积等于两外项的积．
2．(洛阳期中)在中，如果前项加上8，要使比值不变，后项应　　
A．加上8 B．乘以2 C．加上18
【思路分析】根据的前项加上8，可知比的前项由4变成12，相当于前项乘3；根据比的性质，要使比值不变，后项也应该乘3，由9变成27，也可以认为是后项加上18；据此进行规范解答．
【规范解答】解：如果的前项加上8，可知比的前项由4变成12，相当于前项乘3；
要使比值不变，后项也应该乘3，由9变成27，也可以认为是后项加上．
故选：．
【名师点评】此题考查比的性质的运用，比的前项和后项同时乘或除以相同的数除外)，比值才不变．
3．(长沙)在一个比例里，已知两个外项互为倒数，其中一个内项是最小的质数，另一个内项是　
【思路分析】依据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积，以及互为倒数的两个数的乘积为1，最小的质数是2，从而可以求得另一个内项．
【规范解答】解：因为两内项之积等于两外项之积，
且两外项互为倒数，即两外项之积为1，
则两内项之积也应互为倒数，
又因其中一个内项是最小的质数，即为2，
则另一个内项是；
故答案为：．
【名师点评】规范解答此题的主要依据是：比例的基本性质、倒数的意义以及质数的定义．
考点3：解比例

典例分析

例3．(保定模拟)解比例．
①x21=0.40.2 ②13：120=59：x ③60x=3：2
【思路分析】(1)根据比例的基本性质的性质，把原式化为0.2x＝21×0.4，然后方程的两边同时除以0.2；
(2)根据比例的基本性质的性质，把原式化为13x=120×59，然后方程的两边同时除以13；
(3)根据比例的基本性质的性质，把原式化为3x＝60×2，然后方程的两边同时除以3．
【规范解答】解：①x21=0.40.2
0.2x＝21×0.4
0.2x÷0.2＝21×0.4÷0.2
x＝42
②13：120=59：x
13x=120×59
13x÷13=120×59÷13
x=112
③60x=3：2
3x＝60×2
3x÷3＝60×2÷3
x＝40
【名师点评】本题考查解方程和解比例，解题的关键是掌握等式的性质与比例的基本性质：方程两边同时加上或减去相同的数，等式仍然成立；方程两边同时乘(或除以)相同的数(0除外)，等式仍然成立；两个外项的积等于两个内项的积．

举一反三

1．(贺州期中)解比例．
x：3＝87：9
0.252=1.25x
45：x=23：14
【思路分析】(1)根据比例的基本性质的性质，把原式化为9x＝3×87，然后方程的两边同时除以9；
(2)根据比例的基本性质的性质，把原式化为0.25x＝1.25×2，然后方程的两边同时除以0.25；
(3)根据比例的基本性质的性质，把原式化为23x=45×14，然后方程的两边同时除以23．
【规范解答】解：(1)x：3＝87：9
9x＝3×87
9x÷9＝3×87÷9
x＝29

(2)0.252=1.25x
0.25x＝1.25×2
0.25x÷0.25＝1.25×2÷0.25
x＝10

(3)45：x=23：14
23x=45×14
23x÷23=45×14÷23
x=310
【名师点评】本题考查解方程和解比例，解题的关键是掌握等式的性质与比例的基本性质：方程两边同时加上或减去相同的数，等式仍然成立；方程两边同时乘(或除以)相同的数(0除外)，等式仍然成立；两个外项的积等于两个内项的积．
2．解比例．
x：3.5＝4：21
x8=4.53.6
314：x=542：14
【思路分析】(1)根据比例的基本性质的性质，把原式化为21x＝3.5×4，然后方程的两边同时除以21求解；
(2)根据比例的基本性质的性质，把原式化为3.6x＝4.5×8，然后方程的两边同时除以3.6求解；
(3)根据比例的基本性质的性质，把原式化为542x=314×14，然后方程的两边同时除以542求解．
【规范解答】解：(1)x：3.5＝4：21
21x＝3.5×4
21x÷21＝3.5×4÷21
x=23
(2)x8=4.53.6
3.6x＝4.5×8
3.6x÷3.6＝4.5×8÷3.6
x＝10
(3)314：x=542：14
542x=314×14
542x÷542=314×14÷542
x=920
【名师点评】本题考查解方程和解比例，解题的关键是掌握等式的性质与比例的基本性质：方程两边同时加上或减去相同的数，等式仍然成立；方程两边同时乘(或除以)相同的数(0除外)，等式仍然成立；两个外项的积等于两个内项的积．
3．根据下列条件列出比例，并解比例．
(1)3和2的比等于14和x的比．
(2)两内项是4和x，两外项是5和27．
【思路分析】(1)根据题意即可列出比例3：2=14：x，根据比例的性质，两外项之积等于两内项之积，把比例转化成一般方程3x＝2×14，再等式的性质，方程两边都除以3即可得到原比例的解．
(2)根据题意即可列出比例5：4＝x：27，根据比例的性质，两外项之积等于两内项之积，把比例转化成一般方程4x＝5×27，再等式的性质，方程两边都除以4即可得到原比例的解．
【规范解答】解：(1)3：2=14：x
3x＝2×14
3x÷3＝2×14÷3
x=16；
(2)5：4＝x：27
4x＝5×27
4x÷4＝5×27÷4
x＝33.75
【名师点评】解比例时，先根据比例的性质，两外项之积等于两内项之积，把比例转化成一般方程，然后再根据解方程的方法规范解答．
考点4：正反比例的辨别

典例分析

例4．(灵璧县校级模拟)比例尺一定，图上距离和实际距离成　正　比例，如果，那么和成　 　比例．
【思路分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
【规范解答】解：因为：图上距离：实际距离比例尺(一定)，是比值一定，
所以，比例尺一定，图上距离和实际距离成正比例；
如果，是乘积一定，那么和成反比例比例；
故答案为：正，反．
【名师点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．

举一反三

1．(福建模拟)如果，当一定时，和成　正　比例；当一定时和成　　比例；当一定时，和成　　比例．
【思路分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
【规范解答】解：因为如果，则，，当一定时，即比值一定，和成正比例；
当一定时，即比值一定，则和成正比例；
当一定时，即乘积一定，所以和成反比例；
故答案为：正，正，反．
【名师点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．
2．(平阳县校级期中)正方形周长和边长成　正　比例关系，正方形面积和边长成　 　比例．
【思路分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
【规范解答】解：(1)因为正方形的周长边长，
所以正方形的周长边长(一定)，
符合正比例的意义，
所以正方形的边长与周长成正比例；

(2)因为正方形的面积边长边长，
既不符合正比例的意义，也不符合反比例的意义，
所以边长与面积不成比例，
故答案为：正、不成．
【名师点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．
3．(黄山校级期中)三角形的面积一定，它的底和高成　反　比例；全班人数一定，出勤人数与缺勤人数　 　比例．
【思路分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
【规范解答】解：三角形的底高面积(一定)，是对应的乘积一定，所以底和高成反比例；
因为出勤人数缺勤人数全班的人数(一定)，是和一定，所以全班人数一定，出勤人数与缺勤人数不成比例；
故答案为：反，不成．
【名师点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．
考点5：比例尺的应用

典例分析

例5．(黄山校级期中)在一幅比例尺为的地图上，量得甲、乙两个城市之间的距离是40厘米．在另一幅地图上，甲、乙两个城市之间的距离24厘米．请求出另一幅地图的比例尺．
【思路分析】先求两地间的实际距离，根据“图上距离比例尺实际距离”，代入数值，计算出两地间的实际距离，进而根据比例尺的意义作答，即比例尺是图上距离与实际距离的比．
【规范解答】解：(厘米)，
；
答：另一幅地图的比例尺是．
【名师点评】规范解答此题应根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，进行思路分析规范解答即可得出结论．

举一反三

1．(萧山区模拟)杭州地铁1号线预计在今年“国庆节”前建成通车，在一幅比例尺是的杭州市地铁规划图上，量得地铁1号线的图上长度大约是9.6厘米，请你求出地铁1号线的实际长度大约是多少千米？
【思路分析】图上距离和比例尺已知，依据“实际距离图上距离比例尺”即可求出地铁1号线的实际距离．
【规范解答】解：(厘米)(千米)；
答：地铁1号线的实际长度大约是48千米．
【名师点评】此题主要依据图上距离、实际距离和比例尺的关系解决问题．
2．(如东县期中)如图的比例尺是，根据条件计算出这个长方形花园的实际面积是多少平方米？

【思路分析】先依据“实际距离图上距离比例尺”求出这个花园长和宽的实际长度，进而利用长方形的面积公式即可求出这个花园的面积．
【规范解答】解：(厘米)(米
(厘米)(米
(平方米)
答：这个长方形花园的实际面积是960平方米．
【名师点评】此题主要考查图上距离、实际距离和比例尺的关系，以及长方形的面积的计算方法．
3．(孝南区模拟)学校有一个长方形的操场，长是100米，宽是60米，而在平面图上，量得长只有20厘米，那么在平面图上操场的面积是多少平方米？
【思路分析】根据比例尺图上距离：实际距离，求出此幅平面图的比例尺，再根据图上距离比例尺实际距离，即可求出操场的宽的图上的长度，再根据长方形的面积公式，即可求出操场的面积应画多大．
【规范解答】解：此幅平面图的比例尺是：
20厘米：100米
厘米：10000厘米

60米厘米
(厘米)[来源:学*科*网Z*X*X*K]
操场的面积：

(平方厘米)
(平方米)
答：在平面图上操场的面积是0.024平方米．
【名师点评】此题主要考查比例尺、图上距离、实际距离三者之间的数量关系：比例尺图上距离实际距离，灵活变形列式解决问题．
考点6：应用比例尺画图

典例分析

例6(昭通月考)画一画．
(1)画出三角形按放大后得到的三角形．
(2)再画出将三角形的各条边按缩小后得到的三角形
【思路分析】三角形的两条直角边分别是2和3，按照放大后，三角形的两条直角边分别是和，据此即可画放大后得到的三角形；再画出将三角形的各条边按缩小后得到的三角形，即把三角形两条直角边分别缩小2倍即可．
【规范解答】解：
【名师点评】此题考查利用放大与缩小进行图形变换的方法．


举一反三

1．(扬州模拟)按画出三角形缩小后的图形，再按画出梯形放大后的图形．

【思路分析】(1)按的比画出三角形缩小后的图形，先数出原三角形的底和高分别是6、3；则缩小后图形的长和宽的长度分别是、；由此即可画出缩小后的图形；
(2)按的比画出梯形放大后的图形，先数出原梯形的上底、下底与高分别是1、3、2；则放大后图形的上底、下底与高的长度分别是、、；由此即可画出放大后的图形．
【规范解答】解：根据题干思路分析，画图如下：

【名师点评】此题主要考查图形放大与缩小的方法，关键是弄清楚放大或缩小后的边的长度．
2．(广陵区校级期中)图形的放大与缩小．
(1)按的比画出三角形放大后的图形．
(2)按的比画出长方形缩小后的图形．

【思路分析】(1)图中三角形是两直角边为2格的等腰直角三角形，根据图形放大与缩小的意义，按放大后的图形是两直角边为6格的等腰直角三角形(直角三角形两直角边即可确定其形状)．
(2)图中长方形的长是6格、宽3格，同理，按缩小后后图形是长为3格、宽为1.5格的长方形，即可进出口规范解答问题．
【规范解答】解：根据题干思路分析可得：

【名师点评】图形放大或缩小的倍数是指对应边放大或缩小的倍数，对应角大小不变，即图形放大与缩小后，与原图相似．
3．(祥云县模拟)如图，量一量，再算出各自的实际距离．
(1)请你把上面的比例尺改为数值比例尺是　　．
(2)小明上学的路长　　米．小明从学校到少年宫的路长　　米．
(3)在学校的正北方向700米的地方有一个体育馆，请在图上标出体育馆的位置．
【思路分析】(1)先思路分析此题的线段比例尺，它表示地图上1厘米的距离相当于地面上200米的距离，再把图上距离和实际距离的单位化成相同单位，最后根据比例尺的概念，求出数值比例尺．
(2)①用直尺量出小明家到学校的图上距离是几厘米，再根据比例尺，求出实际距离是多少米．
②用直尺量出小明从学校到少年宫的图上距离是几厘米，再根据比例尺，求出实际距离是多少米．
(3)从题干可知学校到体育馆的实际距离是已知的，根据比例尺，求出图上距离是几厘米，最后在学校的正北方向量出几厘米，用符号表示出体育馆即可．
【规范解答】解：(1)200米厘米，
1厘米：20000厘米；
答：数值比例尺是．
(2)①小明家到学校的图上距离是2.5厘米，
(厘米)，
50000厘米米；
答：小明上学的路实际长500米．
②小明从学校到少年宫的图上距离是5厘米，
(厘米)，
100000厘米米；
答：小明从学校到少年宫的路实际长1000米．
(3)(米，
0.035米厘米；
答：在学校正北方3.5厘米的地方画出体育馆．

故答案为：，500，1000．
【名师点评】规范解答此题我们要掌握知道了一副图的比例尺，可以根据图上距离用除法求出时间距离，或根据实际距离用乘法求出图上距离

典例分析

例7. (卢龙县期中)算一算，画一画．
学校东面150米处有一个商店，商店的北面350米处是小红家，学校南面200米处是儿童医院，图书馆的南面250米处是学校．请先确定比例尺标在图中，再画出上述地点的平面图．

【思路分析】根据意义及图形的大小，选用的比例尺比较合适．根据地图上的方向，上北下南，左西右东，以学校的位置为观察点，商店的方向，再根据商店与学校家的实际距离及比例尺即可求出商店与学校的图上距离，由此可画出商店的位置；同理可确定小红家、儿童医院和图书馆的图上位置．
【规范解答】解：150米厘米
(厘米)
即学校正东3厘米处是商店；
350米厘米
(厘米)
即商店的北面3.5厘米处是小红家；
200米厘米
(厘米)
即学校南面2厘米处是儿童医院；
250米厘米
(厘米)
即图书馆的南面2.5厘米处是学校．
根据以上数据画图如下：

【名师点评】此题考查了利用方向与距离在平面图中确定物体位置的方法以及比例尺的灵活应用．关键是根据题目中的数据与要画的图的大小确定比例尺．

举一反三

1．(萧山区模拟)李华同学从家中出发前往外婆家，她先向东偏北45度的方向走了400米，这时李华的表弟在外婆家中发现李华位于外婆家西偏北30度的方向上，距离大约是200米，请画出李华从家中出发到外婆家行进的路线图．(点表示李华家)

【思路分析】因为图上距离1厘米表示实际距离200米，于是可以求出从李华家向东偏北45度的方向走了400米，从外婆家向西偏北30度的方向上，距离大约是200米的图上距离，再根据方向标，即可画出李华从家中出发到外婆家行进的路线图．
【规范解答】解：(厘米)
(厘米)
作图如下：

【名师点评】此题主要考查线段比例尺的意义，即依据方向(角度)和距离判定物体位置的方法，及路程、速度和时间三者的关系．
2．(抚宁区期中)算一算，画一画．
张庄小学要建一个长，宽的长方形操场．比例尺是．
(1)算出长方形操场长和宽的图上距离．
(2)在图中画出操场的平面图．

【思路分析】根据“图上距离实际距离比例尺”求出长方形操场图上长、宽，即可画出．
【规范解答】解：



即操场的长是，宽是，画图如下：

【名师点评】此题是考查比例尺的应用、画平面图，图上距离实际距离比例尺．
3．(青龙县期末)根据下面条件在图中标出各地的位置．
学校正西方向500米是少年宫，少年宫正北方向300米是动物园，动物园东偏北的200米处是医院．先确定比例尺，画出上述地点的平面图．
(1)你选用恰当的比例尺是　　．
(2)在下边的平面图中画出上述的地点．

【思路分析】先依据比例尺的意义，即“比例尺”确定出合适的比例尺，再据“图上距离实际距离比例尺”即可求出每个地点的图上距离，进而在平面图上标出这些地点．
【规范解答】解：(1)因为500米厘米，300米厘米，200米厘米，
所以可以选用的比例尺；
则(厘米)，
(厘米)，
(厘米)；
(2)所画地点如下图所示：

【名师点评】规范解答此题的关键是先确定出比例尺，进而求出各个地点的图上距离，根据方向的规定从而完成标注．


考点7：正反比例在解决实际问题中的应用

典例分析

例8.(杭州模拟)买来一批煤，计划每天烧吨，可烧20天；实际每天比原来节约，这样可以烧多少天？
(用比例规范解答)
【思路分析】根据题意知道一批煤的总重量一定，每天烧煤的吨数烧煤的天数一批煤的总重量(一定)，所以每天烧煤的吨数与烧煤的天数成反比例，由此找准对应的量，列式规范解答即可．
【规范解答】解：设这样可以烧天，



答：这样可以烧25天．
【名师点评】本题关键是判断出每天烧煤的吨数与烧煤的天数成反比例，注意实际每天烧煤的吨数是吨．

举一反三

1．(禹城市期中)小明家装修房子，有一个房间如果用每块面积为25平方分米的地板砖来铺，需48块．如果改用每块面积为36平方分米的地板砖来铺，至少需要多少块？(用比例知识来解)
【思路分析】因为地板的总面积一定，所以每块砖的面积和块数成反比例，即砖的块数与砖的面积的乘积相等．据此列出等量关系式规范解答即可．
【规范解答】解：设需要块面积为36平方分米的方砖．



答：至少需要块．
【名师点评】在用比例解决问题时，首先要先据题意确定不变量，然后再据不变量列出等量关系式．
2．(简阳市 期中)生产一批零件，计划每天生产160个，15天可以完成，实际每天超产80个，可以提前几天完成？(用比例方法解)
【思路分析】根据题意知道，总工作量一定，工作时间和工作效率成反比例，由此列式规范解答即可．
【规范解答】解：设可以提前天完成．





答：可以提前5天完成．
【名师点评】规范解答此题的关键是，弄清题意，根据工作效率，工作时间和工作量三者的关系，判断哪两种量成何比例，然后找出对应量，列式规范解答即可．
3．(郑州模拟)王叔叔开车从甲地到乙地一共用了3小时，每小时行了．原路返回时每小时行，返回时用了多长时间？(用比例解)

【思路分析】设返回时用了小时，根据路程一定，速度与时间成反比例，由此列出比例解决问题．
【规范解答】解：设返回时用了小时，


，
答：返回时用了2.5小时．
【名师点评】规范解答此题的关键是，弄清题意，根据路程、速度与时间的关系，列反比例式规范解答即可．

典例分析

例9. (永定区期末)王叔叔开车去相距240千米的省城，1.5小时行了90千米，照这样计算，到达省城需要几小时？(用比例解)
【思路分析】根据1.5小时行了90千米，可以求出速度，由于速度不变，所以路程和时间成正比例，由此列式规范解答即可．
【规范解答】解：设到达省城需要小时，

[来源:学科网]
0

答：到达省城需要4小时．
【名师点评】规范解答此题的关键是根据题意，判断出哪两种相关联的量成何比例．

举一反三

1．(绵阳期末)修路队5天修公路150千米，照这样速度，要修450千米公路，需要多少天？
【思路分析】根据题意知道，工作效率一定，工作量和工作时间成正比例，由此列式规范解答即可．
【规范解答】解：设需要天，
，
，
；
答：要修450千米公路，需要15天．
【名师点评】规范解答此题的关键是，根据题意，先判断哪两种相关联的量成何比例，即两个量的乘积一定则成反比例，两个量的比值一定则成正比例；再列出比例规范解答即可．
2．(西吉县模拟)学校食堂买来1200千克大米，3天吃了150千克，照这样的吃法，剩下的几天吃完？(用比例解)
【思路分析】要求剩下的还能吃几天，根据大米的重量天数每天吃的大米的重量(一定)，即大米的重量和天数成正比例；然后设剩下的天吃完，根据题意，列出正比例式子，进行规范解答即可．
【规范解答】解：设剩下的天吃完，由题意可得：



答：剩下的21天吃完．
【名师点评】此题属于比例的应用题，规范解答此类题的方法较多，应从多方面进行思路分析，规范解答即可得出结论．
3．(临高县模拟)王师傅加工了92个零件，用了4天．照这样计算，王师傅要加工207个零件，要用多少天？(用比例规范解答)
【思路分析】由题意可知：王师傅每天加工的零件数量是一定的，则加工的零件数量与需要的天数成正比，据此即可列比例求解．
【规范解答】解：设加工207个零件需要天，
则有


；
答：加工207个零件需用9天．
【名师点评】规范解答此题的主要依据是：若两个量的商一定，则这两个量成正比，从而可以列比例求解．

阶梯训练

基础训练
1．(平舆县月考)在一个比例中，两个内项的积是3，其中的一个外项是，则另一个外项是　9　．
【思路分析】根据比例的性质“两外项的积等于两内项的积”，先确定出两个外项的积也是3，进而用两个外项的积除以其中的一个外项，即可求得另一个外项的数值．
【规范解答】解：在一个比例中，两个内项的积是3，
根据比例的性质，可知两个外项的积也是3，其中一个外项是，则另一个外项为．
故答案为：9．
【名师点评】此题考查比例性质的运用：在比例里，两内项的积等于两外项的积．
2．(兴化市月考)在一个比例中，两个比的比值是4，这个比例的两个外项分别是和，这个比例是　　或者　　．
【思路分析】根据题意，可知组成这个比例的两个比，前一个比缺少后项，后一个比缺少前项，进而根据比的后项比的前项比值，比的前项比的后项比值，计算后即可写出比例．
【规范解答】解：前一个比的后项：
后一个比的前项：
这个比例是
同理可得当是第一个比的外项时


这个比例就是：；
故答案为：，．
【名师点评】此题考查求比的前后项的方法，用到的关系式有：比的后项比的前项比值，比的前项比的后项比值；也考查了比例的意义．
3．(怀化模拟)平行四边形的高一定，面积和底成　正　比例；如果，那么和成　　比例．
【思路分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
【规范解答】解：(1)平行四边形的底高面积，所以面积底高(一定)，是比值一定，所以它的面积和底成正比例；
(2)如果，是乘积一定，所以和成反比例；
故答案为：正，反．
【名师点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．
4．(营山县期末)已知、、三种量的关系是，如果一定，那么和成　反　比例关系，如果一定，和成　 　比例关系．
【思路分析】依据正、反比例的意义，即若两个量的商一定，则这两个量成正比例，若两个量的乘积一定，则这两个量成反比例，从而可以进行规范解答．
【规范解答】解：(1)因为，则(一定)，
所以和成反比例关系；
(2)因为(一定)，所以和成正比例关系．
故答案为：反、正．
【名师点评】规范解答此题的关键是：判断两个量的商是否一定，若商一定，则成正比例，否则不成正比例；判断两个量的乘积是否一定，若乘积一定，则成反比例，否则不成反比例．[来源:学科网][来源:Zxxk.Com]
5．(石家庄期末)某学校平面图的比例尺是，改为数值比例尺是　　．在图中量得校园的长为3厘米，那么它的实际长度为　　米．
【思路分析】根据线段比例尺可知：图上的1厘米表示实际距离100米，根据比例尺的含义：图上距离和实际距离的比，叫做比例尺，进行规范解答即可．
图上距离是3厘米，即求3个100米是多少，用乘法列式规范解答．
【规范解答】解：图上的1厘米表示实际距离100米，
比例尺为：1厘米：10000厘米
(米
答：改为数值比例尺是．在图中量得校园的长为3厘米，那么它的实际长度为 300米．
故答案为：，300．
【名师点评】规范解答此题用到的知识点：(1)线段比例尺的含义；(2)图上距离、实际距离和比例尺三者之间的关系．
6．(郾城区)在一幅比例尺为的平面图上，图上相当于实际距离　10　，实际距离在这幅图上画　　．
【思路分析】比例尺为，可知：图上的1厘米表示实际距离10米；用可求得实际距离在这幅图上画几厘米．
【规范解答】解：比例尺为，可知：图上的1厘米表示实际距离10米；
(厘米)
答：图上相当于实际距离，实际距离在这幅图上画．
故答案为：10，5．
【名师点评】规范解答此题用到的知识点：(1)线段比例尺的含义；(2)图上距离、实际距离和比例尺三者之间的关系．
7．(吉水县月考)把一个长2毫米的精密零件，画在图纸上长5厘米，这幅图的比例尺是　　．
【思路分析】根据比例尺图上距离：实际距离，把实际长度2毫米，图上长度5厘米代入得出这幅图纸的比例尺．
【规范解答】解：5厘米毫米

答：这幅图的比例尺为．
故答案为：．
【名师点评】此题主要考查学生对比例尺这一知识点的理解和掌握，规范解答此题的关键是明确图上距离：实际距离比例尺．
8．(杭州模拟)图形按一定的比放大时，这个比的比值比1　大　；图形按一定的比值缩小时，这个比的比值比1　　．(括号里填“大”或“小”
【思路分析】根据图形放大或缩小的意义，这个比表示变化后与变化前的图形的比，所以，放大的比值比1大，缩小的比值比1小．
【规范解答】解：形按一定的比放大时，这个比的比值比1 大；图形按一定的比值缩小时，这个比的比值比1 小．
故答案为：大；小．
【名师点评】本题主要考查图形的放大或缩小，根据图形放大或缩小的特征做题．
9．(抚宁区期中)解比例．



【思路分析】(1)根据比例的基本性质把原式转化为，再根据等式的性质在方程两边同时除以求解．
(2)根据比例的基本性质把原式转化为，再根据等式的性质在方程两边同时除以2.8求解．
(3)根据比例的基本性质把原式转化为，再根据等式的性质在方程两边同时除以1.5求解．
【规范解答】解：
(1)


[来源:Z,xx,k.Com]



(2)





(3)




【名师点评】本题主要考查了学生根据等式的性质和比例的基本性质来解方程的能力，注意等号对齐．

拓展拔高
10．根据下面的条件列出比例，并且解比例．
(1)5和8的比等于40与的比．
(2)比例的两个内项分别是2和5，两个外项分别是和2.5．
【思路分析】(1)依据题意可列比例：，先依据比例基本性质，两内项之积等于两外项之积，化简方程，再依据等式的性质方程两边同时除以5即可求解，
(2)根据比例的意义，两个内项分别是2和5，两个外项分别是和2.5，组成比例规范解答即可．
【规范解答】解：(1)


，
答：是64；

(2)由比例的两个内项分别是2和5，两个外项分别是和2.5，



；
答：是4．
【名师点评】此题主要考查比例的基本性质的应用，注意掌握比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积．
11．(莲湖区校级月考)在比例尺是的地图上，甲、乙两地之间的距离是12厘米，一辆汽车从甲地开往乙地用了8小时，这辆汽车平均每小时行驶多少千米？
【思路分析】首先根据实际距离图上距离比例尺，求出甲、乙两地之间的路程，再根据速度路程时间，据此列式规范解答．
【规范解答】解：

(厘米)
72000000厘米千米，
(千米时)，
答：这辆汽车平均每小时行驶90千米．
【名师点评】此题主要考查比例尺、图上距离、实际距离三者之间的数量关系及应用，以及路程、速度、时间三者之间的关系及应用，注意：长度单位相邻单位之间的进率及换算．
12．(泰兴市期末)在比例尺的地图上，量得泰州与徐州之间的高速公路长7.5厘米．小明的爸爸开车3小时行完了这段路，他开车超速了吗？(高速公路最高速度不允许超过每小时120千米)
【思路分析】首先根据实际距离图上距离比例尺，求出泰州与徐州之间的路程，再根据速度路程时间，求出小明的爸爸开车的速度，然后与120千米时进行比较，如果小于120千米时不超速，如果大于120千米时就超速．
【规范解答】解：

(厘米)，
37500000厘米千米，
(千米时)，
125千米时千米时，
答：他开车超速了．
【名师点评】此题考查的目的是理解掌握比例尺的意义及应用，以及路程、速度、时间三者之间关系的灵活运用．
13．如图，小伟和爸爸要去水上乐园游玩，他们乘坐游船从码头出发，游船的速度为100米分．他们应向哪个方向行驶？6分钟能到达吗？

【思路分析】根据利用方向和距离表示物体位置的方法，先确定方向，再确定距离．已知这幅图的比例尺是，也就是图上1厘米表示实际距离200米，又知从码头到水上乐园的图上距离是4厘米，据此可以求出实际距离，根据速度时间距离，求出6分钟航行多少米，然后进行比较．
【规范解答】解：20000厘米米
(米
(米
600米米
答：他们应向南偏西方向行驶，6分钟不能到达．
【名师点评】此题考查的目的是理解掌握比例尺的意义及应用，掌握利用方向和距离表示物体位置的方法及应用．
14．(卢龙县期中)算一算，画一画．
学校东面150米处有一个商店，商店的北面350米处是小红家，学校南面200米处是儿童医院，图书馆的南面250米处是学校．请先确定比例尺标在图中，再画出上述地点的平面图．

【思路分析】根据意义及图形的大小，选用的比例尺比较合适．根据地图上的方向，上北下南，左西右东，以学校的位置为观察点，商店的方向，再根据商店与学校家的实际距离及比例尺即可求出商店与学校的图上距离，由此可画出商店的位置；同理可确定小红家、儿童医院和图书馆的图上位置．
【规范解答】解：150米厘米
(厘米)
即学校正东3厘米处是商店；
350米厘米
(厘米)
即商店的北面3.5厘米处是小红家；
200米厘米
(厘米)
即学校南面2厘米处是儿童医院；
250米厘米
(厘米)
即图书馆的南面2.5厘米处是学校．
根据以上数据画图如下：

【名师点评】此题考查了利用方向与距离在平面图中确定物体位置的方法以及比例尺的灵活应用．关键是根据题目中的数据与要画的图的大小确定比例尺．
15．(甘州区校级期中)画出下面三角形按的比放大和梯形按的比缩小后的图形．

【思路分析】(1)三角形是底为2格，高为1格的等腰三角形，根据图形放大与缩小的意义，按放大后的三角形是底为4格，高为2格的等腰三角形(等腰三角形底、高即可确定其形状)．
(2)根据图形放大与缩小的意义，把这个梯形的上、下底及高均缩小到原来的，对应角大小不变，所得到的图形就是原图形按缩小后的图形．
【规范解答】解：画出下面三角形按的比放大后的图形(图中红色部分)、梯形按的比缩小后的图形(图中绿色部分)．

【名师点评】图形放大或缩小的倍数是指对应边放大或缩小的倍数，对应角大小不变．即图形放大或缩小后，与原来形状相同，只是大小变了．

挑战名校
16．(仪征市校级期中)如图所示，同一时刻，直立在地上的6米高的大树影子长是4.5米．附近有一座大楼的影长是15米．请座大楼高几米？

【思路分析】根据同一时间下物体的实际高度与影长的比值一定，可知物体的实际高度与影长成正比例，即树的高度：树影子的长度大楼的高度：大楼影子的长度，设大楼的高度为米，根据上面的比例关系列出方程求解．
【规范解答】解：设这座大楼高米，根据题意得



答：这座大楼有20米高．
【名师点评】本题的关键是根据实际高度与影长的比值一定，确定物体的实际高度与影长成正比例，然后再比例式程规范解答．
17．(广州模拟)车队向灾区运送一批救灾物资，去时每小时行，6.5小时到达灾区．回来时每小时行，多长时间能够返回出发地点？(用比例知识解)
【思路分析】根据题意知道，路程一定，即速度与时间的乘积一定，所以速度与时间成反比例，由此列出比例规范解答即可．
【规范解答】解：设小时能够返回出发点，


；
答：5小时能够返回出发点．
【名师点评】规范解答此题的关键是，先判断题中的两种相关联的量成何比例，然后找准对应量，再列出方程进行规范解答．
18．(抚宁区期末)装订一本书，如果每页排500个字，可以排180页，如果改为每页排600个字，可以少排多少页？(用比例解)
【思路分析】根据题意知道此书的总字数一定，每页排字的个数和页数成反比例，由此列式规范解答即可．
【规范解答】解：设改为每页排600个字，可以排页，



(页
答：可以少排30页．
【名师点评】规范解答此题的关键是，先判断题中的两种相关联的量成何比例，再列比例规范解答．
19．(铜仁市期末)一间房子铺地砖，用边长是4分米的方砖，需要90块，如果改用边长是6分米的方砖，需要多少块？
【思路分析】由题意可知：房间地面的面积是一定的，则方砖的面积与方砖的块数成反比例，据此即可列比例求解．
【规范解答】解：设需要块，


；
答：需要40块．
【名师点评】规范解答此题的主要依据是：若两个相关联量的乘积一定，则这两个量成反比例，从而可以列比例求解．
20．(邵阳模拟)一堆煤，原计划每天烧4吨，可以烧75天．改进炉灶后，实际每天少烧1.6吨，这堆煤实际可以烧多少天？(用比例解)
【思路分析】根据题意知道一堆煤的总重量一定，每天烧煤的吨数烧煤的天数一堆煤的总重量(一定)，所以每天烧煤的吨数与烧煤的天数成反比例，由此列出比例规范解答即可．
【规范解答】解：设这堆煤实际可烧天，


；
答：这堆煤实际可以烧125天．
【名师点评】关键是判断出每天烧煤的吨数与烧煤的天数成反比例，注意1.6吨不是每天烧煤的吨数而是每天节约的吨数．
21．(邵阳模拟)一间房子要用方砖铺地，用边长是5分米的方砖需要400块，如果改用边长是4分米的方砖，需要多少块？(用比例解)
【思路分析】根据一间房子的地面面积一定，方砖的块数与方砖的面积成反比例，由此列出反比例解决问题．
【规范解答】解：设需要块，




答：需用625块．
【名师点评】规范解答此题的关键是判断出方砖的块数与方砖的面积成反比例，注意题中的4分米与5分米是方砖的边长不是方砖的面积．
22．(东海县月考)一种轿车模型是将小轿车按缩小后制作的，已知模型的长度为，这种小轿车实际长多少米？
【思路分析】根据图上距离实际距离比例尺，比例尺一定，它们的商一定，根据正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果它们的比值一定，我们就说，这两种量成正比例关系，可知图上距离和实际距离成正比例关系，据此可列比例式进行规范解答．
【规范解答】解：设这种小轿车实际长为米，根据题意得



答：这种小轿车实际长4.5米．
【名师点评】本题的关键是先判断图上距离和实际距离成什么比例，再列比例式进行规范解答．
23．(枣阳市校级月考)一个晒盐场用海水可以晒出盐．照这样计算，多少吨海水可以晒出9吨盐？
【思路分析】“照这样计算”，意思是这种海水的含盐率一定，也就是盐和海水的比值一定，所以晒出盐的数量与海水的数量成正比例．设需要吨海水可以晒出9吨盐，用比例规范解答比较简便．
【规范解答】解：设需要吨海水可以晒出24吨盐，
，
，
；
答：300吨海水可以晒出9吨盐．
【名师点评】此题规范解答关键是抓住“照这样计算”，判断出晒出盐的数量与海水的数量成正比例．用比例的方法解决问题．